上海交通大学数学物理方程讲义

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1、2015-2016学年第一学期 第一章绪论第一章绪论 数学物理方程数学物理方程是指是指在物理学在物理学、力学力学、工、工程技术程技术数学物理方程数学物理方程是指是指在物理学在物理学力学力学程技术程技术 以及其他自然科学、技术科学、管理科学、经以及其他自然科学、技术科学、管理科学、经 济学济学社会科学等的研究中归纳出来的社会科学等的研究中归纳出来的些常些常济学济学、社会科学等的研究中归纳出来的社会科学等的研究中归纳出来的一一些常些常 微分方程微分方程、偏微分方程偏微分方程、积分方程积分方程、积分微分积分微分微分方程微分方程、偏微分方程偏微分方程、积分方程积分方程、积分微分积分微分 方程等，有时特

2、指方程等，有时特指偏微分方程偏微分方程（即含有未知函数及其（即含有未知函数及其 偏导数的方程）偏导数的方程）（Partial Differential Equations） 悠久的历史广泛的应用数学的发展悠久的历史广泛的应用数学的发展 悠久的历史：悠久的历史： 特殊的偏微分方程最早出现在1734年特殊的偏微分方程最早出现在1734年EulerEuler的著作中，并的著作中，并 于于17431743年出现在年出现在d dAlembertAlembert的的论动力学论动力学中中。 著名的弦振动方程著名的弦振动方程 2 0ua u 于于年出现在年出现在的的论动力学论动力学中中。 著名的弦振动方程著名

3、的弦振动方程0 ttxx ua u 17271727J hBlliJ hBlli 离散质量情形离散质量情形17271727: : J Jo oh hn n B Bernouernoullilli, ,离散质量情形离散质量情形 2 2 (2) k d una uuu d dAlembertAlembert(研究弦振动方程的先驱)(研究弦振动方程的先驱) 11 2 (2) kkk uuu dtl 1746：张紧的弦振动时形成的曲线的研究1746：张紧的弦振动时形成的曲线的研究 广泛的应用：广泛的应用： 传统学科传统学科传统学科传统学科 流体力学：Navier-Stokes方程组(粘性流体)流体力学

4、：Navier-Stokes方程组(粘性流体) Euler方程组(无粘流体)Euler方程组(无粘流体) 弹性力学弹性力学SaintSaint VenantVenant方程组方程组弹性力学弹性力学：SaintSaint- -VenantVenant方程组方程组 电动力学：Maxwell方程组(电磁场)电动力学：Maxwell方程组(电磁场) 量子力学：Schrdinger方程Dirac方程(微观粒子)量子力学：Schrdinger方程Dirac方程(微观粒子) 广义相对论广义相对论：EinsteinEinstein方程方程( (引力场引力场) )广义相对论广义相对论：EinsteinEinst

5、ein方程方程( (引力场引力场) ) 规范场：Yang-Mills方程规范场：Yang-Mills方程 磁流体力学、反应流体力学、热弹性力学磁流体力学、反应流体力学、热弹性力学 交叉学科交叉学科交叉学科交叉学科 生物数学：生物种群动力学生物数学：生物种群动力学 传染病动力学传染病动力学 DNADNA分子动力学分子动力学DNADNA分子动力学分子动力学 金融数学：随机微分方程金融数学：随机微分方程 经济学经济学 社会科学社会科学社会科学社会科学 数学的发展：数学的发展： 偏微分方程推动数学其他分支的发展：偏微分方程推动数学其他分支的发展： 数论数论函函数论数论 变分法变分法变分法变分法 级数展

6、开级数展开 常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程 代数代数 微分几何微分几何 1 偏微分方程的基本概念与研究内容偏微分方程的基本概念与研究内容1 偏微分方程的基本概念与研究内容偏微分方程的基本概念与研究内容 2典型方程的数学模型典型方程的数学模型2 典型方程的数学模型典型方程的数学模型 阶线性偏微分方程简介阶线性偏微分方程简介3 二二阶线性偏微分方程简介阶线性偏微分方程简介 1 偏微分方程的基本概念与研究内容1 偏微分方程的基本概念与研究内容 1. 什么是偏微分方程？1. 什么是偏微分方程？ 物理量物理量( (如位移如位移温度等温度等) )时间时间空间位置空间位置物理量物理量( (如位移如

7、位移、温度等温度等) )-时间时间、空间位置空间位置 u),(, 321 xxxxt- ),(),( 321 xxxtuxtuu 物理量的变化规律物理量的变化规律 )(等式系式的各阶偏导数满足的关及关于函数xtu)(等式系式的各阶偏导数满足的关及关于函数xtu (偏微分方程)(偏微分方程) 一一般形般形式：式： 0()(*) N F x xx u DuD u 一一般形般形式：式： 0()(*) N F x xx u DuD u () 12 0(, ,)( ) n F x xx u DuD u 自变量自变量 12 0(, ,)( ) n F x xx u DuD u 12 12 (,) (,)

8、n n x xx uu x xx ： ： 自变量自变量 未知未知函函数数 12 () , n uu Du 未知数未知数 1 , n k k xx u 1 1 1 , n k nkk n u D ukkk xx 2(,)kN 例子：例子： 0)() 1 (0: ),() 1 ( y uyxuu )()(为任意函数fxfu 0: ),()2( xy uyxuu )()(为任意函数fxfu )()( xy y ),)()(为任意连续可微函数gfygxfu )(),(: ),()3(为已知函数wyxwuyxuu xy xy )()(),( 00 ygxfdsdttswu x x y y ),(为任意连

9、续可微函数gf yxtyxs作变量代换 yx uuyxuu: ),()4( , uutusuu yxtyxs tsxtxsx 作变量代换 uutusuu tsytysy )()( 0 fsfu ut 为任意函数 )(),( )()( yxfyxu fsfu 为任意函数 ),(0 f babuau yx 为常数一般地， )(aybxfu )(0 )(0 热传导方程 弦振动方程 xxtt uu uu: ),()5(xtuu )(0 热传导方程 xxt uu 可验证: 可验证: () ,() , sin()cos() nn xtxtxtxt() ,() ,()() 均满足弦振动方程均满足弦振动方程

10、23 26xtxxt，满足热传导方程满足热传导方程 : ),()6(yxuu )(0 调和方程 yyxx uu)( yyxx 可验证: 可验证: 3232 330, sinsinh()yx y xxynxnyn 均为解均为解 0: ),()7( xxyy uyxuu )()()()(ff)()()()( 11 xygygyxfxfu 0: ),()8( z uzyxuu )(为任意函数fyxfu 0 vu )(,(为任意函数fyxfu 方程组)( 0 0 )9( R i e m a n n - C a u c h y xy yx vu vu 010uuyxuu xx : ),()(y xx )

11、,()( ( )cos( )sinuf yxg yx 2. 相关基本概念2. 相关基本概念 阶数(Order)：阶数(Order)：未知函数偏导数的最高阶数；未知函数偏导数的最高阶数； 维数(Dimension)：维数(Dimension)：空间变量的个数；空间变量的个数； （对发展型方程对发展型方程：维数维数= =自变量个数自变量个数1 1；（对发展型方程对发展型方程：维数维数 自变量个数自变量个数1 1； 对非发展型方程：维数=自变量个数）对非发展型方程：维数=自变量个数） 解解(Solution)：(Solution)： 1 (,) n xx （求解区域）（求解区域） 1 (,) n u

12、u xx 1 (,) n 称为偏微分方程（*）的称为偏微分方程（*）的经典解经典解： 在内足够光滑，且处处满足偏微分方程（*）在内足够光滑，且处处满足偏微分方程（*） 自由项：自由项：方程中与未知函数无关的项方程中与未知函数无关的项 项即为自由项也称右端)( ),(),( n N n xxg xxguDDuuxxG 11 齐次方程(Homogeneous)：齐次方程(Homogeneous)：不含非零自由项不含非零自由项 项即为自由项，也称右端),( n xxg 1 非齐次方程(Nonhomogeneous)：非齐次方程(Nonhomogeneous)：含有非零自由项含有非零自由项 线性 (L

13、inear)方程：线性 (Linear)方程： xxguG n ),( 1 方程改写为 vGbuGabvauG )( 否则称为否则称为非线性(Nonlinear)非线性(Nonlinear)方程方程 )(多指标多指标.),( nn 11 多多重重指标指标（Multi-indexMulti-index）： 12n u D uu 12 1212 12 n nn xxx n D uu xxx N xguDxA ),()( 线性(Linear)：线性(Linear)： 半线性(Semi-Linear)：半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性主部(含最高阶导数的部分)线性 N

14、xguDDuuxAuDxA ),(),()( 1 0 N xguDDuuxAuDxA ),(),()( 0 拟线性拟线性( (QuasiQuasi- -LinearLinear) )：最高阶导数本身是线性的最高阶导数本身是线性的拟线性拟线性( (QuasiQuasi- -LinearLinear) )：最高阶导数本身是线性的最高阶导数本身是线性的 ),(),(),(xguDDuuxAuDuDDuuxA N NN 1 0 1 N 完全非线性(Fully Nonlinear)：完全非线性(Fully Nonlinear)：最高阶导数是非线性的最高阶导数是非线性的 例子例子： 例子例子： )()(波动方程0 2 zzyyxxtt uuuau )()(热传导方程 2 二阶线性齐次二阶线性齐次 )()(热传导方程0 2 zzyyxxt uuuau )(调和方程0 zzyyxx uuu 二阶线性齐次二阶线性齐次 2323 xuxu xt 一一阶线性非齐次阶线性非齐次 )Mechamics Quantum(0 xxt iuu二阶线性齐次二阶线性齐次 2 23 uuxu xt 一一阶半线性非齐次阶半线性非齐次 Bar)(Vibrating 0 xxxxtt uu四四阶线性齐次阶线