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1、1第四章第四章 固体的声、热和光学固体的声、热和光学4.1. 晶格振动晶格振动4.2. 声子谱声子谱4.3. 晶格振动态密度晶格振动态密度4.4. 晶格热容的量子理论晶格热容的量子理论4.5. 固体的光学性质固体的光学性质4.1. 晶格振动晶格振动 晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。晶格振动便是指原子在格点附近的振动。 晶格具有周期性，因而晶格的振动模晶格具有周期性，因而晶格的振动模具有波的形式，称为具有波的形式，称为 格波格波 (lattice wave)。 晶格振动是研究晶体宏观性质和微观晶格振动是研究晶体宏观性质和微观过程
2、的重要基础，对晶体的声学、热学、过程的重要基础，对晶体的声学、热学、光学、电学，以及超导电性、磁性、结构光学、电学，以及超导电性、磁性、结构相变等有着重要的作用。相变等有着重要的作用。晶格动力学晶格动力学(lattice dynamics)( naqtinAe=格格波波(lattice wave)格波波矢格波波矢2=q格波的特点格波的特点1.格波的解只能取格波的解只能取 na格点的位置，这是格点的位置，这是一系列周期性排列的点，而连续介质波一系列周期性排列的点，而连续介质波的解可取空间任意一点。的解可取空间任意一点。2.把把 aq改变成一个改变成一个 (2)的整数倍，所有的整数倍，所有原子的振
3、动实际上完全没有任何不同。原子的振动实际上完全没有任何不同。这样，这样， aq可以限制在如下范围：可以限制在如下范围： m) 构成一维复式格子 M原子 位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 m原子 位于 2n， 2n+2， 2n+4 同种原子间的距离 2afirst nearest neighbor distance系统有 N个原胞， 2N个原子一维双原子链的解一维双原子链的解222121(2 )nnnnm+=&21 21 22 2(2 )nnnnM +=&)12(12)2(2aqntinqnatinBeAe+=02cos2cos2222=Maqaqm=+=+0)2(cos20cos2)2(
4、22BMaqAaqBAmm原子原子M原子原子2N个个格波解格波解关于关于 A、 B的线性的线性齐次方程齐次方程有解条件有解条件一维双原子链的解一维双原子链的解sin)(411)(21222aqMmmMmMMm+=sin)(411)(21222aqMmmMmMMm+=+声学波声学波光学波光学波aqa 22频率为频率为 j的的 振动模对热容的贡献振动模对热容的贡献222(1 )()1()2jjBVBjjBBBkTCkkTkT kT+=+hLhhhL/2/ 2()(1)jBjBkTjVB kTBeCkkT e=hhhBVkC 高温极限高温极限泰勒展开泰勒展开热容的近似值热容的近似值 与杜隆与杜隆 珀
5、替定律相符！珀替定律相符！频率为频率为 j的的 振动模对热容的贡献振动模对热容的贡献/2/ 2()(1)jBjBkTjVB kTBeCkkT e=hhh低温极限低温极限热容的近似值热容的近似值jBTk hTkBjeh2/1()jBjVB kTBCkkT e=hh0T 0VC则则7爱因斯坦热容模型爱因斯坦热容模型假设假设： 晶格中晶格中 N原子的振动可以看作是相互原子的振动可以看作是相互独立的，所有原子都具有同一频率独立的，所有原子都具有同一频率 0。/32/ 21()(1)jBjBkTNjVB kTj BeCkkT e=hhh如何简化？如何简化？2/20)1()(300=TkTkBBVBBee
6、TkNkChhhEBk =0hBEk0h=2/2)1()(3=TTEBVEEeeTNkC爱因斯坦温度爱因斯坦温度 E爱因斯坦热容模型爱因斯坦热容模型KKE300100=大多数固体大多数固体KE1320=金刚石金刚石爱因斯坦模型在高温下爱因斯坦模型在高温下与实验值符合得不错；与实验值符合得不错；在低温下，由于忽略了在低温下，由于忽略了各格波之间的频率差别，各格波之间的频率差别，与实验值不相符合。与实验值不相符合。Peter Debye(1884-1966)1936, Nobel Prize in Chemistry德拜模型德拜模型(Debye Model)Peter DebyeBorn in N
7、etherland, got high education in Germany, and moved to Cornell University of USA in 19401912，提出分子电偶极距，提出分子电偶极距 (dipole moment)的概念；的概念；1912，在爱因斯坦声子模型的基础上，提，在爱因斯坦声子模型的基础上，提出德拜模型；出德拜模型；1913，发展了波尔的原子结构模型，提出，发展了波尔的原子结构模型，提出椭圆轨道的概念。椭圆轨道的概念。1923，发展一种理论解释了康普顿效应，发展一种理论解释了康普顿效应，即与电子作用时即与电子作用时 x射线频率的变化。射线频率的变化
8、。德拜模型德拜模型/32/ 21()(1)jBjBkTNjVB kTj BeCkkT e=hhh如何简化？如何简化？=ng0lim)(晶格振动的态密度晶格振动的态密度+ 之间声子的数目之间声子的数目 = )(gndgeeTkkCTkTkBBVBB)()1()(2/2= hhh晶体总的热容晶体总的热容德拜模型德拜模型(Debye Model)1912年，年， 德拜提出以连续介质德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇菲的弹性波来代表格波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质晶格看作是各向同性的连续介质考虑了格波的频率分布考虑了格波的频率分布对应于一定的波矢对应于一定的波矢 q ，有一个纵，有
9、一个纵波波 和两个独立的横和两个独立的横波波 ，纵波和横波具有不同，纵波和横波具有不同的波速的波速 Cl和和 Ct。不同波矢的纵波和横波，构成了不同波矢的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模晶格的全部振动模zyxdqdqdqqd =vqCl=qCt=德拜模型中晶格振动的态密度德拜模型中晶格振动的态密度zyxdqdqdqqd =v体积元体积元qdV v3)2( dqqq + dqqV234)2(dCVl2322dCVt23222233212()2ltVdCC +振动数目振动数目当当 振动数目振动数目当频率在当频率在 +d 之间时之间时纵波纵波数目数目横波横波数目数目总的格波数目总的格波数目8德拜模
10、型中晶格振动的态密度德拜模型中晶格振动的态密度333213tlCCC+=23223)( CVg =mdgN0)(33/12)(6VNCm =deeTkkCVCTkTkBBVBBm22/2032)1()(23= hhh令令晶格振动的态密度晶格振动的态密度格波总的数目格波总的数目德拜假定德拜假定 大于大于 m的短波实际上是不存在的，则：的短波实际上是不存在的，则：晶体总的热容晶体总的热容德拜温度德拜温度BmDkh=TkBh=TDDVDdeeTRTC/0243)1()(9)/( 德拜温度德拜温度德拜热容德拜热容德拜温度是在晶体正常振动模式下所能达到的最高德拜温度是在晶体正常振动模式下所能达到的最高温
11、度，由此可以粗略地指示出晶格振动频率的数量级。温度，由此可以粗略地指示出晶格振动频率的数量级。一般晶体的德拜温度为一般晶体的德拜温度为 200400 K，相当于，相当于m1013s-1,但一些弹性模量大、密度低的晶体，如但一些弹性模量大、密度低的晶体，如金刚石、金刚石、 Be、 B等，德拜温度高达等，德拜温度高达 1000 K以上以上德德拜拜模模型型爱因斯坦模型爱因斯坦模型VS德拜模型德拜模型两者都是 近似模型 ，本质上是 估计晶格振动（ 声子声子） 对于晶体热性质 （ 热容热容） 的贡献两者都对 晶格振动的频率 进行近似；两者的近似不同（ ）高温下两个模型预测的热容差别很小，与杜隆珀替经验规
12、律的预测值接近低温下德拜模型更为准确，其预测的热容值与T3成正比中温区德拜模型预测的热容值准确性不太好Solid and thick dashed curves show the calculated CP, including electronic contribution and not, respectively. Thin dashed and dot dashed lines show vibrational and electronic CV, respectively. Circles represent experimental data for CP.Y. Z. Nie an
13、d Y. Q. Xie, PRB 75, 174117 (2007)金属金属 Mg热容的第一性原理计算热容的第一性原理计算4.5. 固体的光学性质固体的光学性质光子光子(photon)1905年，年， Albert Einstein (Germany)光子是电磁现象中的一种基本粒子，它是各种波的光子是电磁现象中的一种基本粒子，它是各种波的电磁辐射的载体，这些波包括电磁辐射的载体，这些波包括 gamma-射线，射线， X-射射线，紫外线，可见光，红外线，微波和无线电波等。线，紫外线，可见光，红外线，微波和无线电波等。光子具有波粒二象性，它既具有光的干涉和衍射等光子具有波粒二象性，它既具有光的干涉
14、和衍射等特点，又能以特点，又能以能量为 h 的微粒形式出现。光子没有质量，也没有电荷，在空间以光速 C传播。光子是一种玻色子，遵守玻色 -爱因斯坦统计。9Maxwell rainbow光子晶体光子晶体(photonic crystal)1987年年 ， Eli Yablonovitch (UCLA) (PRL58, 2059 )和和 Sajeev John (Univ Toronto)(PRL58, 2486 ) 分别独立地提出了光子晶体的概念分别独立地提出了光子晶体的概念 .光子晶体是由周期性的介电光子晶体是由周期性的介电 (纳米纳米 )结构在空结构在空间排列而成的，影响电磁波间排列而成的，
15、影响电磁波 (光子光子 )在空间传在空间传播的一种结构。播的一种结构。光子晶体的周期排列具有能带结构光子晶体的周期排列具有能带结构 。光子。光子带隙或禁带是指电磁波不能在光子晶体里传带隙或禁带是指电磁波不能在光子晶体里传播的一个频率范围；而频率位于导带里的电播的一个频率范围；而频率位于导带里的电磁波则能在光子晶体里几乎无损地传播。磁波则能在光子晶体里几乎无损地传播。就像半导体中原子点阵可以控制电子传播就像半导体中原子点阵可以控制电子传播一样，光子晶体中不同介电常数的排列可以一样，光子晶体中不同介电常数的排列可以控制一定频率的光的传播。控制一定频率的光的传播。P. Lodahl et al., Nature 430, 654(2004) 光子晶体的应用光子晶体的应用高性能反射镜高性能反射镜： 频率落在光子带隙中的电磁波不能频率落在光子带隙中的电磁波不能在光子晶体中转播；因此没有吸收的介电材料制成的光在光子晶体中转播；因此没有吸收的介电材料制成的光子晶体可以几乎子晶体可以几乎 10
