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1、,王勖成 有限元法基本原理和数值方法,徐秉业 王建学 弹性力学,徐芝纶 弹性力学简明教程,推荐教材及参考书目,庄拙有限单元法,龙述尧等 计算力学,第三节 弹性力学中的基本假定,第二节 弹性力学中的几个基本概念,第一节 弹性力学的内容,第1章 绪论,-研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。,弹性力学,1-1 弹性力学的内容,第一章 绪 论,定义,研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：,材料力学-研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。,弹性力学-研究各种形状的弹性体，如杆 件、平面体、空间体、板壳
2、、薄壁 结构等问题。,第一节 弹性力学的内容,结构力学-在材料力学基础上研究杆系结构 （如 桁架、刚架等）。,研究对象,：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。,弹力研究方法,在研究方法上，弹力和材力也有区别：,第一节 弹性力学的内容,研究方法,材力 也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。,第一节 弹性力学的内容,研究方法,因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材料
3、力学解法只能适用于杆件形状的结构。,弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。,弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。,第一节 弹性力学的内容,弹性力学在力学学科和工程学科中,具有重要的地位：,地位,第一节 弹性力学的内容,工科学生学习弹力的目的：,学习目的,（4）为进一步学习其他固体力学分支学 科打下基础。,（3）能用弹力近似解法（变分法、差分法 和有限单元法）解决工程实际问题；,（2）能阅读和应用弹力文献；,（1）理解和掌握弹力的基本理论；,思考题,弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？,2. 弹性力学和材料力学相比，
4、其研究方 法有什么区别？,3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非 杆件和杆系的结构？,-其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。,外力,第一章 绪论,外力,12 弹性力学中的几个基本概念,-（定义）作用于物体体积内的力。,体力,（表示）以单位体积内所受的力来量 度，,（量纲）,第二节 弹性力学中的几个基本概念,（符号）坐标正向为正。,体力,-（定义）作用于物体表面上的力。,面力,（表示）以单位面积所受的力来量 度，,第二节 弹性力学中的几个基本概念,（符号）坐标正向为正 。,（量纲）,面力,例：表示出下图中正的体力和面力,第二节 弹性力学中的几个基本概念,-假想切开物体，截面两边互相作用 的力（
5、合力和合力矩)，称为内力。,内力,第二节 弹性力学中的几个基本概念,内力,（量纲） （表示） - 面上沿 向正应力， - 面上沿 向切应力。 （符号）应力成对出现，坐标面上的应 力以正面正向，负面负向为正。,-截面上某一点处，单位截面面积上 的内力值。,应力,第二节 弹性力学中的几个基本概念,应力,例：正的应力,第二节 弹性力学中的几个基本概念,在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。,应力与面力,第二节 弹性力学中的几个基本概念,材力：以拉为正,材力：顺时针向为正,第二节 弹性力学中的几个基本概念,弹力与材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同,由微分体的平衡条件 得：,
6、第二节 弹性力学中的几个基本概念,在弹力中， 与 不仅数值相同， 符号也相同。,在材力中， 与 数值相同，符号相反。,因此，弹力与材力中的符号规定不完全相同(为什么?)。,切应力互等定理：,- 形状的改变。以通过一点的沿坐 标正向微分线段的正应变 和切 应变 来表示。,形变,正应变 ，以伸长为正。,切应变 , 以直角减小为正,用弧度表示。,第二节 弹性力学中的几个基本概念,形变,正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。,第二节 弹性力学中的几个基本概念,位移 - 一点位置的移动，用 , 表示, 量纲为 L。以坐标正向为正。,变形前 变形后,第二节 弹性力学中的几个基本概念,位
7、移,思考题,试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。,在 的六面体上，试问x面和y面上切应力的合力是否相等？,由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；,由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方程；,弹性力学的研究方法，在体积V 内：,由微分线段上形变与位移的几何关系， 建立几何方程；,第一章 绪 论 研究方法,13 弹性力学中基本假定,在给定约束的边界 上， 建立位移边界条件。,在给定面力的边界 上， 建立应力边界条件;,第三节 弹性力学中的基本假定 研究方法,在边界S面上:,然后在边界条件下求解上述方程，得 出应力、形变和位移。,任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因素，抓住主要因素
8、,从而建立计算模型,并归纳为学科的基本假定。,第三节 弹性力学中的基本假定 基本假定,为什么要提出基本假定？,（1）连续性-假定物体是连续的。 因此，各物理量可用连续函数表示。,第三节 弹性力学中的基本假定 材料性质假定,弹性力学中的五个基本假定。,关于材料性质的假定及其在建立弹性力学理论中的作用：,（2）完全弹性 - 假定物体是,因此，即应力与应变关系可用胡克定律表示 （物理线性）。,第三节 弹性力学中的基本假定 材料性质假定,a.完全弹性外力取消，变形恢复，无 残余变形。 b.线性弹性应力与应变成正比。,（3）均匀性-假定物体由同种材料组成。,因此， E、等与位置 无关。,（4）各向同性-
9、假定物体各向同性。,因此， E、等与方向无关。,符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。,第三节 弹性力学中的基本假定 材料性质假定,由（3）,（4）知E、等为常数,（5）小变形假定-假定位移和形变为很小。,第三节 弹性力学中的基本假定 变形状态假定,变形状态假定：,例：梁的 103 1, 1弧度（57.3）.,a.位移物体尺寸, 例：梁的挠度v梁高h.,小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。,b.简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。,第三节 弹性力学中的基本假定 变形状态假定,弹性力学基本假定
10、，确定了弹性力学的研究范围:,第三节 弹性力学中的基本假定 研究范围,理想弹性体的小变形问题。,第一节 平面应力问题和平面应变问题,第二节 平衡微分方程,第三节 平面问题中一点的应力状态,第四节 几何方程 刚体位移,第五节 物理方程,第六节 边界条件,第二章 平面问题的基本理论,第七节 圣维南原理及其应用,第八节 按位移求解平面问题,第九节 按应力求解平面问题 相容方程,第十节 常应力情况下的简化 应力函数,第二章 平面问题的基本理论,弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为 。,2-1 平面应力问题和平面应变问题,弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为 ；
11、,平面应力,（4）约束作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变。,（3）面力作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变；,（2）体力作用于体内，平行于板的中面， 沿板厚不变；,条件是：,第一种：平面应力问题,平面应力,（1）等厚度的薄板；,坐标系如图选择。,平面应力,简化为平面应力问题：,故只有平面应力 存在。,由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：,平面应力,（1）两板面上无面力和约束作用，故,所以归纳为平面应力问题： a.应力中只有平面应力 存在； b.且仅为 。,平面应力,（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向 不变，故应力 仅为 。,如： 弧形闸门闸墩,计算简图：,平面应
12、力,深梁,计算简图：,F,因表面无任何面力，,平面应力,A,B,例题1：试分析AB薄层中的应力状态。,故接近平面应力问题。,故表面上，有：,在近表面很薄一层内：,（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；,平面应变,第二种：平面应变问题,条件是：,（1）很长的常截面柱体；,（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；,（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。,坐标系选择如图：,平面应变,对称面,故任何z 面（截面）均为对称面。,平面应变,（1）截面、外力、约束沿z 向不变，外力、约束 平行xy面，柱体非常长；,简化为平面应变问题：,（2）由于截面形状、
13、体力、面力及约束沿 向均不变，故应力、应变和位移均为 。,平面应变,所以归纳为平面应变问题： a.应变中只有平面应变分量 存在； b.且仅为 。,平面应变,例如：,平面应变,隧道,挡土墙,o,y,x,y,o,x,且仅为 。,故只有 ，,本题中：,平面应变,ox,y,z,例题2：试分析薄板中的应变状态。,故为平面应变问题。,22 平衡微分方程,定义,平衡微分方程-表示物体内任一点的微分体的平衡条件。,在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体 ,作用于微分体上的力：,体力： 。,定义,应力：作用于各边上， 并表示出正面上 由坐标增量引起 的应力增量。,应用的基本假定：,连续性假定应力用连续函数来表
14、示。,小变形假定用变形前的尺寸代替变 形后的尺寸。,列出平衡条件：,合力 = 应力面积，体力体积； 以正向物理量来表示。 平面问题中可列出3个平衡条件。,平衡条件,其中一阶微量抵消，并除以 得：,，同理可得：,平衡条件,当 时，得切应力互等定理,得,平衡条件, 适用的条件-连续性，小变形；,说明,对平衡微分方程的说明：, 代表A中所有点的平衡条件， 因位（ ，）A；, 应力不能直接求出；, 对两类平面问题的方程相同。,理论力学考虑整体 的平衡（只决定整 体的运动状态）。,说明,比较:,材料力学考虑有限体 的平衡（近似）。,弹性力学考虑微分体 的平衡（精确）。,当 均平衡时，保证 ， 平衡； 反
15、之则不然。,说明,所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。,理力（ V ）,材力（ ）,弹力（ ）,h,V,dx,dy,dx,思考题,1.试检查，同一方程中的各项，其量纲 必然相同（可用来检验方程的正确性）。 2.将条件 ,改为对某一角点的 ，将得出什么结果？ 3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布， 将得出什么结果？,已知坐标面上应力 ， 求斜面上的应力。,问题的提出：,23 平面问题中一点的应力状态,问题,求解：取出一个三角形微分体（包含 面， 面， 面）， 边长,问题,斜面应力表示：,由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得,(1)求（ , ）,(a),斜面应力,其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。,(2)求（ ）,将 向法向，切向投影，得,斜面应力,设某一斜面为
