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1、,教学目的与要求,理解原函数、不定积分的概念和性质 牢记并能熟练地使用基本积分公式表 重点： 理解原函数和不定积分的概念 了解二者之间的联系 掌握基本积分公式,微分法:,积分法:,互逆运算,引例: 一个质量为 m 的质点,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,根据牛顿第二定律,加速度,用下沿直线运动 ,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 它如何表示 ?,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.（存在性）,问题：,(1) 原函数是否唯一？（个数问题）,例,（ 为任意常数）,(2) 若不唯一
2、它们之间有什么联系？（结构）,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,证,（ 为任意常数）,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,定理.,原函数都在函数族,( C 为任意常数 ) 内 .,不定积分的定义：,C 称为积分常数 不可丢 !,例1 求,解,解,例2 求,例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,显然，求不定积分得到一积分曲线族.,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的
3、运算是互逆的.,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线 .,例2. 质点在距地面,处以初速,力, 求它的运动规律.,解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,质点抛出时刻为,此时质点位置为,初速为,设时刻 t 质点所在位置为,则,(运动速度),(加速度),垂直上抛 ,不计阻,先求,由,知,再求,于是所求运动规律为,由,知,故,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、 基本积分表,基本积分表 ,是常数);,说明：,简写为,例4 求积分,解,根
4、据积分公式（2）,例5. 求,解: 原式=,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、 不定积分的性质,推论: 若,则,例6 求积分,解,例7 求积分,解,例8. 求,解: 原式 =,例9 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,解,所求曲线方程为,内容小结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义,原函数的概念：,不定积分的概念：, 不定积分的性质, 基本积分表 (见P 186),2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,思考与练习,1. 证明,2. 若,(P191题4),提示:,提示:,3. 若,是,的原函数 , 则,提示:,已知,4. 若,的导函数为,则,的一个原函数,是 ( ) .,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,5. 求下列积分:,提示:,6. 求不定积分,解：,7. 已知,求 A , B .,解: 等式两边对 x 求导, 得,练习题,练习题答案,
