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1、第七章 定积分,第一节 定积分的概念,例1：变力作功 例2：变速直线运动的路程 例3：曲边梯形的面积 这些例子，都归结为一种和式的极限，我们把它抽象出来，得到定积分的定义:,一.背景（引入）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（二）变速直线运动的距离,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,(三) 求曲边梯形的面积,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和
2、与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，
3、注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,曲边梯形面积求法：,曲边梯形面积为,二、定积分的定义,定义7.1 设函数,在区间,上有定义，,(1) 分割,在,内任意插入,个分点。,它将,分成,个小区间，,第,个小区间,的长度记为,在每个小区间上
4、任取一点,(2) 取点,(3) 作和,记,作和式,（4）求极限,令,若和式,的极限存在,（设为I）,且,不依赖于分法，也不,依赖于,的选取，,则称,在,是可积的， 否则称为不可积。,称为,在,的定积分，记为,即,上述定义用,语言给出。 有了积分概念以后，,上面的例子便可用其表示。,例1： 变力,使质点从,移到,所作的功,为,例2： 变速直线运动的路程，就是速度,在时间段,上的定积分，即,例3： 曲边梯形（由,轴及曲线,所围成的图形）的面积,为,几点说明：,定义中的两个任意性。,2.定义中,，表示对,无限细分,的过程，,但,3.当我们已知,可积的情况下，可取区间的特殊,分法和,的特殊取法来求积分
5、和。,这就是用定义,求积分的依据。,4.定积分只与被积函数和积分区间（上、下限）有关，,与积分变量无关。即,例 用定义求积分：,5.规定 ：,第二节 定积分的基本性质,定理 7.1 (可积函数必有界),在,上可积，则,在,上有界。,但反过来不成立。例如： 函数,定理7.2(积分的线性性质),定理7.3 （定积分区间的可加性）,定理7.4 （积分的单调性）,推论7.1,若,在,可积， 则,定理7.5,函数的一致连续性概念,设,在某一区间,（或开，或闭）连续，按照定义，,也就是,在区间,中的每一点都连续，即,使当,时，,一般说来：对同一个,，当,不同时， 也不同,用符号：,当,时，,例：图7.7曲
6、线,对接近于原点的,就取得小一些， 而当,离原点较远时，,却可以取大一些， 对后者,所取的,值， 对前者就不一定适用。,能否找到（是否存在）一个对区间,内所有点,都适用的,。 从图大致看出，,在,中就没有公共的,，有时却需要这种对所有点,都适用的,存在，这就需要,设函数,在区间,有定义， 若对任给,存在只与,有关而与,内的点,无关的,，使得对任意,只要,就有,则称,在区间,一致连续。,用符号：,当,时，,一致连续的定义,将函数在区间,的定义加以比较， 可见它们,截然不同：,前者（连续）：给定了,和,来决定,。,一般说来，,随,和,而改变， 记为,而后者（一致连续）： 是只给了,就能决定,即,只
7、随,而变， 我们记为,而这种,对任意的,都可用。 仍拿,的情形看：,对,我们不妨求出满足,时，,的,的最大值，,来看看,依赖于,的情况。 从,得：,不妨设,从而,或,故只要取,则它是使,成立的最大的,显然，,当,时,可见,的确依赖于,我们得不到一个对,中每点都适用的函数,也就是说,在,不一致连续,现设,是一个小于1的函数,下面在,来考虑,由前面难导， 当,时,则对,中任意,和,只要,就有,即,在区间,是一致连续的,应当注意： 函数在某区间的连续性， 只与区间中每一点,及其附近的,的情形有关,是局部性质,而一致连续性， 是整体性质,函数,在区间,非一致连续的肯定叙述：,若存在某个,对任意,都存在
8、两点,使得,但,则得,在,非一致收敛,例1： 证明,在,一致连续， 其中,而在,连续但不一致连续。,证明:,在某区间上:,连续与一致连续的关系,引出：,定理：,定理7.6： 闭区间,上的连续函数,一定在,一致连续,若,在,连续，则,在,可积,一个有界函数但不可积的例子。,例2,函数,在,是不可积的,定理7.6 康托（Cantor）定理,闭区间,上的连续函数,一定在,一致连续,定理7.7,定理7.8：（积分第一中值定理）,特别：当,时的情形，,则,是,上的连续函数。,定理7.9,第三节 微积分基本定理,（一）变上限积分的定义,定义,（二）变上限积分的性质：,定理 1,二、微积分基本定理,（一）N
9、ewton-Leibniz公式,定理 2,牛顿莱布尼茨公式,证,令,令,注:,（二）例题,例 2 求,原式,解,例 3 求,解,由图形可知,第四节 定积分的计算,（一）定积分的换元法,定理7.13,设函数 在 连续，单值函数,满足:,1),2) 在,上,则,有连续微商 ，,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,是,的原函数 ,因此有,且它们的原函数也存在 .,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例3.,
10、证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,定理2.,则,证:,二、定积分的分部积分法,例7. 证明,证: 令,n 为偶数,n 为奇数,则,则,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立 .,第五节 定积分在物理学中的 应用初步,小窄条上各点的压强,例4., 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力.,解: 建立坐标系如图.,所论半圆的,利用对称性 , 侧压力元素,端面所受侧压力为,方程为,一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为,说明:,当桶内充满液体时,小窄条上的压强为,侧压力元素,故端面所受侧压力为,奇函数,例5.,设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量
11、为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.,解: 建立坐标系如图.,细棒上小段,对质点的引力大小为,故垂直分力元素为,在,试计算,利用对称性,棒对质点引力的水平分力,故棒对质点的引力大小为,棒对质点的引力的垂直分力为,说明:,2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处,1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为,方向与细棒垂直且指向细棒 .,移到 b (a b) 处时克服引力作的功,则有,引力大小为,注意正负号,3) 当质点位于棒的左端点垂线上时,1. 定积分的定义, 乘积和式的极限,2. 定积分的性质,3. 积分中值定理,矩形公式,梯形公式,连续函数在区间上的平均值公式,近似计算
12、,内容小结,则有,4. 微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿 莱布尼兹公式,5. 变限积分求导公式,6.基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限 配元不换限 边积边代限,习题,例1. 求,解: 令,则,原式,例2. 求,解:,例3. 选择一个常数 c , 使,解: 令,则,因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使,即,可使原式为 0 .,例4. 若,解: 令,试证 :,则,因为,对右端第二个积分令,综上所述,补充题,例1. 设,证: 设,且,试证 :,则,故 F(x) 单调不减 ,即 成立.,例2. 设,解:,例3.,设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且,(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ;,(2) 在(a, b) 内存在点 , 使,(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使,(03考研),证: (1),由 f (x)在a, b上连续,知 f (a) = 0.,所以f (x),在(a, b)内单调增,因此,(2) 设,满足柯西中值定理条件,于是存在,即,(3) 因,在a, 上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,作业,P199:2.3 P210:6.8.9.15 P216:3.4 P222:1.2.5.6.7,
