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1、一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式,多项式函数是最简单的函数.用多项式来逼近一般的函数是近似计算的重要内容,也是数学的研究课题之一.,数学分析 第六章 微分中值定理及其应用,二、带有拉格朗日型余项 的泰勒公式,三、在近似计算中的应用,*点击以上标题可直接前往对应内容,可以由一次多项式,其误差为,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,的多项式来逼近 f , 使得误差更小,由有限增量公式,近似地代替,但在许多情况下,后退 前进 目录 退出,3 泰勒公式,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多,设,则,有什么关系？,现在来分析这样的多项式与 f (x),项
2、式是存在的.,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,即,上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶,设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导.,导数所确定的.,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,即,如果,则不难得到:,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,为 f (x) 在点 x0 的 n 阶泰勒多项式,为泰勒系数.,称,确实是我们所需要的多项式.,设 f (x) 在 x = x0 处有n 阶导数，则,即,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,故只需证,证 设,因为,必达法则, 得到,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,所以,阶泰勒公式.,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,处满足 (4).,不是,f (x) 在点 的 n 阶泰勒
3、多项式,在点 x = 0 的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存,比如,所以无法构造 n 阶多项式.,但是当 n 1 时,原因是 f (x),在,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,注2 若 f (x) 在点 x0 有n 阶导数,项式 ( 泰勒多项式 Tn(x) ) 满足:,则只有惟一的多,使得,存在,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,在以后的应用中, 公式 (3) 中的 x0 常被取作 0, 形式,变为,此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.,麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 ),泰勒 ( Taylor,B. 1685-1731, 英国 ),带有佩亚诺型余项的泰勒公式,
4、例1 验证下列公式,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林公,式), 请务必牢记.,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,下面验证 1 和 6, 其余请读者自己验证.,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,故,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,解 由例1,那么,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,公式,于是得到,由泰勒系数公式可知,解,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限.,例4 求,解 因为,带有佩亚诺型余项的泰勒公式,所以,本题虽然可用洛必达法则来求, 但上法比较简单 .,前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是,下面是一个定量形式的泰勒公式.,我们用泰勒
5、多项式去替代函数,其误差为,有限增量公式的一个推广,泰勒公式,带有拉格朗日型余项的,带有拉格朗日型余项的泰勒公式,它只是定性地的告诉,在(a,b)内存在(n+1)阶导数,或者,到n 阶连续导函数,带有拉格朗日型余项的泰勒公式,证 设,上可导, 且,不妨设,上连续,在,带有拉格朗日型余项的泰勒公式,只要证明,由柯西中值定理,带有拉格朗日型余项的泰勒公式,于是得到,我们称,为 f (x) 在点 x0 的 n 阶拉格朗日型余项.,称为 f (x) 在点 x0 的带有拉格朗日型余项的 n 阶,注 请比较公式 (5) 与拉格朗日中值定理.,泰勒公式.,带有拉格朗日型余项的泰勒公式,故存在正数,使得,带有
6、拉格朗日型余项的泰勒公式,公式 (6) 称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.,样.,为泰勒多项式,公式 (3) 与公式 (5) 都是泰勒公式, 并且前面部分均,余项.,而不同的是 Rn(x) 的表达形式不一,读者在应用时,需根据不同情况选择合适形式的,例1 中六个公式的余项均为佩亚诺型的, 现在将,它们改写为带有拉格朗日型余项的公式:,带有拉格朗日型余项的泰勒公式,带有拉格朗日型余项的泰勒公式,这里仅对公式 (iii) 进行验证, 其余 5 个请读者自证.,于是,带有拉格朗日型余项的泰勒公式,从而有,带有拉格朗日型余项的泰勒公式,(2) 证明 e 是无理数.,解 由例5 可知,泰勒公式在近似
7、计算中的应用,在近似计算中的应用,于是,其误差不超过 .,下证 e 是无理数. 这是因为,在近似计算中的应用,矛盾.,( 同样可证明 都不是有理数.),则 (7) 式左边是整数，,当n2时(7)式右边不是整数.,由于,所以 e 是一个无理数.,例 6 计算 ln2 的值, 使其误差不超过10 -4.,解 我们自然会想到利用公式 (iv)，此时用 x = 1,代入，它的余项是,在近似计算中的应用,现考虑函数,显然这样的计算量太大, 所以必须寻找新的方法.,在近似计算中的应用,而,于是,在近似计算中的应用,只要取 n = 6, 便得到,其误差不超过0.0001 (真值为0.693147180).,那么,在什么条件下 Tn(x2) 一定是 f (x2) 的 2n 阶,泰勒多项式?,
