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1、第二章 单自由度系统,2-1 单自由度体系,2-2 广义单自由度体系,2-3 自由振动,2-4 谐振反应,2-5 周期荷载的傅里叶级数解,2-6 冲击荷载响应,2-7 杜哈梅尔积分（任意荷载时域解）,2-8 傅里叶变换（任意荷载频域解）,2-9 动力学的几个工程问题,2-1 单自由度体系,单自由度体系模型,质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t),单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法）,建立计算模型,直接平衡法，又称动静法，将动力
2、学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。,直接平衡法,根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为刚度法和柔度法。,平衡方程：,根据dAlembert原理：,等于弹簧刚度与位移的乘积：,阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：,由此得到体系的运动方程：,惯性力：,弹性力：,阻尼力：,刚度法: 取质量为隔离体，通过分析所受的全部外力（其中弹性力=ky），建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得到体系的运动方程。 关键在于求刚度k产生单位位移所需要的力（kN/
3、m）。,平衡方程：,试用刚度法建立图示刚架的运动方程,解,1） 确定自由度数: 横梁刚性，柱子无轴向变形。,2） 确定自由度的位移参数。,3） 质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！,4） 列动平衡方程：,1个自由度。,其中各力的大小：,位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力,等效粘滞阻尼力：,柱端发生平移 y 时产生的梁-柱间剪力：,由此得到体系的运动方程：,惯性力：,弹性力Fs=Fs1+Fs2：,比较：,运动方程的形式是一样的！,柔度法,以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据位移协调条件建立体系的运动方程。 关键在于求柔度 单位力
4、产生位移（m/kN）。,例 试用柔度法建立图示简支梁的运动方程,解,1） 确定自由度数: 集中质量，仅竖向位移：,2） 确定自由度的位移参数：质量 m 的位移：,3） 体系受力分析：取梁整体为隔离体，确定所受的所有外力（不隔离m，则没有弹性力）！,1个自由度。,4） 列质量m的位移方程：,d为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度：,惯性力：,阻尼力：,位移方程：,比较：,含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与 实际动荷载产生的位移相等！ 注：这里就是说作用于m上的集中荷载FE与均布荷载q（t）产生的m处位移相等,令：,FE(t) 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式
5、,已经知道柔度d和刚度k 之间的关系为：,结论：任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一 质量、弹簧、阻尼器体系的运动方程，一般形式为：,求图示结构的频率（ ）。,练习题,L/2,M1图,解1：,画M1图；由M1图求得 ；由 求得 。,),2-2 广义单自由度体系 刚体集合型、分布柔度型,刚体集合（弹性变形局限于局部弹性元件中） 分布柔度（弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成） 总之：只要可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动，就可以按照单自由度体系进行分析。,2-2-1 广义单自由度体系：刚体集合,刚体集合型可以将体系各个构件（部件）视为刚体（只有平动和转动），其任意
6、点得位移、速度、加速度均可用单自由度位移、速度、加速度表示出来。这样，其惯性力、弹性力、阻尼力也可表示出来。 采用虚位移原理来建立刚体集合型的振动方程。,根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运动方程。 虚位移为边界条件允许的假设微小变形。,1） 确定自由度数: 1个自由度。 2） 体系受力分析。,E2-1,也可以按力与虚位移均呈三角形分布而图乘计算虚功,令体系产生虚位移：,所有力在虚位移上产生的总虚功：,广义质量：,广义阻尼：,广义刚度：,广义荷载：,简化形式：,令： ，有：,E2-1续：增加轴力N,虚位移：,轴向力所做虚功：,小变形假设
7、：AB与CB垂直，其斜率互为倒数。,C,考虑轴向力的广义刚度：,讨论：,轴向压力使广义刚度减小，轴向拉力使广义刚度增大， 轴向力越大，广义刚度越小； 广义刚度为零时（动力失稳）：,刚体集合的各部件间有着复杂的关系，但因为约束条件使得两个刚性杆只可能有一种位移形式：所以它是一个真实的单自由度体系。 如果杆件可以发生弯曲变形，这时体系将具有无穷多个自由度。 如果由假定只能产生单一的变形形式包括有一个合适的产生弯曲变形的部件，那么，这样的体系仍可作为一个单自由度体系来分析。,列出图示结构的运动方程。,练习题,解：是单自由度体系。 以 建立位移方程。,1/2,叠加原理,利用弹簧受力与变形关系,特点：弹
8、性变形在整个结构或某些元件上连续形成； 条件：可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动。 解法：虚功原理、哈密顿原理,2-2-2 广义单自由度体系：分布柔性,假定唯一变形曲线后，成为单自由度体系：,广义坐标Z(t)，变形曲线y(x)：,虚功原理：杆件产生变形时，外力所做的虚功等于内力所做的虚功。,E2-2：虚功原理求解,地面运动引起的等效荷载：,外力：轴力N、惯性力、等效荷载。,惯性力：,考虑了这部分荷载，所以其它所有计算均以相对运动为依据。,外力所做的虚功：,惯性力：,地面运动引起的等效荷载：,轴力：N,泰勒级数展开,关系式：,虚功：,内力所做的虚功（弯曲势能）：,关系式：,令
9、：,令：,假定唯一变形曲线后，成为单自由度体系：,广义坐标Z(t)，变形曲线y(x)：,相对位移和绝对位移的关系。,E2-2：哈密顿原理求解,哈密顿原理：,1动能：,未考虑了地面运动引起的惯性力，所以其它所有计算均以绝对运动为依据。,2势能：,3无非保守力,代入哈密顿公式：,根据泛函变分原理得到与虚位移原理相同的结果：,E2-3,假定变形曲线：,刚度和质量均匀分布。,运动方程：,考虑轴向力时结构的几何刚度：,综合广义刚度：,临界屈曲荷载（动力失稳）：,2-3 自由振动,表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的动力特性，又称自振特性。,定义,结构的动力特性与结构的质量、刚度、阻尼及其分布有关。
10、,定义,结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的自由振动。 如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种振动称为结构的强迫振动，又称受迫振动 。,结构的自由振动与受迫振动,固有频率,质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为周期，单位时间内完成的循环次数称为频率。 结构在自由振动时的频率称为结构的自振频率或固有频率。 对大部分工程结构，结构的自振频率的个数与结构的动力自由度数相等。 结构的自振频率与结构的质量和刚度有关。,阻尼,结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼。 结构的自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。 由于阻尼而使振动衰减的结构系统
11、称为有阻尼系统。 阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。,最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系. 已经得到单自由度体系的运动方程：,（3-1）,这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复杂结构体系的广义坐标反应。,运动方程：,等效动荷载为零的情况下的振动称为自由振动。,定义,自由振动产生的原因：初始时刻的干扰！ 初始位移；初始速度；初始位移+初始速度,结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的自由振动。,去掉外荷载,p(t)=0!,齐次方程的求解：,可设齐次方程解的形式为：,（3-3）,其特征方程为：,或：,代入（3-2）可得：,（3-4）,
12、（3-2）称为（二阶常系数）齐次方程；,式中w2=k/m，w是体系振动的圆频率。 根据阻尼系数c 值的不同，解出的特征参数s 值将具有不同的特性。,（3-2）,2-3-1 无阻尼自由振动,得：,特征方程：,无阻尼自由振动：,（3-7）,引入Euler方程：,代入(3-2)得：,（3-9）,A和B是由初始条件决定的常数。,得无阻尼自由振动的位移反应：,（3-10）,（3-5）,此处还要假设G也为虚数，展开后有四项，其中带虚数项不可能，舍弃，详见教材解释。也可以直接用高等数学求解结构直接写出。,设t=0时：,代入：,代入：,单自由度无阻尼体系运动方程的解：,（3-11）,或写成：,（3-14）,位
13、移反应：,（3-10）,三角关系：,对比(3-11)，显然有：,(3-13)成为：,（3-11）,（3-14）,物理意义：,（3-11）,定义,对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大位移称为振幅。,运动完成一个完整循环所需时间称为自振周期，由于对应每个角增量 2p 便发生一个完整循环，自振周期就是：,单位时间内的循环次数称为自振频率：,运动的角速度称为自振圆频率：,2-3-2 阻尼自由振动,对于有阻尼的单自由度体系,特征方程：,自由振动方程：, 则：,随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述临界阻尼、低阻尼和超阻尼三种体系的运动型式。 本课程只讲临界阻尼和低阻尼两种情况。,（3-
14、2）,1.临界阻尼,当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然，应有cc/2m=w，即：,特征方程：,这时，对应的s 值为 ：,自由振动方程：,临界阻尼自由振动方程的解为：,（3-19）,（3-20）,（3-2）,由初始条件：,得到临界阻尼体系反应的最终形式：,临界阻尼位移解：,临界阻尼体系反应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的，依照指数规律衰减，回复到零点。,临界阻尼的物理意义是：在自由振动反应中不出现震荡所需要的最小阻尼值。,速度,（3-20）,2.低阻尼,特征方程：,自由振动方程：,如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2mw ，这时，特征方程根式中的值必然为负值
15、，则s 值成为：,引入符号：,其中x 表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则：,（3-2）,成为：,引入Euler方程：,引入符号：,其中wd 称为有阻尼振动频率。,则,利用初始条件：,得到低阻尼体系动力反应的最终形式：,（3-25）,写成矢量表达式：,运动的振幅（矢量的模）和初相位分别为：,（3-27）,低阻尼体系动力反应：,物理意义：,低阻尼体系的自由振动具有不变的圆频率wd ，并围绕中心位置振荡，而其振幅则随时间呈指数e-xwt 衰减。如果反应的时间足够长，最终会衰减到零。,3.超阻尼体系,特征方程：,自由振动方程：,如果体系的阻尼比临界阻尼大，则显然有c/2mw ，这时，特征方程
16、根式中的值为正值，则s 值成为：,（3-2）,（3-38）,超阻尼体系反应不是震荡的，体系的位移反应从开始时的，依照双曲函数规律衰减，回复到零点。返回速度较临界阻尼时更快。,确定体系阻尼比的一种方法,体系的阻尼比可以通过测试体系运动的衰减规律得到：,阻尼体系动力反应：,体系从任一时刻经几个周期后的振幅比为：,取对数后：,（3-35）,阻尼很小时（泰勒级数展开函数e（x）=1+x+.）：,体系阻尼的测试：,2）计算阻尼比：,确定结构体系阻尼的还有其它方法，最后一节详细介绍。,1）实测体系经过个周期后的位移幅值比：,3）计算阻尼系数：,（3-36）,计算图示刚架的阻尼系数,已知：,柱子无重、刚性梁； F=90kN使大梁产生5mm的初位移； 摆动1周后的位移4mm； 周期为1.4s.,解,确定梁的有效质量:,计算阻尼系数：,阻尼特性:
