第二章地图的数学基础(1)剖析

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1、第二章 地图的数学基础（1）,上一节 内容回顾,数字地图制图的流程 地图的分幅与编号 地图学的定义 地图学的学科体系，由哪些内容组成 地图学的发展趋势,地图的数学基础,一、空间坐标系 二、地图比例尺 三、地图定向 四、地图投影,人们对空间数据的一个基本应用就是获取事物在地球空间中的位置信息，由此可了解地物与地理环境的定位关系，而空间坐标系的选择则是给事物定位的前提。 确定事物在空间中的位置，需要三个维量，分别由坐标系统和高程系统来规定，其中坐标系用于确定地物在地球椭球面和地图平面上的位置，高程系用于确定陆地地形表面离高程起算面的高度或海底地形表面离水深起算面的深度。,2-1 空间坐标系,2-1

2、 空间坐标系,目前，最常用的坐标系有两种： 地理坐标系 平面直角坐标系 高程系根据陆高和水深的计量也分为两种： 陆高高程系 水深高程系,2-1 空间坐标系,一、地理坐标系 地理坐标系是一种较古老的按经纬度计量的坐标系，是由公元前古希腊哲学家和地理学家亚里士多德首先用于实践的。这是一种基本坐标系统，被用于一切基本定位计算，例如基本测量、航空、航海以及全球定位系统（GPS）的定位。地理坐标系统的建立与地球体形和地球表面密切相关。,Aristotle,通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量等精密测量，发现： 地球并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨

3、形的椭球体。,地球的自然表面,地球的自然表面是一个起伏不平，十分不规则的表面。对于地球测量而言，地表是一个无法用数学公式表达的曲面。 为了寻求一种规则的曲面来代替地球的自然表面，人们设想当海洋静止时，平均海水面穿过大陆和岛屿，形成一个闭合的曲面，该面上的各点与重力方向（铅垂线）成正交，这就是大地水准面。大地水准面所包围的球体，叫大地球体。 大地水准面是对地球形状的一级逼近,2-1 空间坐标系,一、地理坐标系地球椭球面,地球表面不规则，最大高差2万米； 接近一个由大地水准面构成的大地体；,这种形体的表面接近具有微小扁率的旋转椭球面，即以椭圆的短轴（地轴）为旋转轴的椭球面。这种椭球面是用来代表地球

4、形状的，因而又名“地球椭球面”。,2-1 空间坐标系,一、地理坐标系地球椭球面,这是一个纯粹的数学表面，用简单的数学公式即可表达 ：,常用的符号有a、b、e、e，这些符号的含义叫做地球椭球的基本元素。,2-1 空间坐标系,一、地理坐标系地球椭球面,其中 、e、e 的名称和公式为：,扁 率,第一偏心率,第二偏心率,2-1 空间坐标系,一、地理坐标系地球椭球面,扁率和偏心率都反映了椭球的扁平程度。决定地球椭球的形状和大小，只要知道上面五个基本元素中的两个就够了，但其中至少必须有一个是长度元素（a或b）。 这些基本元素，由于推求的年代不同，测定的地区不同，其成果很不一致，因此地球椭球的元素值有多种。

5、,几个著名的地球椭球元素值,2-1 空间坐标系,一、地理坐标系经纬线与地理坐标,B纬度，从赤道起算 L经度，从格林尼治首经线起算 地理坐标系中某点的纬度和经度，是用大地测量的方法测定的，故又称这种地理坐标系为大地地理坐标系，简称大地坐标系。,2-1 空间坐标系,一、地理坐标系经纬线与地理坐标,大地坐标的取得首先需要建立合适的大地坐标原点，以此为测量基准来布设大地控制网，再由此逐点推算各控制点的坐标，即大地经纬度。根据不同的坐标原点推算出来的同名点的大地坐标是不同的，因此，获取地面点的地理坐标信息时，不仅要获得其经纬度坐标，还要知道该坐标所依据的地球椭球和大地坐标原点。这些信息都可以从地形图的图

6、外说明中得到。,2-1 空间坐标系,一、地理坐标系椭球体的采用,各国根据适合本国的区域地球特点来采用椭球体。 中国： 1932年前采用白塞尔椭球，其后采用海福特椭球； 1952年采用克拉索夫斯基椭球； 1980年进行天文大地网平差时，采用国际大地测量协会1975年推荐的GRS75椭球，坐标原点设在陕西西安1980国家大地坐标系； 现在我国军用地图上所采用的就是“整体平差值的1954年北京坐标系”，区别于从原苏联1942年坐标系联测、平差推算到我国的“1954年北京坐标系”。,2000 国家大地坐标系,地心坐标系 原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。 Z轴指向BIH1984.0定义的协议极

7、地方向（BIH国际时间局）X轴指向BIH1984.0定义的零子午面与协议赤道的交点， Y轴按右手坐标系确定。 2000国家大地坐标系采用的地球椭球参数如下： 长半轴 a=6378137m 扁率 f=1/298.257222101 地心引力常数 GM=3.9860044181014m3s-2 自转角速度 =7.292l1510-5rad s-1,参心坐标系 是以参考椭球的几何中心为原点的大地坐标系。 地心坐标系 以地球质心为原点建立的空间直角坐标系,1954年北京坐标系、1980西安坐标系是参心坐标系， WGS84坐标系、2000 国家大地坐标系是地心坐标系,2-1 空间坐标系,一、地理坐标系椭

8、球体的采用,原苏联和东欧国家：采用的是“1942年坐标系”，克拉索夫斯基椭球体，坐标原点设在列宁格勒普尔科夫天文台； 美国、加拿大、墨西哥及中美洲和西印度群岛：采用“1927年北美坐标系”，克拉克 （1866年）椭球，原点设在美国勘萨斯州的米德斯兰奇； 南美国家：采用“1956年南美坐标系”，海福特椭球，原点设在委内瑞拉的拉卡诺阿； 日本：采用“1918年东京坐标系”，白塞尔椭球，原点设在东京；,2-1 空间坐标系,一、地理坐标系椭球体的采用,西欧各国、北非和南部非洲一些国家：采用“1950年欧洲坐标系”，海福特椭球，坐标原点设在德国波茨坦的格墨特塔； 印度等南亚各国：采用“印度坐标系”，埃弗

9、勒斯椭球，原点设在卡兰普尔； 越南、老挝、柬埔寨等印度支那各国：采用“印度支那坐标系”，克拉克 （1880年）椭球，原点位于别尔维地亚； 我国台湾省：采用的是“中国台湾大地坐标系”，海福特椭球，原点设在虎子山。,2-1 空间坐标系,二、平面直角坐标系,经纬线在平面地图上表现为曲线，单位是按角度的度、分、秒计量，而且单位长度也不是常数。因此经纬线网对于进行量算作业很不方便。对于较小的制图区域（较大比例尺图的图区），由球面投影到地图平面上所产生的几何变形较小，在图上加绘平面直角坐标网有利于做高精度的定位和定向作业，于是在大中比例尺地形图上就出现了直角坐标网格。,2-1 空间坐标系,二、平面直角坐标

10、系,经差1的纬线弧长,纬差1 的经线弧长在赤道地区约为110.6公里，在两极地区约为111.7公里。,2-1 空间坐标系,二、平面直角坐标系,在实地上并不存在平面坐标原点的自然参考点，坐标原点完全可根据用途需要来任意选择。但对于地形图这样的国家和军队基本系列地图，为了使用起来统一、方便，还是规定了坐标原点的定位。 在测绘中所采用的平面直角坐标系是一种笛卡儿坐标系，但与数学上常用的坐标系的表示方法不同，它是用X表示纵轴，Y表示横轴，以便角度从X轴按顺时针方向计量。,2-1 空间坐标系,三、高程系高程,确定地形的空间位置，还需要第三维量高程或水深。陆地的高程和海底的水深是由两个不同的起算系统计量的

11、。 高程的表示 高程是指由高程基准面起算的地面点高度，高程基准面是根据验潮站所确定的多年平均海水面而确定的。,2-1 空间坐标系,三、高程系潮面示意图,干 出 高,平 均 海 面 高,山 高,水 深,理论深度基准面,灯塔高,略最高高潮面,平均大潮高潮面,平均小潮高潮面,平均海水面,平均小潮低潮面,平均大潮低潮面,略最低低潮面,干出滩,干出礁,2-1 空间坐标系,三、高程系高程的起算,在不同的海域，观测得到的平均海水面并不相同，但为了统一高程起算，各国都规定唯一的平均海水面。 我国在1985年前采用以青岛验潮站19501956年测定的黄海平均海水面作为统一的高程基准面。凡由该基准面起算的高程，统

12、称为“1956年黄海高程系”。 1956年黄海高程系的水准原点设在青岛市的观家山上，它对黄海平均海水面的高程为72.298米。国家各级高程控制点的高程值，都是由该点传算的。,2-1 空间坐标系,三、高程系高程的起算,经过多年的观测数据的积累，发现黄海平均海水面发生了微小的变化。根据青岛验潮站19521979年潮汐观测资料计算的平均海水面，计算出国家水准原点的高程值为72.260米。为此，我国从1985年开始使用新的高程系统，并命名为“1985年国家高程基准”。在地形图的图外说明部分，都注明所采用的高程系。,2-1 空间坐标系,三、高程系等高距,大、中比例尺地图的等高距,1：100万比例尺地图的

13、等高距,其中，从0米开始，凡高程为5个基本等高距的整倍数的等高线加粗表示。,其中0，1000，2000，3000，5500和8000米的等高线加粗表示。,100,120,140,160,180,2-1 空间坐标系,三、高程系水深,水深是指以深度基准面为零向下计算的海底深度。 我国海图上采用的深度基准面是“理论深度基准面”，这是通过验潮和计算得出的理论上可能最低的潮面。制定这个面时，通常要求有90的“保证率”，即它比绝大多数的低潮水位还要低。但还有10的可能是遇到极低的低潮时露出。海上确定这个基准面是为了保证航海安全和航道的使用率。,2-1 空间坐标系,三、高程系水深,海图上的灯塔、立标等航标的

14、高程是以“平均大潮高潮面”为基准面，计算到发光点的高程。,理论深度基准面在平均海水面以下，它们的高差在海图“潮信表”中“平均海面”一项下注明，如平均海面为2.2米，意既深度基准面在平均海水面下2.2米处。,2-1 空间坐标系,三、高程系海岸线,海岸线是指平均大潮高潮时的水陆分界的痕迹。因此，海岸线不是0米等高线，也不是0米等深线。在无滩陡岸地带这三条线就合为一条了。,在小比例尺图上除了那些有很宽的潮浸地带（干出滩）的地区以外，三条线也没什么差别。,2-1 空间坐标系,三、高程系等深线,在海图与地形图上，水深是通过等深线、水深点和水深注记来表示。单位为米。海图上大多采用变距深度表，我国海图的等深

15、线深度表如下：,2-2 地图比例尺,地图比例尺,将椭球面上的客观世界表现在有限的平面上，必然遇到大与小的矛盾.,图解比例尺,地图比例尺的含义和表示 由于地图投影的原因会造成地图上各处的缩小比例不一致性，因此，进行地图投影时，应考虑地图投影对地图比例尺的影响。 在以纸质为信息载体的地图上，地图内容的选取、概括程度、数据精度等都与比例尺密切相关， 电子地图出现后传统的比例尺概念发生新变化，在计算机生成的屏幕地图上，比例尺主要表明地图数据的精度。屏幕上比例尺的变化，并不影响上述内容涉及的地图本身比例尺的特征。,一、地图比例尺的含义 当制图区域比较小，地图投影后，各方面变形都相对比较小，因此，图面上各

16、处长度缩小的比例都可以看成是相等的。在这种情况下，地图比例尺的含义，具体指的是图上长度与相应地面之间的长度比例。 当制图区域相当大，制图时对景物的缩小比率也相当大，在这种情况下采用的地图投影比较复杂，地图上的长度也因地点和方向不同而有所变化。在这种情况下所注明的比例尺含义，其实质指的是在进行地图投影时，对地球半径缩小的比率，通常称之为地图主比例尺。地图经过投影后，体现在地图上只有个别的点或线才没有长度变形。换句话说，只有在这些没有变形的点或线上，才可以用地图上注明的主比例尺进行量算。,二、地图比例尺的表示 1.比例尺的表示 传统地图上的比例尺通常有以下几种表现形式：数字式比例尺、文字式比例尺、图解式比例尺。 （1）数字式比例尺 如110000 （2）文字式比例尺 如图上1厘米等于实地1千米 （3）图解比例尺：可分为直线比例尺、斜分比例尺和复式比例尺。 直线比例尺，是以直线线段