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1、 2010级高数（二）（专）期末试卷（A） 共4页 第4页2010级高等数学(二)期末试卷（专）（A）评分参考标准 考试时间：2011.5 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 设,则其定义域为()； ()；()； ()； 答（ A ）2. 直线和平面的交点为()； ()；()； ()； 答（ A ）3. 空间曲线在处的切向量为 ()； ()；()； ()； 答（ D ）4. 及存在是在处可微的()充分条件； ()必要条件； ()充要条件； ()既不是充分条件,也不是必要条件；答（ B ）5. 下列级数中收敛的为()； ()；()； ()； 答（ B ）二、填空题（本大题
2、共5小题, 每小题3分，共15分） 6. 二重积分 7. 假设向量、两两垂直,且,则 8. 假设且函数在点可微,则 9. 已知级数的前n项部分和,则此级数的通项 10. 设为连续函数,则累次积分交换积分次序后变为 三、解答下列各题（本大题共7小题，每小题8分，共56分）11(8分) 求与两平面和的交线平行且过点的直线方程.解: 直线L的方向向量4分故直线方程为8分12(8分) 求解初始值问题.解：特征方程为，解得特征根为，2分 从而通解为 4分求导得5分 将初始条件代入得解得，.7分所以初值问题的解为8分 13. (8分) 设方程确定隐函数,证明：.解：2分，5分6分7分故8分14(8分) 假
3、设是顶点分别为的直角梯形,求.解： 4分 6分8分15(8分) 求函数的极值.解：由，得驻点为，2分又，4分在点处，且，故为极小值；在点处，故不是极小值；在点处，故不是极小值；在点处，且，故为极大值8分16. (8分) 讨论无穷级数的敛散性,并判断是条件收敛还是绝对收敛且说明理由.解：记，则且2分 故由莱布尼兹定理知收敛4分 又因6分 故发散.即条件收敛8分17. (8分) 求幂级数的收敛半径,收敛区间和收敛域. 解：记，则 2分故收敛半径为，收敛区间为4分当时，级数为是收敛的，当时，级数为是收敛的6分所以的收敛域为8分 四、解答下列各题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）18(7分) 要造一个体积等于的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,使得它的表面积达到最小.解：令长方体的长,宽,高分别为,则表面积且2分作Lagrange函数 4分由,有6分故,7分19(7分) 假设级数满足条件： （1）； （2）收敛； 证明：级数收敛.证明：记,则2分 由（2）可知存在,设为,则有4分 又因,故由（1）可知6分即,故级数收敛7分 4
