心理与教育统计学第7章参数估计剖析

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1、第七章 参数估计,章节内容,第一节 点估计、区间估计与标准误 第二节 总体平均数的估计 第三节 标准差与方差的区间估计 第四节 相关系数的区间估计 第五节 比率及比率差异的区间估计,总体参数估计：在研究中从样本获得一组数据后，通过这组信息，对总体特征进行估计，即从局部结果推论总体的情况。 总体参数估计分点估计和区间估计两种。,第一节 点估计、区间估计与标准误,一、点估计的定义 点估计(point estimation)：用某一样本统计量的值来估计相应总体参数的值。 点估计的优点在于它能够提供总体参数的估计值。,二、良好估计量的标准,1.无偏性 无偏估计量(unbiased estimate)：

2、用多个样本的统计量作为总体参数的估计值，其偏差的平均数为0。 样本平均数 是总体平均数的无偏估计值；但样本方差s2不是总体方差2的无偏估计值，2的无偏估计值是 。,2.有效性 当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏估计变异小者有效性高，变异大者有效性低，即方差越小越好。 的无偏估计值有 、Md、Mo等，但 的变异最小。故 是最有效的估计值。,3.一致性 当样本容量无限增大时，估计值应能够越来越接近它所估计的总体参数，估计值越来越精确，逐渐趋近于真值。 当N时， ， 2。,4.充分性 一个容量为n的样本统计量，是否充分地反映了全部n个数据所反映总体的信息。 比Md、Mo充分性高； 比AD、Q

3、更具有充分性。 点估计总是以误差的存在为前提，也不能提供正确估计的概率。,三、区间估计与标准误,（一）区间估计的定义 区间估计(interval estimate)：根据估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间范围，用数轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围。 区间估计在点估计的基础上，不仅给出一个估计的范围，使总体参数包含在这个范围之内，而且还能给出估计精度并说明估计结果的有把握的程度。,（二）置信区间与显著性水平,置信区间(confidence interval, CI)：置信间距，是指在某一置信度时，总体参数所在的区域距离或区域长度。 置信区间的上下两端点值称为置信界限(confid

4、ence limits)。,显著性水平(significance level)：估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的概率，用符号表示。有时也称之为意义阶段、信任系数等。 显著性水平在假设检验中，还指拒绝虚无假设时可能出现的犯错误的概率水平。 1为置信度或置信水平(confidence level)。,（三）区间估计的原理与标准误,区间估计是根据抽样分布理论，用抽样分布的标准误(SE)计算区间长度，解释总体参数落入某置信区间可能的概率。 区间估计存在成功估计的概率大小及估计范围大小两个问题。 统计分析一般采取的办法：在保证置信度的前提下，尽可能提高精确度。,0.05水平和0.01水平是人们习

5、惯上常用的两个显著性水平。 区间估计的原理是抽样分布理论。在计算区间估计值，解释估计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分布规律及抽样分布的标准误(SE)。 抽样分布可提供概率解释，而标准误的大小决定区间估计的长度。一般情况下，加大样本容量可使标准误变小。,平均数的区间估计,第二节 总体平均数的估计,样本平均数的平均数与母总体的平均数相同( )，故对平均数总体的平均数进行估计就是对母总体平均数的估计。,一、估计总体平均数的步骤,1.根据实得样本的数据，计算样本的平均数与标准差。 2.计算标准误 。 （1）当总体方差已知时 （2）当总体方差未知时,3.确定置信水平或显著性水平。 统计学上一般规定

6、显著性水平为0.05或0.01。 4.根据样本平均数的抽样分布，确定查何种统计表。 一般当总体方差已知时，查正态表；当总体方差未知时，查t值表。确定Z/2与t /2。,5.计算置信区间。 （1）如果查正态分布表，置信区间可写作： （2）如果查t值表，置信区间可写作： 6.解释总体平均数的置信区间。,总体方差2已知时，对总体平均数的估计,1.当总体分布为正态时，不论样本n的大小，其标准误均为： 2.当总体为非正态分布时，只有当样本容量n30时，才能根据抽样分布对总体平均数进行估计，否则不能进行估计。,【例7-1】 已知母总体为正态分布，=7.07，从这个总体中随机抽取n1=10和n2=36的两个

7、样本，分别计算出 ， ，试问总体参数的0.95和0.99置信区间。,解： 平均数的标准误：,用n1=10的样本估计总体参数： 0.95的置信区间 0.99的置信区间,根据n2=36的样本估计总体参数： 0.95的置信区间 0.99的置信区间,【例7-2】 有一个49名学生的班级，某学科历年考试成绩的 ，又知今年某次考试成绩是85分，试推论该班某学科学习的真实成绩分数。,解： 定置信水平为0.95，查正态表得Z(1)/2=1.96。,总体方差2未知，对总体平均数的估计,总体方差未知，用样本的无偏方差( )作为总体方差的估计值，实现对总体平均数的估计。因为在总体方差未知时，样本平均数的分布为t分布

8、，故应查t值表，确定t/2或t(1)/2。 有两种情况： （1）总体的分布为正态时，可不管n之大小。 （2）总体分布为非正态时，只有n30，才能用概率对其抽样分布进行解释，否则不能推论。,【例7-3】 假设2未知，n1=10， =78，s1=8，n2=36， =79，s2=9，问其总体参数的0.95置信区间是多少？,解：平均数的标准误 0.95的置信区间 当n1=10时，df1=9，t0.05/2=2.262,当n2=36时，df2=35，t0.05/2=2.042,【例7-4】 某班49人期末考试成绩为85分，标准差s=6，假设此项考试能反映学生的学习水平，试推论该班学生学习的真实成绩分数。

9、,解： t0.05/2(40)=2.021 0.95的置信区间,第三节 标准差与方差的区间估计,一、标准差的区间估计 根据抽样分布的理论，当样本容量为n30时，样本标准差的分布为渐近正态分布，标准差的平均数： 标准差分布的标准差： 置信区间可写作：,【例7-5】 有一随机样本n=31，sn-1=5，问该样本之总体标准差的0.95置信区间。,解：此题n30，样本标准差的分布可视为渐近正态分布，即Z0.05/2=1.96。 0.95的置信区间为：,二、方差的区间估计,根据2分布： 自正态分布的总体中，随机抽取容量为n的样本，其样本方差与总体方差比值的分布为2分布，这样可直接查2表确定其比值的0.9

10、5与0.99置信区间。,总体方差的0.95与0.99置信区间： 查df=n1的2表确定 与 。,【例7-6】 已知某测验分数的样本n=10， ，问该测验分数总体方差2的0.95和0.99置信区间是多少？,解：计算0.95的置信区间，此时=0.05 查2 表，df=9时， ，,（2）计算0.99的置信区间，此时=0.01 查2 表，df=9时， ，,【例7-7】 n=31，sn-1=5问的0.95置信区间？ 解：先求方差的置信区间，当df=30，查2表， 不等号两边都开平方，取正平方根，结果为,三、二总体方差之比的区间估计,根据F分布的意义，从总体方差为 与 的两总体中，分别随机抽取容量为n1与

11、n2的两样本，计算其样本方差之比 ，服从F分布(df1=n11, df2=n21)。因为样本方差只是 与 的无偏估计，所以其样本方差之比 ，多数围绕总体方 差之比 上下波动，少数有所偏离，形成F分布。,如果两总体方差 ，其样本方差之比多数应在1上下摆动。因此，对二总体方差相等的区间估计用 。,根据F分布，可估计二总体方差之比的置信区间： 若二总体相等，上式可写作：,【例7-8】已知n1=10， ，n2=15， 。问二总体方差之比 在0.99置信区间，能否说二总体方差相等？,解： 单侧概率，F0.01=4.03 (df1=9, df2=14) 0.99的置信区间：,（2）双侧概率，F0.01=4

12、.54，(df1=9，df2=14) 0.99的置信区间：,第四节 相关系数的区间估计,一、积差相关系数的抽样分布 （一）当总体的相关系数为负值时，样本r的分布呈不同程度的正偏态。当为正值时，相关系数r的分布呈不同程度的负偏态。在0的情况下，只有样本容量充分大（即n500）时，才渐近正态分布，而且趋于正态很慢。这时，抽样分布的标准误(SEr)为,偏态分布 两个特点： 一是左右不对称（即所谓偏态）； 二是当样本增大时，其均数趋向正态分布。 偏态分布又可分为正偏态分布和负偏态分布两种类型： 如果频数分布的高峰向左偏移，长尾向右侧延伸称为正偏态分布，也称右偏态分布； 如果频数分布的高峰向右偏移，长尾

13、向左延伸则成为负偏态分布，也称左偏态分布。,（二）当总体相关系数=0时，样本相关系数的分布，服从自由度df=n2的t分布，标准误为：,（三）当总体相关系数0时，样本相关系数的分布，只有当n充分大时，才渐近正态分布，其分布函数很复杂。 统计学家费舍利用 或 将r值转换成Z值，这些Z值渐近服从正态分布，即费舍Z分布，其标准误为：,二、积差相关系数的区间估计,（一）当总体相关系数为零时 df=n2,（二）当总体相关系数不为零时 1.n500,2.利用费舍Z函数分布计算 利用Z的置信区间，估计相关系数r的置信区间的具体步骤 （1）将样本相关系数转换成Z函数 利用公式计算 查rZr转换表,（2）计算Zr

14、的置信区间 ZrZ/2SEZ,（3）将Zr的置信区间转换成相关系数 利用公式计算r值 查附表rZr转换表，将Zr转换成r值,【例7-9】 某校120名学生通过甲乙两测验，计算相关系数为r=0.24，问该两测验总体相关系数的0.95置信区间。,解：假设其总体相关系数为=0， t0.05/2(118)=1.98（取df=120的近似值） 0.95的置信区间,查附表8，r=0.24时Zr=0.245 Z0.05/2=1.96,因此0.95置信区间：,Zr=0.064，差附表8（Zr-r转换表）得r为0.064 Zr=0.426，查附表8（Zr-r转换表）得r为0.40（近似值） 因此，总体相关系数的

15、置信区间为0.0640.40。,三、等级相关系数的区间估计,斯皮尔曼等级相关系数在9n20时，rR的分布近似为df=n2， 的t分布。,df=n2,若n20，rR的分布近似正态分布，标准误 t/2改为Z/2求置信区间。,【例7-10】 N=15，rR=0.41，问其总体相关系数的0.95置信区间。 解： 查t表， t0.05/2(13)=2.160，0.95置信区间：,第五节 比率及比率差异的区间估计,一、比率的区间估计 （一）比率的抽样分布 比率的分布为二项分布。 当np5（或nq5）时，样本比率 的分布为渐近正态分布。 平均数 标准误,样本比率 ，是总体比率p的点估计值，因此当总体p、q未知时，可用 、 代替， 比率的标准误：,比率的标准误与二项分布的标准差意义相同，只是使用的单位不同。二项分布用成功的次数表示： 若用比率表示，则：,（二）比率的区间估计 1.当 时，比率的置信区间,【例7-11】 从四