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1、回归分析与预测,变量之间的关系可以分为函数关系和相关关系两类，函数关系表示变量间一一对应的关系，而相关关系则是变量间的某种非确定的依赖关系,相关关系虽不确定，但在大量统计资料的基础上，可以找出相关关系变量之间的规律性，并借助相应的函数来表达这种规律性，对应的函数称为回归函数,这种用函数的形式来描述与推断现象之间的相关关系，称为回归分析,回归分析,回归参数的估计,参数的检验,方程拟合效果评价,变量的个数,一元回归分析,多元回归分析,变量之间的形式,线性回归分析,非线性回归分析,预测则是人们根据历史的资料和现实，利用已经掌握的知识和手段，对事物的未来值进行事前的推测和判断，为计划或决策提供依据,预
2、测,点预测,区间预测,根据回归方程返回自变量对应的因变量的预测值,根据回归方程返回对应因变量的预测区间,1. 一元线性回归分析与预测,对应存在相关关系的两个变量X和Y，其中X为自变量，Y为因变量，可以建立回归方程：,其中， 为回归方程常数项， 为回归的系数， 为随机误差项,根据最小二乘法，可以得到 和 的估计值 和,其中 和 分别为变量 和 的样本的均值,回归的参数方程:,回归参数的显著性检验,在样本容量较小时，总体回归参数的显著性检验通过对回归参数进行t检验实现,给定原假设 ，对应的t统计量为,拟合优度检验,拟合优度又称可决系数，可以用来检验回归方程对观测数据的拟合程度，可以度量方程总体回归
3、效果的优劣,对应可决系数为,例1 应用散点图和趋势线进行回归分析,某家电厂商需要研究广告投入的效果，从所有销售额相似的地区中随机选取16个地区，分别统计该地区的销售额和广告费用数据如下表所示，试应用散点图和趋势线确定销售额和广告费用的回归方程，并给出方程的拟合优度,16个地区广告费用和销售额(万元),例2 应用LINEST函数进行回归分析,某年度12个地区的财政收入和国民生产总值量如下表所示，试给出财政收入与国民生产总值的回归方程并分析回归效果,某年度12个地区财政收入与国民生产总值,例3 应用回归函数进行回归分析,某年度12个地区的财政收入和国民生产总值量如下表所示，试给出财政收入与国民生产
4、总值的回归方程并分析回归效果,某年度12个地区财政收入与国民生产总值,例4 应用回归分析工具进行回归分析,已有研究表明一种股票的收益率同市场(market)的收益率相关，下表给出了2004年6月间22个交易日中长江电力(代码600900)的收益率和整个市场的收益率数据，试运用回归分析工具得到长江电力收益率同市场收益率的回归方程，并给出回归残差图和线性拟合图,2004年6月22个交易日长江电力的收益率与市场收益率,若为点预测，则 对应的预测值 为,和 变量对应的一元线性回归方程为,需要预测当 时，对应的 值,若为区间预测，则可分为对应的预测值 为预测的的均值还是个体值,若预测的为均值，真实值为,
5、两者之间 的标准差 为,其中，,在给定显著性水平 下，对应的 的置信区间为,若预测的为个体值，真实值为,两者之间 的标准差 为,在给定显著性水平 下，对应的 的置信区间为,例5 一元线性预测,某家电厂商需要知道在一定的广告费用投入下对应的销售额，从所有销售额相似的地区中随机选取12个地区，分别统计该地区的广告费用和销售额数据如下表所示，试预测当投入广告费用为500万元时的销售额，并在0.05的显著性水平下给出预测区间,12个地区销售额和广告费用(万元),2. 多元线性回归分析与预测,对于因变量Y和 建立多元线性回归方程,其中， 为常数项， 分别为自变量 的回归系数， 为随机误差项,根据一组样本
6、，可以得到样本的回归方程:,将回归系数写成矩阵的形式，则根据最小二乘法有:,其中,多元回归分析的拟合优度主要采用可决系数和调整可决系数度量,可决系数为回归平方和和总平方和的比值:,由于 与自变量的数目有关，对于多元线性回归采用调整 来度量拟合优度,其中，N为观测次数，n为自变量的个数,回归方程的显著性检验，是检验可决系数 是否显著，对应的F统计量值为,回归系数的显著性检验是检验每个自变量是否对因变量有显著影响，采用t检验，对应的t统计量为,其中，j=1,n，给定显著性水平下可以通过t检验自变量 是否对 有着显著的影响,例6 运用LINEST函数进行多元线性回归分析,某公司为了研究某种产品的销售
7、额与广告费用和促销费用的关系，从销售额相近的销售点中随机抽取了12个销售点的样本，对应12个点的销售额和广告费用、促销费用如下表所示，试给出销售额与广告费用和促销费用的回归方程，并在0.05的显著性水平下对方程进行总体的显著性和回归系数的显著性进行检验,12个销售点的销售额及广告和促销费用(万元),例7 运用回归分析工具进行多元线性回归分析,某研究人员试图研究社会零售商品总额的影响因素，选取4个可能的影响因素: 人均可支配收入、国内生产总值、固定投资总额和财政收入，对应15年间的统计结果如下表所示，试给出零售商品总额的决定方程，并在0.05的显著性水平下判断方程总体的显著性和哪些因素显著，并给
8、出自变量的残差图,15年的统计数据,对于因变量Y和自变量 多元线性回归方程,则一组自变量 ，对应的因变量的点预测值为,区间预测值分为均值的预测区间和个体值的预测区间,若将 理解为 的预测值，则在给定显著性水平 下， 的置信区间为,其中，,；N为观察次数；n为自变量个数,若将 理解为个体值 的预测值，则在给定显著性水平下， 的置信区间为,例8 多元线性预测,某地区10年间的零售商品总额、国民生产总值和人口数如下表所示，若已知明年该省的国民生产总值为60亿元，人口数为3950万，试给出明年零售商品总额的点预测值,10年间零售商品总额、国民生产总值和人口数,3. 一元非线性回归分析与预测,如果自变量
9、X和因变量Y的回归方程为,则称此回归方程为指数回归方程,对于指数回归，主要有两种方法:,(1) 绘制散点图，通过添加趋势线拟合出指数回归曲线，并得到拟合优度:,(2) 通过两边取对数将其线性化化为一元线性回归问题:,运用一元线性回归得到回归参数 和,例9 指数回归分析,某超市自开业12年来销售额如下表所示，试运用两种指数回归方法给出销售额与年度t的回归方程,12年的销售额,例10 指数回归与预测,某超市自开业12年来销售额如下表所示，试运用LOGEST函数给出销售额与年度的回归方程，并采用GROWTH函数预测第13年的销售额,12年的销售额,如果自变量X和因变量Y的回归方程为,则称此回归方程为
10、对数回归方程,对于对数回归，主要有两种方法:,(1) 绘制散点图，通过添加趋势线拟合出指数回归曲线，并得到拟合优度:,(2) 将 作为新的自变量直接同 进行一元线性回归，得到样本回归方程,令 ，即可得到相应的预测值 :,例11 对数回归分析,某研究人员希望研究房地产行业上市公司2003年中股东总股利与销售收入之间的关系，选取有分红的上市公司总共13家，对应总股利和销售收入如下表所示，试采用对数回归给出总股利与销售收入的回归方程,13家公司的股利和销售收入(百万元),如果自变量X和因变量Y的回归方程为,则称此回归方程为幂函数回归方程,对于幂函数回归，主要有两种方法:,(1) 绘制散点图，通过添加
11、趋势线拟合出指数回归曲线，并得到拟合优度:,令 ，即可得到相应的点预测值 :,(2) 通过两边取对数化为一元线性回归，得到样本回归方程:,例12 幂函数回归分析,生产函数一般可以看作幂函数，某研究人员统计了采掘行业20家上市公司2003年的固定资产投资和净利润如下表所示，试给出净利润和固定资产投资的回归方程,20家公司的净利润和固定资产投资(百万元),如果自变量X和因变量Y的回归方程为,则称此回归方程为多项式回归方程,对于多项式回归，主要有两种方法:,(1) 绘制散点图，通过添加趋势线拟合出指数回归曲线，并得到拟合优度:,通过多元线性回归可得到回归方程的参数,(2) 令 将样本回归方程化为多元
12、线性回归,令 ，即可得到多项式回归方程给出相应的点预测值 :,例13 多项式回归分析,某研究人员统计了房地产行业2003年主营业务收入和净利润的关系，从中随即抽取20家上市公司，统计后的主营业务收入和净利润如下表所示，试采用多项式回归方程给出净利润与主营业务收入的关系,20家公司的净利润和固定资产投资(百万元),已有研究认为单个股票的收益率同整个市场的收益率存在关系，已知深发展(代码000001)和整个市场2003年1月至2004年6月18个月的收益率如下表所示，试: (1)给出单个股票的收益率Y同市场组合收益率X的回归方程 (2)当市场组合收益率为5%时，给出深发展收益率的点预测和区间预测,
13、练习1,两种股票的价格,某研究人员需要分析我国固定资产投资状况的影响因素，选取可能5个影响因素：国内生产总值、商品房屋销售额、财政支出、社会消费品零售总额、进出口总额，统计19872001共15年的各项指标如下表所示，试在0.05的显著性水平下进行多元回归分析，进行总体显著性检验并判断哪些因素对固定资产投资有着显著影响，给出回归方程,练习2,15年的统计数据,我国从1982至2001年间的20年的财政收入（Y）和国内生产总值（X）如下表所示，试分别采用指数回归、对数回归、幂函数回归和多项式回归4种非线性回归方法分别给出回归方程，并根据可决系数选择最佳回归方程,练习3,1982-2001年的国内生产总值和财政收入（亿元）,
