第十三章 动量矩定理,13.2 转动惯量,1、定义： 2、力学意义 由 知，,13.2 转动惯量,一、刚体对轴的转动惯量,即：转动惯量在数值上等于使转动刚体获得一个单位 的角加速度时所需要的力矩当a=1时，,,4、单位：kg·m2；kg·cm2 若单位制不同，则Jz的单位不同，为了避免不同的单位制引起错误，也为了便于记忆，将 Jz /m，就变成只与长度有关的量（而各单位制中长度都是基本量）因此就可统一表示3、性质,转动惯量的性质与刚体的质量以及质量相对于转动轴的分布状况有关5. 回转半径 定义：,即：物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关 对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的则,5、回转半径,显然、如假想地将刚体质量m 集中于一点而不改变刚体对某 轴的转动惯量，则,或者，假想刚体的质量集中在距离轴为的圆周上，（假想把刚体压成一个细圆环），其转动惯量与原刚体的转动惯量相等此点到该轴的距离就等于刚体对该轴的回转半径6、均质物体的Jz,若物体的质量为连续分布，则Jz的表达式应改写为,对于均质物体，其密度r为常量，如以V表示物体的体积，则有，,7、常见情形,①均质等截面细直杆对于通过中点且与杆垂直的y轴的转动惯量。
与此相对应的回转半径为：,（2）匀质圆环半径R，质量为m ，其对中心轴z的转动惯量为,（3）匀质圆板半径R，质量为m ，其对中心轴z的转动惯量 任取一圆环，则,推论1：由于在此计算结果中不出现厚度H，故知均质圆盘对于其中心轴的转动惯量与厚度无关 （只是厚度H越大，质量越大，质量中包含了厚度）,因此，均质圆柱体可看成是 由一叠圆盘叠放而成，故对于其 中心轴的转动惯量也等于,推论2,均质等厚壁圆筒，内半径为R1，外半径为R1 ，质量为m对其中心轴的转动惯量为,则该圆筒对z轴的转动惯量可由半径分别 为 两圆柱对z轴的转动惯量之差求得，即：,若设该圆筒的质量为m, 密度为,,,在实际工程在中所遇到的物体可以看成为由几个简单形状的物体组合而成 当求这些物体对某轴的转动惯量时，可将物体划分为几个简单的形状，分为几部分，而该物体对某轴的转动惯量则应等于各部分对同一轴的转动惯量的总和 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理许多常见简单的均质物体的转动惯量 可在工程手册中查到，书中列出了几种 常见的简单形状的均质物体的转动惯量二、平行轴定理,1、问题的提出 例如均质圆盘，对于 通过质心轴C的转动 惯量JC已知，但圆盘并不是绕C点转动，而是 绕O点转动。
2. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即,证明：设质量为m的刚体，质心为C，,刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值推论：,由式（13-5）可知，在所有相互平行的轴中，物体对于通过其质心的轴的转动惯量为最小例如，均质等截面细 直杆对于通过杆端且 与杆垂直的z′轴的 转动惯量为：,3、其他方法,对于形状或质量分布不规则的物体，其转动惯量往往难以根据前述公式计算，而可采用实验的方法测定之 例如：扭转振动法；落体观测法；复摆法4．计算转动惯量的组合法 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理例 均质圆盘与均质杆组成的复摆如图 ，已知：圆盘质量为m1，半径r，杆质量m2，长L，试求复摆对悬挂轴O的转动惯量解：,三、惯性积与惯性主轴 在刚体动力学中，除了前面已学过的转动惯量之外，还要用到另一物理量——刚体对通过O点的两个相互垂直的轴的惯性积（或称离心转动惯量），它们定义为,,,（13―13）,1.惯性积 1)定义,称刚体对x、y轴的惯性积 称刚体对x、z轴的惯性积 称刚体对y、z轴的惯性积,由定义式可知惯性积是代数量,(12.6),[J]=[M][L]2,2)量纲:,4)积分式 对于质量连续简单形状的刚体,3)单位：千克·米2（kg·m2）,,,,惯性积的量纲与转动惯量的量纲相同。
但是，由式（13―13）知，由于刚体各质点的坐标 的值可正可负或为零，因此由它们的乘积之和求得的惯性积也是可正可负或为零的2.惯性主轴,1) 定义 若Jyz=Jxz=0，则z轴是刚体在O点的惯性主轴2)主转动惯量 刚体对惯性主轴的转动惯量称为主转动惯量3)中心惯性主轴 通过刚体质心的惯性主轴称为中心惯性主轴a)若刚体有一对称面，则垂直于该对称面的任一轴均为主轴b)若刚体有一对称轴，则该轴一定为主轴因为a、b是刚体质心c在 直角坐标系ox’y’中的坐标，其值是代数量，所以Jxcyc不一定是最小惯性积5)惯性积的平行轴定理,,,,若 ，则x轴称为刚体在O点的惯性主轴， 而 称为刚体对主轴x的主转动惯量相似地， 如 ，则y轴是刚体在O点的主轴，而 是主转动惯 量；如 ，则z轴是刚体在O点的主轴，而 是主 转动惯量因为，如以对称面为xy面，z轴垂直于对称面，根据对称面的定义，在(xi、yi、zi)处有一质点，则在(xi、yi、—zi)处必有一相同质点与之对应应当注意，主轴是对某一点而言的，对于不同的点，主轴的方位一般是不同的。
但是，不论在哪一点，总能找到三个相互垂直的主轴 通过刚体质心的主轴称为中心惯性主轴通常，求惯性主轴的计算较繁 但是，如果刚体具有对称面或对称轴，则决定主轴的问题大为简化设刚体具有一对称面，则垂直于对称面的轴即为该轴与对称面交点的主轴之一因为，如以对称面为xy面，z轴垂直于对称面，根据对称面的定义，在(xi、yi、zi)处有一质点，则在(xi、yi、-zi)处必有一相同质点与之对应因此，在 中，必将成对出现大小相等、符号相反项，故 同理， 所以z轴必是主轴之一因此，在 中，必将成对出现大小相等、符号相反项，故 。