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1、等腰三角形的性质培优,渡普中学 八【1】班,知识纵横,一、等边三角形是特殊的等腰三角形，有以下丰富的性质： 1、 三边，三角，每个角等于度； 2、等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线 合一。 二、判定等边三角形的基本方法有： 1、从边入手，证明相等； 2、从角入手，证明相等或证明两个角都为60度； 3、从边角入手，有一个角为度的三角形是 等边三角形。,如图所示，ABC中，AB=AC，ABC=60，且AD=CE，BE和CD相交于F。求证： ADCCEB,求DFB的度数,课前小测,如图所示：在ABC中,BAC=BCA=44 M为ABC 内一点，使得MCA=30, MAC =16.求证： AB=
2、AM,以AC为边作等边ADC,再 连接DB,可证明ABDCBD,再证明ABDAMC,所以， AB=AM,证明,构造等边三角形解题,如图所示：在ABC 中AB=AC,BAC=80 O为ABC 内一点.且OBC=10 0CA=20求： BAO的度数,答案： BAO=70,尝试一下、高手得分,如图所是，点E在AD上，ABC和BDE都是等边三角形。 BD=7 ，CD=2。 求AD的长。,轻松练习 看看哪一组最好,答案： AD=9,如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ=60，且BQ=BP，连接CQ （1）若PB=2，求P点到Q点的距离,中考体验,如图所示：D是
3、ABC 外一点，AB=AC=BD+CD， ABD=60,BAC=40, ABE是等边三角形, ADCADE,ACD=60,BCD=110度,截长补短构造等边,（延长BD至点E，使得DE=CD.连接 AD,AE.）,解题方法,作辅助图-等边三角形,截长补短构造等边三角形,1.如图在ABC内，BAC=60，ACB=40，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为BAC、ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP,延长AB至M，使BM=BP，连结MP。,BAC=60，ACB=40， ABC=80，BQ平分ABC， QBC=40= C，BQ=CQ，AQ+BQ=AQ+CQ=AC AM=AB+BM
4、=AB+BP，BM=BP， ABP=M+ BPM=2 M， M=40= C AMP ACP,AM=AC 即BQ+AQ=AB+BP,2、如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF,延长AD至G，使AD=DG，连结BG,BGDCAD BG=AC=BE CAD=G=BEG=AEF AF=EF,3、两个全等的含30度、60度角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，边结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断EMC的形状，并说明理由。,连结MA,ADEABC可得ABD是等腰直角三角形，再证MDEMA
5、C可得EMC是等腰直角三角形,综合运用,1、如图， ABC中，ADBC于D，B=2C，求证：AB+BD=CD,证明：延长CB至E，使AB=BE，连结AE, AB=BE E= EAB ABC= E+EAB=2 E ABC=2C C= E AC=AE AD BC CD=DE=DB+BE AB+BD=CD,2、在等边三角形ABC所在的平面内求一个点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（ ）个。 A、1 B、4 C、7 D、10,D,3、已知ABC的三边的长分别为a、b、c，且a/b+a/c=(b+c)/(b+c-a),则ABC一定是（ ）。 A、等边三角形 B、腰长为a的
6、等腰三角形 C、底边长为a的等腰三角形 D、等腰直角三角形,B,（ac+ab)/bc=(b+c)/(b+c-a) a/bc=1/(b+c-a) Bc=ab+ac-a2 (a-b)a+c(b-a)=0 (a-c)(a-b)=0 a=c或a=b,4、如图，在ABC中，BAC=106度，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则EAM等于（ ）度。 A、58 B、32 C、36 D、34,B,5、如图，在ABC中，B=2 C，则AC与2AB之间的关系是（ ）。 A、AC2AB B、AC=2AB C、AC2AB D、AC2AB,D,分析选择,1、如图，已知RtABC中，ACB=90，BAC
7、=30，在直线BC或AC上取一点，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）个。 A、2 B、4 C、6 D、8,C,2、如图，四边形ABDC中，EDC是由ABC绕顶点C旋转40度所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则1+2= 。 3、一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角度为 。 4、有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度。,110,15或30 或75 ,36 或180/7 ,5、已知等腰ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连接AD，若ACD和ABD都是等腰三角形，则C的度数是 。 6、在
8、一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75度，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距离NB为b米，梯子的倾斜角为45度，则这间房子的宽AB是 。,45或36度,a米,7、如图，ABC=50，AD垂直平分线段BC于点D，ABC的角平分线BE交AD于点E，连结EC，则AEC的度数是 。 8、如图，ABC中，AB=AC， B=36 ，D、E是BC上两点，使 ADE=AED=2 BAD，则图中等腰三角形共有 个。 9、如图， ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，则 B：C的值 。,115,6,2：1,2是用“垂直平分线”构造等腰三角
9、形，4利用“三角形中角的2倍关系。,探索填空,1、如图，在ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，则FC的长为 。,分析：用“角平分线+平行线”构造等腰三角形AEF和等腰三角形BPE，则AE=AF=11-x,BP=x=BE=11-x+7,x=9,9,2、如图，已知等腰ABC中，AB=AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP=PQ=QB=BC，求PCQ的度数。,在PC上取点D使QP=QD。,A=x,AP=PQ QPD=QDP=A+AQP=2x BQD=A+ADP=3x,BQ=QD QBD=90-1.5x BDC=A+ABD=90-0.5x A=x,AB
10、=AC ACB=90-0.5x, ACB=BDC BD=BC=BQ=QD, BDQ为等边三角形 QBD=90-1.5x=60，x=20, ACB= ABC=80,BCQ=50, PCQ=30,3、如图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角BDC=120度的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形，求证： AMN的周长等于2。,延长AC使CE=BM，连结DE。,CDE=MDB，BDC=120，MDN=60 BDM+NDC=60，NDE=NDC+CDE=60 MDN EDN，MN=NE AM+AN+MN=AM+AM+NE=AM+CE+
11、AN+NC=AB+AC=2,综合运用,1、如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，D是AC上一点，AEBD交BD的延长线于E，且AE=0.5BD，求证：BD是ABC的角平分线。,证明：延长AE、BC交于点F。 ACB=90 ACF=180 -ACB=90 CBD+CDB=90 AEBD AEB=90 EAD+ EDA=90 , ADE= BDC EAD= CBD AC=BC ACF=BCD=90 ACFBCD（ASA） AF=BD AE=0.5BD AE=0.5AF=EF BE=BE， AEB=FEB=90 AEBFEB（SAS）, ABE= FBE BD是ABC的角平分线,综合运用,1、
12、如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，D是AC上一点，AEBD交BD的延长线于E，且AE=0.5BD，求证：BD是ABC的角平分线。,证明：延长AE、BC交于点F。 ACB=90 ACF=180 -ACB=90 CBD+CDB=90 AEBD AEB=90 EAD+ EDA=90 , ADE= BDC EAD= CBD AC=BC ACF=BCD=90 ACFBCD（ASA） AF=BD AE=0.5BD AE=0.5AF=EF BE=BE， AEB=FEB=90 AEBFEB（SAS）, ABE= FBE BD是ABC的角平分线,2、如图，在ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在MC
13、上取点N，使MN=NA，若BAM=NAC，则MAC= 度。 3、如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并且AE=0.5（AB+AD），则 ABC+ADC的度数是 度。,设BAM=CAN= x, C=y,则B=180-2y, AMN=180+x-2y, ANM=x+y,MN=NA, MAN=AMN=180+x-2y, MAN+AMN+ANM=180 360+2x-4y+x+y=180,y-x=60, MAC=MAN+NAC=180+2x-2y=180-120=60,60,延长AD，过C作CF垂直AD的延长线于F，AFCAEC，CF=CE，AF=AE，AE=0.5(AB+A
14、D),2AE=AE+EB+AD,AE=AD+EB=AF=AD+DF,EB=DF,CDFCBE，B=FDC, ABC+ADC=180,180,分析选择,1、如图，在ABC中，ACB=90，AC=AE，BC=BF，则ECF=（ ）。 A、60 B、45 C、30 D、不确定 2、如图，在ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么EDF等于（ ）。 A、90 -0.5 A B、90 - A C、180 - A D、 45 -0.5 A,设B=x, A=90-x, BCF=90-0.5x, ACE=45+0.5x, ECF=ACE+BCF-ACB=45,B,BDFBDE,则EDF= B=90-0.5 A,A,3、如图，在ABC中，BAC=120，ADBC于D，且AB+BD=DC，则C的大小是（ ） A、20 B、25 C、30
