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1、2.1.2空间直线与直线之间的位置关系 学习目标 1. 正确理解异面直线的定义；2. 会判断空间两条直线的位置关系；3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4. 会求异面直线所成角的大小. 学习过程 一、课前准备（预习教材P44 P47，找出疑惑之处）复习1：平面的特点是_、 _ 、_.复习2：平面性质(三公理)公理1_；公理2_；公理3_.二、新课导学 探索新知探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线与的位置关系如何？结论：直线与既不相交，也不平行.新知1：像直线与这样不同在任何一个平面内的两条直线
2、叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线，那么直线与平行吗?图2-1新知3: 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,与,与的两边分别对应平行，这两组
3、角的大小关系如何? 新知4: 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.探究3：异面直线所成的角问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?图2-2新知5: 如图2-2,已知两条异面直线，经过空间任一点作直线 ,，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作.反思：思考下列问题. 作异面直线夹角时，夹角的大小与点的位置有关吗?点的位置怎样取才比较简便? 异面直线所成的角的范围是多少? 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗? 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现
4、了什么样的数学思想? 典型例题例1 如图2-3,分别为空间四边形各边的中点，若对角线 ，则的值为多少?(性质：平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和).图2-3例2 如图2-4，在正方体中，求下列异面直线所成的角.和 和 (3)和图2-4三、总结提升 学习小结1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法；2. 空间直线的位置关系；3. 平行公理及空间等角定理. 知识拓展异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.如图，则直线与直线是异面直线. 学习评价 当堂检测1. 为三条直线，如果，则的位置关系必定是 （ ）.A.相交 B.平行 C.异面 D.以上
5、答案都不对2. 已知是异面直线，直线平行于直线，那么与 （ ）. A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线3. 已知,，且是异面直线，那么直线 （ ）. A.至多与中的一条相交 B.至少与中的一条相交 C.与都相交 D.至少与中的一条平行4. 正方体的十二条棱中，与直线是异面直线关系的有_条.5. 长方体中,=1，异面直线与所成角的余弦值是_. 课后作业 1.空间两条互相平行的直线指的是 ( ) A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.分别在两个不同的平面内且无公共点的两条直线D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 2.在正
6、方体ABCD中,与成60角的面对角线共有 ( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 ( ) A.2对 B.3对 C.6对 D.12对 4.如图,将无盖正方体纸盒展开,直线AB、CD 在原正方体的位置关系 ( )A.平行 B.相交且垂直 C.异面 D.相交成60角 5.如图,在正方体ABCD-中,E、F、G、H分别为、AB、的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于_. 6.对于空间三条直线,有下列四个条件:三条直线两两相交且不共点;三条直线两两平行;三条直线共点;有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交. 其中,使三条直线共面的条件有_. 7.点A是BCD所在平面外一点,AD=BC,E、F分别是AB、CD的中点,且求证:异面直线AD和BC互相垂直. 8. 已知是正方体棱，的中点，求证：.9.已知ABCD是正方体.(1)求与所成角的大小; (2)若E、F分别为AB、AD的中点,求与EF所成角的大小. 9.如图,三棱锥中,、分别是和上的点，且，设与、所成的角分别为，求证：.10.如图,ABC和的对应顶点的连线、交于同一点O,且 (1)证明AB; (2)求的值. 6
