《高中信息技术 全国青少年奥林匹克联赛教案 树型动态规划的实例分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中信息技术 全国青少年奥林匹克联赛教案 树型动态规划的实例分析（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、全国青少年信息学奥林匹克联赛树型动态规划的实例分析一、什么是树型动态规划顾名思义，树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动态规划，平时作的动态规划都是线性的或者是建立在图上的，线性的动态规划有二种方向既向前和向后，相应的线性的动态规划有二种方法既顺推与逆推，而树型动态规划是建立在树上的，所以也相应的有二个方向：1 根叶：不过这种动态规划在实际的问题中运用的不多，也没有比较明显的例题，所以不在今天讨论的范围之内。2 叶根：既根的子节点传递有用的信息给根，完后根得出最优解的过程。这类的习题比较的多，下面就介绍一些这类题目和它们的一般解法。二、例题与解析加分二叉树【问题描述】 设一个n个节点的二叉树
2、tree的中序遍历为（l,2,3,n），其中数字1,2,3,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下： subtree的左子树的加分 subtree的右子树的加分subtree的根的分数 若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。 试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出； （1）tree的最高加分 （2）tree的前序遍历【输入格式】 第1行：一个整数n（n30），为节点个数。 第2
3、行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数100）。【输出格式】 第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。 第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。【输入样例】 5 5 7 1 2 10【输出样例】 145 3 1 2 4 5分析很显然，本题适合用动态规划来解。如果用数组valuei,j表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分，则动态方程可以表示如下：valuei,j=maxvaluei,i+valuei+1,j,valuei+1,i+1+valuei,i*valuei+2,j, valuei+2,i+2+valuei,i+1*valuei+3
4、,j,valuej-1,j-1+valuei,j-2*valuej,j, valuej,j+valuei,j-1题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列，因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点，用数组rooti,j表示PASCAL源程序$N+program NOIP2003_3_Tree; const maxn=30; var i,j,n,d:byte; a:array1.maxnof byte; value:array1.maxn,1.maxnof comp; root:array1.maxn,1.maxnof byte; s,temp:comp; f1,f2:
5、text;fn1,fn2,fileNo:string; procedure preorder(p1,p2:byte);按前序遍历输出最大加分二叉树 begin if p2=p1 then begin write(f2,rootp1,p2, ); preorder(p1,rootp1,p2-1); preorder(rootp1,p2+1,p2); end; end; begin write(Input fileNo:);readln(fileNo); fn1:=tree.in+fileNo;fn2:=tree.ou+fileNo; assign(f1,fn1);reset(f1); assig
6、n(f2,fn2);rewrite(f2); readln(f1,n); for i:=1 to n do read(f1,ai); close(f1); fillchar(value,sizeof(value),0); for i:=1 to n do begin valuei,i:=ai;计算单个节点构成的二叉树的加分 rooti,i:=i;记录单个节点构成的二叉树的根节点 end; for i:=1 to n-1 do begin valuei,i+1:=ai+ai+1;计算相邻两个节点构成的二叉树的最大加分 rooti,i+1:=i;记录相邻两个节点构成的二叉树的根节点；需要说明的是，
7、两个节点构成的二叉树，其根节点可以是其中的任何一个；这里选编号小的为根节点，则编号大的为其右子树；若选编号大的为根节点，则编号小的为其左子树；因此，最后输出的前序遍历结果会有部分不同，但同样是正确的。如果最大加分二叉树的所有节点的度数都是0或2，则最后输出的前序遍历结果是唯一的。 end; for d:=2 to n-1 do begin依次计算间距为d的两个节点构成的二叉树的最大加分 for i:=1 to n-d do begin s:=valuei,i+valuei+1,i+d;计算以i为根节点，以i+1至i+d间所有节点为右子树的二叉树的最大加分 rooti,i+d:=i; 记录根节点
8、i for j:=1 to d do begin temp:=valuei+j,i+j+valuei,i+j-1*valuei+j+1,i+d;计算以i+j为根节点，以i至i+j-1间所有节点为左子树，以i+j+1至i+d间所有节点为右子树的二叉树的最大加分 if temps then begin如果此值为最大 s:=temp;rooti,i+d:=i+j;记下新的最大值和新的根节点 end; end; temp:=valuei,i+d-1+valuei+d,i+d;计算以i+d为根节点，以i至i+d-1间所有节点为左子树的二叉树的最大加分 if temps then begin s:=tem
9、p;rooti,i+d:=i+d+1; end; valuei,i+d:=s; end; end; writeln(f2,value1,n:0:0);输出最大加分 preorder(1,n);输出最大加分二叉树的前序遍历序列 close(f2); end.点评基本题。考查了二叉树的遍历和动态规划算法。难点在于要记录当前最大加分二叉树的根节点。疑点是最大加分二叉树的前序遍历序列可能不唯一。Ps：其实这题真正意义上来说还是一道普通的dp题目，但它批上了树的外表，所以都拿来作对比和讨论，解题报告出自湖北省水果湖高中 伍先军写的第九届全国青少年信息学奥林匹克联赛（N0IP2003）复赛提高组解题报告。
10、Ural 1018二*苹果树题目有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉（就是说没有只有1个儿子的结点）这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N,树根编号一定是1。我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树 2 5 / 3 4 / 1现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。输入格式第1行2个数，N和Q(1=Q= N,1N=100)。N表示树的结点数，Q表示要保留的树枝数量。接下来N-1行描述树枝的信息。每行3个整数，前两个是它连接的结点的编号。第3个数是这根树枝上苹果的数量。
11、每根树枝上的苹果不超过30000个。输出格式一个数，最多能留住的苹果的数量。样例输入5 21 3 11 4 102 3 203 5 20样例输出21解析：因为题目一给出就是二叉的，所以很容易就可以写出方程：a(I,j):=max(a(i.left,k)+a(i.right,j-k),0=kj then j:=k;end;treedp:=j;End; 选课问题描述在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有N门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程a是课程b的先修课即
12、只有学完了课程a，才能学习课程b）。一个学生要从这些课程里选择M门课程学习，问他能获得的最大学分是多少？输入：第一行有两个整数N,M用空格隔开。(1=N=200,1=M=150)接下来的N行,第I+1行包含两个整数ki和si, ki表示第I门课的直接先修课，si表示第I门课的学分。若ki=0表示没有直接先修课（1=ki=N, 1=si=20）。输出：只有一行，选M门课程的最大得分。样例：输入：7 42 20 10 42 17 17 62 2输出：13解析： 这题比苹果树多了一个步骤就是把一棵普通树转化为二叉树。读入数据时把二叉树建好：第一个孩子作为父节点的左子树，其它孩子作为第一个孩子的右子树
13、。F（x，y）：表示节点x取y门课得最高学分，则F（x，y）max（f（x.l,k-1）+x.v+f(x.r,y-k)）k=0,1,.yf（x.l,k-1）+x.v(课程x的学分) :表示选了课程x,左孩子选k-1门课,共k门课。f (x.r,y-k)表示右孩子只能选y-k门课。标程中节点1表示空节点，0是根节点，1n是n门可选课程的节点.思考:若本题加上选那些课程可得到这个最大学分,怎样修改程序？实现：怎么实现，是在竞赛中的很重要的一个问题，如果你想ac了这道题目的话，你应该熟悉怎么把一棵树转化成二叉树，完后怎么用递规的思想来实现动态规划。所以坚实的基础是很重要的东西，如果没有了基础，什么都是空中楼阁。程序中已经边读边把二叉树建立好了。源程序代码：program bluewater;typetree=record
