《15.3 第2课时 等腰三角形的判定定理及推论》由会员分享,可在线阅读,更多相关《15.3 第2课时 等腰三角形的判定定理及推论(35页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 等腰三角形,第2课时 等腰三角形的判定定理及推论,关注“初中教师园地”公众号 2019秋季各科最新备课资料陆续推送中 快快告诉你身边的小伙伴们吧,1.理解等腰三角形的判定方法的证明过程; (重点) 2.掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论,能运用定理和推论进行简单的推理和计算; (重点、难点) 3.通过定理的证明和应用,初步了解转化思想,并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力 (难点),学习目标,导入新课,情境引入,在ABC中,AB=AC,倘若不留神,它的一部分被墨水涂没了,只留下一条底边BC和一个底角C,请问,有没有办法把原来的等腰三角
2、形画出来?,A,B,C,A,思考:如图,在ABC中,如果B=C,那么AB与AC之间有什么关系吗?,我测量后发现AB与AC相等.,3cm,3cm,讲授新课,等腰三角形的判定,A,B,C,如图,位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警,当时测B=C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)?,互动探究,已知:如图,在ABC中, B=C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?,建立数学模型:,做一做:画一个ABC,其中B=C=30,请你量一量AB与AC的长度,它们之间有什么数量关系,你能得出什么结论?,AB=AC,你能验证你的结论吗?,在ABD与
3、ACD,,1=2,, ABD ACD.,B=C,,AD=AD,,AB=AC.,过A作AD平分BAC交BC于点D.,证明:, AC=AB. ( ) 即ABC为等腰三角形.,B=C, ( ),知识要点,等腰三角形的判定方法,如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).,已知,等角对等边,在ABC中,,应用格式:,(,(,(等角对等边).,(等角对等边).,错,因为都不是在同一个三角形中.,辨一辨:如图,下列推理正确吗?,例1 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形,已知: 如图,CAE是ABC的外角,1=2,ADBC,求证
4、:AB=AC,证明:ADBC, 1=B(两直线平行,同位角相等), 2=C(两直线平行,内错角相等) 又1=2, B=C, AB=AC(等角对等边),例2 已知:如图,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E. 求证:AED是等腰三角形.,证明:AB=DC,BD=CA,AD=DA,ABDDCA(SSS),ADB=DAC(全等三角形的对应角相等),AE=DE(等角对等边), AED是等腰三角形.,例3 已知:如图,ADBC,BD平分ABC. 求证:AB=AD,证明: ADBC, ADB=DBC. BD平分ABC, ABD=DBC, ABD=ADB, AB=AD.,总结:平分+平行=等腰三角形
5、,如图,把一张长方形的纸沿着对角线折叠, 重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?,B,C,A,D,E,变式训练,解:是。理由如下:,由折叠可知,EBD=CBD.,ADBC,EDB=CBD,,EDB=EBD, BE=DE,EBD是等腰三角形.,练一练: 1.在ABC中,A和B的度数如下,能判定 ABC是等腰三角形的是( ) A. A50,B70 B. A70,B40 C. A30,B90 D. A80,B60,B,2.如图,已知OC平分AOB,CDOB,若OD3cm,则CD等于_.,3cm,例4 如图,在ABC中,ACB90,CD是AB边上的高,AE是BAC的平分线,AE与CD交于点F,求证:CE
6、F是等腰三角形,证明:在ABC中,ACB90, BBAC90. CD是AB边上的高, ACDBAC90, BACD. AE是BAC的平分线,BAEEAC, BBAEACDEAC,即CEFCFE, CECF,CEF是等腰三角形,总结:“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据,是先有角相等再有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定成立,等腰三角形的判定定理推论,推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形.,推论2:有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,由等腰三角形的判定定理可以直接得到:,辩一辩:根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.,(1),(2),(6),(5
7、),不 是,是,是,是,是,(4),(3),不一定 是,例6 如图,在等边三角形ABC中,DEBC, 求证:ADE是等边三角形.,典例精析,证明:, ABC是等边三角形,, A= B= C., DE/BC, ADE= B, AED= C., A= ADE= AED., ADE是等边三角形.,想一想:本题还有其他证法吗?,证明:ABC 是等边三角形, A =ABC =ACB =60 DEBC, ABC =ADE, ACB =AED. A =ADE =AED. ADE 是等边三角形.,变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上,且 DEBC,结论还成立吗?,变式2 若点D、E 在边AB、AC
8、的反向延长线上, 且DEBC,结论依然成立吗?,证明:ABC 是等边三角形, BAC =B =C =60 DEBC, B =D,C =E EAD =D =E ADE 是等边三角形,变式3:上题中,若将条件DEBC改为AD=AE, ADE还是等边三角形吗?试说明理由.,证明:, ABC是等边三角形,, A= B= C., AD=AE, ADE= B, AED= C., A= ADE= AED., ADE是等边三角形.,例7 等边ABC中,点P在ABC内,点Q在ABC外,且ABPACQ,BPCQ,问APQ是什么形状的三角形?试证明你的结论,解:APQ为等边三角形 证明:ABC为等边三角形, ABA
9、C. BPCQ,ABPACQ, ABPACQ(SAS), APAQ,BAPCAQ. BACBAPPAC60, PAQCAQPAC60, APQ是等边三角形,总结:判定一个三角形是等边三角形有以下方法:一是证明三角形三条边相等;二是证明三角形三个内角相等;三是先证明三角形是等腰三角形,再证明有一个内角等于60.,针对训练: 如图,等边ABC中,D、E、F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF 求证:DEF是等边三角形,证明:ABC为等边三角形,且AD=BE=CF AF=BD=CE, 又A=B=C=60, ADFBEDCFE(SAS), DF=ED=FE, DEF是一个等边三角形,当堂练习,1.如
10、图,在ABC中,ABAC,A36,BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有( ) A5个 B4个 C3个 D2个,2.一个三角形的一个外角为130,且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是( ) A钝角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形,C,A,3.如图,直线a、b相交于点O,1=50,点A在直线a上,直线b上存在点B,使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形,这样的B点有( ) A1个 B2个 C3个 D4个,O,a,b,D,A,4.如图,已知A=36,DBC=36,C=72,则DBC=_,BDC=_,图中的等腰三角形有_.,36,72,ABC、
11、,DBA、,BCD,5.如图,在ABC中,ABC和ACB的平分线交于点E,过点E作MNBC交AB于M,交AC于N,若BMCN9,则线段MN的长为_.,9,第4题图,第5题图,6.在等边ABC中,BD平分ABC,BD=BF,则CDF的度数是( ) A10 B15 C20 D25,7.如图,ABC和ADE都是等边三角形,已知ABC的周长为18cm,EC =2cm,则ADE的周长是 cm.,12,B,8.已知:如图,四边形ABCD中,ABAD,BD. 求证:BCCD.,证明:连接BD. AB=AD, ABD=ADB. ABC=ADC, ABC-ABD=ADC-ADB, 即DBC=BDC, BC=CD
12、.,9.如图,在ABC中,ACB=90,CAB=30,以AB为边在ABC外作等边ABD,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F求证:AEFBEC,证明:ABD是等边三角形, DAB=60, CAB=30,ACB=90, EBC=180-90-30=60, FAE=EBC, E为AB的中点, AE=BE, AEFBEC, AEFBEC(ASA),10.在ABC中,AB=AC,倘若不留神,它的一部分被墨水涂没了,只留下一条底边BC和一个底角C,请问,有没有办法把原来的等腰三角形画出来?,A,B,C,3种“补出”方法: 方法1:量出C度数,画出BC, B与C的边相交得到顶点A 方法2:作BC边上的垂直平分线,与C的一边相交得到顶点A 方法3:对折,课堂小结,等腰三角形的判定,等角对等边,定义,注意是指同一个三角形中,有两边相等的三角形是等腰三角形,推论,1.三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,