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1、第21章 波 动,Wave,常见的种类有:, 波动的一般定义：振动(或扰动)在空间的传播,简称波。,本章重点：机械波中的简谐波 波的叠加, 波的传播指的是振动相位、能量的传播,“常常是（水）波离开了它产生的地方，而那里的水并不离开；就像风吹过庄稼地形成波浪，在那里我们看到波动穿越田野而去，而庄稼仍在原地”。 Leonardo da Vinci,机械波（产生条件：振源、弹性介质）,电磁波（产生条件：振源）,21-1 行 波,Travelling Wave,1. 机械波的产生和传播,机械波机械振动的传播。,横波媒质质元的振动方向与振动的传播方向垂直的波,2. 横波与纵波,纵波媒质质元的振动方向与振
2、动的传播方向在一条直线上的波。 空气中的声波,横向抖动绳端,一般固体中既可有横波也可有纵波；流体中只能有纵波。实际中还有横波和纵波的叠加波。如气液分界面上的波（水纹波）就是叠加波。,横 波,纵 波,1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718,1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718,(1) 波动中各质点并不随波前进；,y,x,波动曲线,(2)沿波的传播方向，各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播；,(4) 波动曲线与振动曲线不同。,波形图：某时刻各点振动的位移 y (广义：任一物理量)与相应的平衡位置坐标 x 的关系曲线。,(3)在传
3、播方向上有多个同相点相位相差2的整数倍，各质元的振动频率相同；,行波的示意图,返回,3. 波面和波线,行波传播行为的几何描述,在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。,沿波的传播方向作的有方向的线。,波面,波线,波前,在某一时刻，波传播到的最前面的波面。,波线,平面波（平行平面波面）,球面波（同心球形波面）,1) 波线垂直波面； 2)波线是波的能量传播方向； 3)平面波是最理想的波 （一维问题 能量不发散）。,21-2 简谐波,1. 简谐波 波速 波长, 波速振动状态的传播速度。相速,波速的大小决定于媒质的特性。, 波长传播方向上相邻同相点之间的间距。,一个周期时间里某相位传
4、播的距离就是波长,因此有, 简谐波各媒质质元作简谐运动的波。,，即,即P点的相位为,因此 ，P点的相位应是落后O点 ，,2. 平面简谐行波的波函数,坐标为x处的质 元的振动状态如何？,设平面简谐波的振幅为A，沿x轴正向传播，传播速度为u，,考察t 时刻P点质元振动的相位。P点相位是从“上游”以速度u传播过来的，从“上游”的O点传到P点需要时间为 ，,于是，波函数为,并设坐标原点O处的振动函数为,y,x,x,P,O,简谐振动, 从时间看, P 点 的位相 应是O 点在 的位相，,时刻的位移;,(波函数), 从相位看，P 点处质点振动相位较O 点处质点相位落后,因此，P 点 t 时刻的位移是O 点
5、,?,当第1个质点振动1个周期后，它的最初的振动相位传到第13个质点，从相位来看，第1个质点领先第13点 。,同时看波线上各点，沿传播方向各点相位依次落后；,相距x的任意两点的相位差, 波线上各质点振动相位(振动状态)的关系,第1点和第13点之间间距:,振动时间差：,相位差:,因此 x点的相位为 ，, 设如果波沿x轴负向传播，“上游”在右“下游”在左，t 时刻 x点的相位应超前O点 ，, 波函数的其他表达式：（不妨设 ）,其中 ，称为波数。,此时的波函数应为,例 已知：波沿着x轴的正方向传播 波源a的振动形式为,求：波的表达式,解：,任意一点P坐标为x,P点相位落后波源a的振动相位,所以就在a
6、点振动表达式的基础上改变相位因子就得到了P的振动表达式,y,3. 平面简谐波的波形曲线,结论：波形曲线也是余弦函数曲线； 波形曲线以波速u向传播方向平移。,注：波形曲线平移反映了状态的传播，不代表质元“随波逐流”。,例1 设波源位于 x 轴的原点处，波源的振动曲线如图所示，已知波速为 u = 5 m/s ，波向 x 正向传播。 （1）画出距波源 15 m处质元的振动曲线； （2）画出 t = 3 s 时的波形曲线。,于是，波函数为,即,（1）令 x = 15 m,（2）令 t = 3 s,如图，,在下列情况下试求波函数：,(3) 若 u 沿 x 轴负向，以上两种情况又如何？,例2,(1) 以
7、A 为原点；,(2) 以 B 为原点；,B,A,已知A 点的振动方程为：,在 x 轴上任取一点P ，该点 振动方程为:,波函数为：,解:,P,(2) B 点振动方程为：,(3) 以 A 为原点：,以 B 为原点：,波函数为,P,例3 设某一时刻绳上横波的波形曲线如下图所示，水平箭头表示波的传播方向。试分别用小箭头表示图中A、B、C、D、E、F、G、H、I各质点在这一时刻的运动方向，并画出T/4后的波形曲线。,D,E,F,G,H,I,21-3 物体的弹性形变,Elastic Deformation of a Body, 杨氏模量 E, 体变模量 K,弹性形变的分类：,线变,弹性势能：,弹性媒质(
8、无论是固体还是流体)在受力时都会产生形变，,在其弹性限度内形变是可恢复的，称这种形变为弹性形变。,实验表明：在弹性限度内，应力 正比于线应变 ，,Hook 定律,体变,即,E 杨氏模量 决定于材料的特性，与形状大小无关。, 切变模量 G,切变,实验表明：在弹性限度内，切应力 正比于切应变 ，即,G切变模量,G 和 K 决定于材料的特性!,实验表明：在弹性限度内，压强增量 正比于体应变 ，,K体变模量,即,有波动时媒质质元的形变, 纵波, 横波,固 体,流 体,纵,纵,均匀细棒严格， “无限大”介质内近似,任意液体和气体内,理想 气体中,波的周期和频率与媒质的性质无关； 一般情况下，与波源振动的
9、周期和频率相同。,波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度; 其大小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。,横,“无限大”介质内,细绳中,21-4 弹性介质中的波速,Wave Equation and Velocity of Wave,波动方程,是上述波动方程的解之一。,平面简谐波,( 一维 ),是指波动物理量 所满足的偏微分方程。,1. 波动方程,(2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；,(1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；,(3) 若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程,x处的线应变可表为,2. 均匀细棒中纵波波动方程的推导,
10、设细棒密度为，截面积为S，沿细棒取x坐标，设波沿x正向传播。,由 Hook定律,同理,考察媒质中 x x +x 段质元：,由牛顿定律,波速为,固 体,流 体,纵,纵,均匀细棒严格， “无限大”介质内近似,任意液体和气体内,理想 气体中,横,“无限大”介质内,细绳中,3. 波 速,波速由弹性媒质特性决定。,21-5 波的能量,Energy of Wave,本节先以细棒中的平面简谐纵波为例，讨论波的能量问题，由此得出的结论具一定的普遍意义。,1. 波的能量 能量密度,取媒质中小体积元 ，讨论总机械能 ：,总机械能,能量密度, 简谐波的能量密度 具普遍意义。,平均能量密度, 区别于孤立的振动系统，单
11、个质元的机械能不守恒。 因单个质元是开放的系统，且简谐运动只是一个运动学概念,能量密度, 简谐波中任一质元的动能和势能总是相等。等幅同相,比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同,波动过程,振动过程,波动过程，某质元具有的能量w是时间t的周期函数,振动过程，质元总能量不变,传播能量,不传播能量,和 同相变化,最大时、 为0,最大时、 为0,2. 能流、波的强度, 波的能流 单位时间内流过某一面积的能量。, 波的能流密度单位时间内流过单位垂直截面的能量。,平均能流密度,xut,平均能流,波的强度,3. 平面波和球面波的振幅, 对球面波,（不吸收能量）,21-6 Huygens原理 波的反射与折射
12、,Huygens Principle Reflection and Refraction of a Wave,水波通过窄缝, Huygens原理 C. Huygens（荷）1690,这一原理的意义在于： 提出了子波的概念 给出了波传播方向的规律 提出一种描绘波面几何方法，即Huygens作图法。,原理： 媒质中任一波面上的各点，都可以看成发射子波的次波源，其后任一时刻这些子波的包迹就是新的波面。,S2,R1,R2,S1,O,平面波,球面波, Huygens原理的应用, 平面波和球面波的传播, 波的反射与折射, 波的衍射, 平面波和球面波的传播,-偏离原来直线传播的方向,平面波经小孔衍射成球面波
13、,衍射是否明显？ 视衍射物（包括孔、缝）的线度与波长相比较：对一定波长的波，线度小衍射现象明显，线度大衍射现象不明显。, 波的衍射,用惠更斯作图法导出折射定律：, 折射定律,得到, 波的反射与折射,波密媒质波疏媒质时，折射角r 入射角 i 。,全反射的一个重要应用是光导纤维（光纤）。,当入射i 临界角 iC 时，将无折射光 全反射。,iC 临界角,光 导 纤 维,入射波,反射波,如果波从 波疏媒质 向 波密媒质 入射，则会存在,如果从波密媒质向波疏媒质入射，则不存在半波损失。,实验表明：波在两种媒质分界面上反射时，,反射波在反射点相对于入射波相位有一个 的跃变。,半波损失 ,在界面处,透射波在
14、任何情况下相位都不变(与入射波同)。,较小者称波疏介质 较大者称波密介质,21-7 波的叠加,Superposition of Waves Standing Wave,一、 波的叠加,波的独立传播原理：各振源在介质中独立地激起与自己频率相同的波，每列波传播的情况与其他波不存在时一样。两列或几列波在传播过程中相遇，相遇后仍保持各自传播特性（波长、频率、波速、波形）不变。,波的叠加原理：几列波在空间相遇时，相遇区域中的任一点的振动位移（或波矢量）等于各波单独存在时在该点产生的位移的矢量和。,二 、波的干涉,如果两列波满足一定条件，使得两波相遇各空间点的合振动保持恒定振幅（某些点处振动始终加强，而在
15、另外一些点处振动始终减弱）。,相干条件两列波具有的 相同频率、相同的振动方向、相位差恒定。,满足相干条件的波叫相干波，波源叫相干波源，叠加叫相干叠加。,两振源在场点P产生的振动分别为,场点P是两个同方向的同频率的简谐振动的合成。,合成的振幅,两简谐振动的相差,两波波程差,合振幅,由于在波场中确定点有确定的相位差，所以每一点都有确定的 A。从而在波场中形成了稳定的强度分布。 干涉的特点:强度分布稳定,波的强度,干涉是能量的重新分布！,(1)当,振动加强,波程差,(2)当,振动减弱,加强,减弱,例1 已知相干波源,求： c点的干涉结果。,解,A、B 为两相干波源，距离为 30 m ，振幅相同， 相同，初相差为（B超前） ,u = 400 m/s, f =100 Hz 。,例2,求,A、B 连线上因干涉而静止的各点位置。,P 在A 左侧,(干涉相长， 不会出现静止点),P 在B 右侧,在A、B之间的情况
