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1、5 条件概率,一 条件概率,在实际应用中，除了要研究事件 A 的概率 P(A) 之外，有时还需要研究在事件 B 已经 发生的条件下，事件A发生的概率。我们称 这种概率为事件 B 已发生的条件下事件 A 发生的条件概率，记为,P( A | B ),一般说来， P (A|B) P(A),P(A ) =1/6， P(A|B) =？,注：已知事件B发生，此时试验 所有可能结果构成的集合就 是 B 。 B中共有3 个元素，它们的 出现是等可能的，其中只有 1个在集合 A中,显然 P(A|B)= 1/3,容易看到,可以证明，在古典概型下，若 P(B)0, 有,条件概率 P(A|B) 的实质就是在缩减的样本
2、空间 B上事件 A 的概率。,由于已知事件B已经发生，原样本空间 S 缩减为 B，在该空间上再进一步计算事件 A 发生的概率。,条件概率 P(A|B) 的实质,设A、B是两个事件，且P(B)0，则称,条件概率的定义,为在事件 B 发生的条件下，事件 A 的 条件概率.,条件概率的性质,3 可列可加性：设 A1 , An 互不相容，则,1 非负性：对任一事件A，0P(A|B)1,2 规范性： P (S| B) =1 ；,可以证明，前面对概率所证明的一切性质， 也都适用于条件概率。,（2）在缩减的样本空间上计算,条件概率的计算,（1）用定义计算,P(B) 0,例 A=掷出2点，B=掷出偶数点,P(
3、A|B）=,B 发生后的缩减样本 空间所含样本点总数,在缩减样本空间中 A 所含样本点个数,例1 盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别 1、2、3、4，每次从盒中取 1 球，有放回 地取两次。设A=取出的两球标号之和为4， B=第一次取出球的标号为2，试求P(A|B)。,其中 ( i, j ) 表示第一次取 i 号球，第二次 取 j 号球,解,试验的所有可能的结果为 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4),可得,故,（1）用定义计算,事件 B
4、 包含的所有可能结果为： (2,1) (2,2) (2,3) (2,4),事件 AB包含的所有可能结果为： (2,2),可得,故,已知事件 B已经发生， B 就是缩减的样本 空间。,（2）在缩减的样本空间上计算,此时，事件 A 包含的所有可能结果为： (2,2),则该试验的所有可能结果为： (2,1) (2,2) (2,3) (2,4),P(AB) = P(B) P(A|B) (1),公式（1）和（2）均称为概率的乘法公式 或称为概率的乘法定理,P(AB) = P(A) P(B|A) (2),定义 设有两个事件A、B，,如果 P(A) 0，则,二 乘法公式,如果 P(B) 0，则,两个事件的乘
5、法公式,多个事件的乘法公式,P(ABC) = P(A) P(B|A) P(C|AB),当 P(A1A2An-1) 0 时，有,当 P(AB) 0 时，有,P (A1A2An） = P(A1) P(A2|A1) P(An| A1A2An-1),例2 一场精彩的足球赛将要举行，5 个球迷好不 容易才搞到一张入场券。大家都想去，只好 用抽签的方法来解决。,“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”,“先抽的人当然要比后抽的人 抽到的机会大。”,解 设 Ai 表示“第 i 个人抽到入场券” i = 1, 2, 3, 4, 5。,显然,即，第 1 个人抽到入场券的概率是
6、1/5,则 表示“第 i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.,由于,由乘法公式,即，第 2 个人抽到入场券的概率是1/5,同理,由乘法公式,即，第 3 个人抽到入场券的概率是1/5,也就是说 “ 抽签与顺序无关 ”,继续做下去就会发现，每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5。,例3 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题 通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10 个试题中有 4个难题签，按甲、乙、丙次序 抽签，试求甲抽到难题签；甲和乙都抽到难 题签；甲没抽到难题签而乙抽到难题签；甲、 乙、丙都抽到难题签的概率。,解 设 A = “甲抽到难题签”， B = “
7、乙抽到难题签”， B = “丙抽到难题签”,在概率论中常常会遇到一些较复杂的事件。 这就提出如下问题： 复杂事件 A的概率如何求？,三 全概率公式与贝叶斯公式公式,样本空间的划分,定义,设 S 为试验 E的样本空间，B1,Bn为 E的一组事件。若,则称B1,Bn为样本空间S的一个划分,上式称为全概率公式,全概率公式,设 S 为试验 E的样本空间，A为E的事件，B1,Bn为 S的一个划分，且,则,即,证明,化整为零 各个击破,说明 全概率公式的主要应用在于它可以将一个 复杂事件的概率计算问题，分解为若干个 简单事件的概率计算问题，最后应用概率 的可加性求出最终结果。,说明,我们把事件 A 看作某
8、一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,看作该过程的若干个原因。,例4 有三个箱子，分别编号为1, 2, 3，1号箱装有 1个红球 4个白球，2号箱装有 2红 3白球， 3号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱， 从中任意摸出一球，求取得红球的概率。,解 记 A=取得红球,显然,1,2,3,Bi=球取自i 号箱 i=1, 2, 3;,故，B1、B2、B3 是样本空间的划分,故，由全概率公式得,由已知,例5 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球， 1 个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从 乙盒任取2
9、球，求从乙盒取出2个红球的概率。,解 设 A =“从乙盒取出个红球”,显然,故，B1、B2、B3 是样本空间的划分,B1=“从甲盒取出个红球” B2 =“从甲盒取出个白球” B3=“从甲盒取出1个白球1个红球”,由已知,故，由全概率公式得,例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占 30% ， 二厂生产的占 50% ， 三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品 次品率分别为2% ， 1%，1%。问从这批 产品中任取一件是次品的概率是多少?,解 设 A =“任取一件是次品”,Bi=“任取一件为 i 厂的产品号箱”， i=1, 2, 3;,显然，,故，B1、B2、B3 是样本空间的划分,
10、30%,20%,50%,2%,1%,1%,由已知,故，由全概率公式得,例7（接例4）某人从三箱 中任取一箱，从中任 意摸出一球，发现是 红球， 求该球是取自 1号箱的 概率。,1,2,3,贝叶斯公式,实际中还有下面一类问题，“已知结果求原因”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是 条件概率，即已知结果发生的条件下，求某 原因发生可能性的大小。,解 记 A=取得红球,显然，B1、B2、B3 是样本空间的划分,1,2,3,Bi=球取自i 号箱 i=1, 2, 3;,运用全概率公式 计算P(A),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,设 S 为试验 E的样本空间，A为E的事件，B1,Bn为
11、S的一个划分，且,则,上式称为贝叶斯公式,说明,我们把事件 A 看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,看作该过程的若干个原因。,如果已知事件A已经发生，要求此时是由 第 i个原因引起的概率，则用Bayes公式,例8 对以往数据的分析结果表明，当机器调整得 良好时，产品的合格率为98%；而当机器发 生某种故障时，产品的合格率为55%。每天 早上机器开动时，机器调整得良好的概率为 95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格 品时， 机器调整得良好的概率是多少？,解 设 A =“产品合格”,显然,B =“机器调整良好” =“机器发生故障”,
12、故，B、 是样本空间的划分,故，由贝叶斯公式得,由已知,概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率，而在得到信息后再重新 加以修正的概率 0.97叫后验概率.,即，当生产出的第一件产品是合格品时， 此时机器机器调整良好的概率为0.97,在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi |A)分别称为 原因的先验概率和后验概率。 P(Bi) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息 （不知道事件 A 是否发生）的情况下，人 们对诸事件发生可能性大小的认识。 当有了新的信息（知道 A 发生），人们对 诸事件发生可能性大小 P(Bi | A) 有了新的 估计。,注,例9 某电子设备制造厂所用的晶体管
13、是由三家 元件厂提供的。根据以往的记录有以下的 数据。 元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,S,B1,B2,B3,A,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 （1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是 次品的概率。 （2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知 取到的是次品，试分析此次品出自哪家 工厂的可能性最大。,显然，,故，B1、B2、B3 是样本空间的划分,解 设 A =取到的是一只次品,Bi =取到的产品是由第 i 家工厂提供的 ( i= 1,2,3),元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,全概率公式,贝叶斯公式,元件制造厂 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,B1,B2,B3,A,作业： 14 15 17； 19 20 22,
