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1、第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解：【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC中，已知c=+，C=30°，求a+b的取值范围。【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：C=30°，c=+，由正弦定理得： a=2(+)sinA,b=
2、2(+)sinB=2(+)sin（150°-A）.a+b=2(+)sinA+sin(150°-A)= 2(+)·2sin75°·cos(75°-A)= cos(75°-A) 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值=8+4； A=180°-(C+B)=150°-B,A150°，0°A150°,-75°75°-A75°，cos75°cos(75°-A)1， cos75°=
3、15;=+.综合可得a+b的取值范围为(+,8+4>考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在ABC中，·tanB=·tanA，判断三角形ABC的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断ABC的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，.为等腰三角形或直角三角形。【解题策略】“在ABC中，由得A=B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“A=B或A+B=”的导出过程。例4在ABC中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断ABC的形状。解：
4、.又B为锐角，B=45°.由由正弦定理，得,代入上式得：考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在ABC中，求证.【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为.证明：由正弦定理的变式得：同理【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。例6在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证.【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.证明：【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。考察点4：求三角形的面积例7在ABC中，a,b,
5、c分别是三个内角A,B,C的对边，若,求ABC的面积S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c，再求面积。解：由题意，得B为锐角，由正弦定理得【解题策略】在ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用， 例8已知ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，ABC的外接圆半径为12，且,求ABC的面积S的最大值。【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。解：【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知ABC的内角A,B极其对边a,b满足求内
6、角C【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。解法1：（R为ABC的外接圆半径），又A,B为三角形的内角，当时，由已知得综上可知，内角.解法2：由及正弦定理得，从而即又0A+B，【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。例10在ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,，求a,b及ABC的内切圆半径。【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。解：变形为又ABC是直角三角形。由解得【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。-易错疑难辨析易错点 利用正弦定
7、理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。例1（1） 在ABC中，（2） 在ABC中，【错解】（1） 由正弦定理得（2） 由正弦定理得【点拨】（1）漏解，由（0°B180°）可得因为ba,所以两解都存在。（2）增解。由（0°B180°）可得，因为ba,根据三角形中大边对大角可知BA,所以不符合条件，应舍去。【正解】（1）由正弦定理得又0°B180°（经检验都符合题意）（2）由正弦定
8、理得又0°B180°ba,根据三角形中大边对大角可知BA，不符合条件，应舍去，。易错点 忽略三角形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180°等造成的错误。例2在ABC中，若求的取值范围。【错解】由正弦定理得【点拨】在上述解题过程中，得到了后，忽略了三角形的内角和定理及隐含的均为正角这一条件。【正解】由正弦定理可知0°B45°，1.13，故13.-高考真题评析例1（2010·广东高考）已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若则【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对
9、大角的性质，解题的关键是确定角C的值。【点拨】在ABC中，又，故，由正弦定理知又ab，因此从而可知，即。故填1.【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。例2（2010·北京高考）如图1-9所示，在ABC中，若则【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。【点拨】由正弦定理得，C为钝角，B必为锐角，故填1【名师点评】在范围内，正弦值等于的角有两个，因为角C为钝角，所以角B必为锐角，防止忽略角的范围而出现增解ABC1图1-9例3（2010·湖北高考）在ABC中，则等于（ ） 【命题立意】本题考查正弦定理及同
10、角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角B的范围。【点拨】由正弦定理得，B为锐角。，故选D【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B的范围，从而确定角B的余弦值。例4（2010·天津高考）在ABC中，（1）求证 ；（2）若，求的值。【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，同时考察基本运算能力。证明：（1）在ABC中，由正弦定理及已知，得。于是即因为B-C，从而B-C=0，所以B=C .解：（2）由和（1）得，故又02B，于是从而，。所以【名师点评】（1）证角相等，故由正弦定理化边为角。（2）在（1）的基础上找
11、角A与角B的函数关系，在求2B的正弦值时要先判断2B的取值范围。知能提升训练 学以致用1、在ABC中，下列关系式中一定成立的是（ ）A B. =C. D. 2、（2011·山东模拟）ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，则c等于（ ）A.1 B.2 C. D.3、（2011·广东模拟）在ABC中，则等于（ ）A B. C. D.4、在ABC中，若，则ABC是（ ）A直角三角形 B.等边直角三角形C钝角三角形 D.等腰直角三角形5、在锐角ABC中，若C=2B，则的范围是（ ）A B. C. D.6、在ABC中，则，满足此条件的三角形有（ ）A0个 B.1个 C.2个
12、D.无数个7、在ABC中，若A：B：C=3：4：5，则：等于（ ）A3：4：5 B.2:C. 1:2 D.: :8、（2011·浙江模拟）在ABC中，则此三角形的最大边长为（ ）A B. C. D.9、在ABC中则。10、（2011·山东模拟）在ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c，若，则角A的大小为。11、在ABC中已知cm，cm，如果利用正弦定理解三角形有两解，那么的取值范围是。12、如图1-10所示，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，BD交AC于E，AB=2.（1）求的值；（2）求AE的长。图1-1013、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c
13、，求证。14、在ABC中，求及三角形的面积。15、已知方程的两根之积等于两根之和，且为ABC的内角，分别为的对边，判断ABC的形状。16、在ABC中，（1）求角C的大小；（2）若ABC的最大边长为，求最小边的长。1.1.2 余弦定理典型题剖析考察点1： 利用余弦定理解三角形例1：已知ABC中，求A，C和。【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长的方程，首先求出边长，再由再由正弦定理求角A，角C，也可以先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角。解法1：由正弦定理得，解得或6.当时，当时，由正弦定理得解法2：由，知本题有两解。由正弦定理得，或，当时，由勾股定理得：当时，ABC为等腰三角形，。【
14、解题策略】比较两种解法，从中体会各自的优点，从而探索出适合自己思维的解题规律和方法。三角形中已知两边和一角，有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直接运用正弦定理，先求角再求边。例2：ABC中，已知，求A，B，C【点拨】解答本题可由余弦定理求出角的余弦值，进而求得各角的值。解法1：由余弦定理得：。因为所以。因为所以因为所以解法2：由解法1知，由正弦定理得，因为，所以BC，所以角C应该是锐角，因此。又因为所以【解题策略】已知三角形三边求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止增解或漏解。考察点2： 利用余弦定理判断三角形的形状例3：在ABC中，已知且，试判断ABC的形状。【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从问题的已知条出发，找到三角形边角之间的关系，然后判断三角形的形状。解法1：（角化边）由正弦定理得，由，得。又由余弦定理的推论得。即。又为等边三角形。解法2：（边化角
