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1、福建省厦门市集美区灌口中学2014年高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点教案2 新人教版必修1一、概述本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理。函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴交点的横坐标。由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴交点的横坐标顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题，这是函数与方程关系认识的第一步。零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不
2、必要条件。如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足，则函数在区间内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断。定理的逆命题不成立。方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认知规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法“函数与方程思想”的理
3、论基础可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位。二、教学目标分析数学课程标准强调：“学生要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。”通过本课教学，要求学生：理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，在此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间。1能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与轴交点的横坐标以及相应函数零点的关系；2正确理解函数零
4、点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点只能不止一个；3能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数；4能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数，并会判断存在零点的区间。三、学习者特征分析1学习者学习准备：学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会。在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质。教学的重点是方程的根与函数零点的关系及零
5、点存在性定理的深入理解与应用。以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明方程的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难。学生学习的难点是准确理解零点存在性定理，并针对具体函数（或方程），能求出存在零点（或根）的区间。2学习者存在问题预测及对策：（1）知识之间的联系：对函数零点概念的理解不深入，对函数零点存在性定理的理解有偏差，误以为是函数存在零点的充要条件。对策：设置层层深入的巩固性问题，由简单的问题的解决引出相关的知识内容，揭示知识的内涵和外延，加深学生对概念和定理的深刻理解。（2）对函数的图象及性质的理解停留在表面上，不会利用函数的性质及图象来解决问题，对一些综合性较强的问题无
6、从下手。对策：重视对问题本质的认识和理解，强化函数图象性质的深入学习，通过不断的解题来加强理解，提升能力。四、教学策略选择与设计1数学学习过程是学生在原有认知基础上的主动建构，学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，为了更好地使不同层次的学生形成自己对课题知识的理解，在高三第一轮复习中，以问题带动考纲知识是一种有益的尝试，本课题在“知识回顾，巩固训练”中做了大胆的创新。2课程标准要求：以学生为主体，充分发挥学生的主动性，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索，与他人合作的良好习惯，让学生体验数学发现和创造的历程。发展学生的创新意识，
7、通过典型事例的分析，使学生理解数学概念和结论逐步形成的过程，体会其中蕴涵的函数与方程的重要数学思想方法。知识的学习是学生的事，不是由教师来包办的，在课堂实践中，应鼓励更多的学生参与到课堂教学活动中来，营造一种适合学生主动探求知识的学习环境，提倡“自由与开放式的追问风气”，鼓励学生独立思考的批判性思维。五、教学资源与工具设计本节教学目标的实现，需要借助计算机，一方面是绘制函数图象，通过观察图象加深方程的根、函数零点以及函数图象与轴交点的关系；另一方面，制作多媒体课件逐步展示教学内容，增大课堂教学容量。六、教学过程（一）知识回顾，巩固训练题1求下列函数的零点：（1）； （2）。答：（1） 2；（2
8、） 1，3。说明：（1）零点不是一个点，也不是，而是使的实数。（2）当对应方程易解时，可通过解方程直接求出零点。归纳1：（1）函数零点的定义：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。（2）方程的根与函数零点的关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。题2若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D解析：由题意，函数没有零点，即方程无解，即方程的判别式小于零，解不等式，得，答案为B。归纳2：二次函数的零点与二次方程的根的关系（设判别式）：二次方程有两个不等的实数根，有两个相等的实数根没有实数根二次函数的图象与轴有两个交点，与轴有唯一交点与轴没有交点二次函数的零点有两个零点，有一
9、个零点没有零点题3（1）已知定义在上的连续函数的部分自变量和函数值对应如下：123456 4 1.36091.09863.38635.60947.7915根据上表写出的实数解所在的一个区间为（ ）A（1，2） B（2，3） C（1，2）或（2，3）都可以 D不能确定解析：，由知方程在区间（2，3）内有解，选B。题3（2）函数的零点所在的区间为（ ）A B C D解析：因为选项中只有，所以函数的零点所在的区间为，选C。归纳3：函数零点的判定（零点存在性定理）：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。问题1：函数零点的存在性定
10、理的作用是什么？答：确定零点所在区间。问题2：对于区间上的连续函数，若是的零点，是否一定有？答：否，仅是在上存在零点的充分条件，而不是必要条件。问题3：若，在什么条件下可以得出在上有唯一零点？答：函数是连续的，且在区间上单调。题4（1）函数的零点个数是（ ）A1 B2 C3 D4解析：函数与的图象如图，当时，；当时，而，结合函数图象可知两个函数的图象只能有3个交点，即函数有3个零点。题4（2）是函数的零点，若，则的值满足（ ）A B C D的符号不确定解析：函数在上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数的单调递增性（如图），在上这个函数的函数值小于零，即。归纳4：判断函数零点
11、的个数，一般通过画函数的图象，观察图象的交点个数，即可得函数零点的个数。注：在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零【设计意图】（1）传统的复习课中，教师总是先进行知识梳理，把一些枯燥的知识内容放电影式地展现，在展示的过程中，学生已经昏昏欲睡；本课题以问题带动思考，引出相关的要复习的知识点，在解决问题的过程中重温了核心数学概念与方法，对于激发学生的学习兴趣及扎实基础有较大的帮助。（2）问题由浅入深，逐层递进，要求学生独立思考、合作探究后加以解答，并提炼出相关数学知识，把课堂真正“
12、还”给了学生，教师引领学生主动思考问题，在与学生的深层次交流中碰撞出思维的火花。（二）要点探究，能力提升例1：已知函数。（1）试确定函数的零点个数；（2）若方程有3个解，求实数的取值范围。思路分析：（1）直接解方程；（2）画出函数与的图象，观察交点；（3）利用导数研究函数的性质（单调性、极值等，从而作出函数的大致图象）。其中（3）为通性通法，具体的解答如下：解：（1），由得或，于是、随的变化情况如下表：极大值4极小值0由表可知，函数在为增函数，在为减函数，在为增函数；当时，取极大值4，当时，取极小值0；，函数在上有一个零点，而是在上的另一个零点；函数恰有2个零点。（2），方程有3个解，即函数与
13、函数的图象有3个交点，由（1）及函数的图象可得。例2：已知函数，其中。（1）当时，若的定义域为，求实数的取值范围；（2）判断当时，函数在内是否存在零点。解：（1）函数的定义域为对任意恒成立，设，则，所以在递增，在递减，当时，取极小值也就是最小值；当时，的值域为；对任意，解得。（2），又，当时，函数在上为增函数；设，则，函数在上为增函数，即，于是，函数在内仅有一个零点。【设计意图】利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点（方程是否存在实根）进行判断或利用零点（方程实根）的存在情况求相关参数的范围，是高考中常见的题目类型，尤其是与导数问题相关的题型，如例1中求参数的取值范围，解决由
14、函数零点（方程根）的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。（三）规律总结，方法提炼1方程的根（从数的角度看）、函数图象与轴的交点的横坐标（从形的角度看）、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2函数零点的判断：（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；（2）利用函数零点的存在性定理进行判断；（3）通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断3对于在上的连续函数，若是的零点，不一定有，即仅是在上存在零点的充分条件，而不是必要条件4有关函数零点的重要结论：（1）若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号（3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变【设计意图】小结是一堂课内容的概括和总结，是必不可少的一个环节，有利于使学生把握本节所学的重要内容，让学生总结，可以检查学生的收获情况；还可以更进一步培养学生的归纳总结能力，而这种能力对学生的高中学习是极其重要的。（四）作业布置1整理本节课的例题；2全品高考复习方案，课时作业（十）。【设计意图】作业是学生学习信息的反馈，也是师生互动的一种方式，教师可以发现和弥补教学中的不足，学生也可以找到自身的问题并及时纠正，实现“学数学用数学
