谈数学核心素养之直观想象与培养_方厚良资料

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1、高中版高中版 2016年10月 数坛 在线 教育纵横 谈数学核心素养之直观想象与培养* 筅湖南省株洲县第五中学方厚良罗灿 一、问题的提出 教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本 任务的意见把 “ 研究制订学生发展核心素养体系和学 业质量标准”作为推进关键领域和主要环节改革的着力 点.学科核心素养是核心素养体系的重要组成部分，是 实践核心素养的主阵地.按先行启动普通高中课程修订 工作的要求，以王尚志教授为修订组长的普通高中数学 课程标准修订组，通过多方研讨、征询、论证，提出了 “ 六 大数学核心素养”，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、运 算能力、直观想象、数据分析.从大的方面讲，核心素养 是

2、深化基础教育课程改革，落实素质教育目标的关键要 素，是素质教育研究的再出发；从学科教育教学层面讲， 数学核心素养是保障数学学科育人的关键.但目前，高 中数学课程标准修订工作仍在进行， 新课标尚未出台， 具体到这六个数学核心素养，虽然我们对它构建的背景 和意义有一定的了解，但仍有很多问题 （ 疑惑）要问，如 “ 为什么以这六个为核心素养而不是其他 （ 依据）？ 对每 个核心素养如何进行内涵界定和具体阐释？ 各素养之间 的关系如何？ 怎样在教学实践中操作？ ”等等.笔者认为， 就象之前 “ 四基”中的数学基本思想方法和数学基本活动 经验，它们都是发展着、生长着的概念或理论，课标给出 的是基本框架和

3、大的方向，数学家、专家们有高层次的 理解，一线教师也不必自卑，要在学习中融入个人思考 形成自己的看法.实际上，真正和学生打交道的还是教 师，教师的理解可能更重要.所以，本文选取 “ 直观想象” 这一数学核心素养，从一线教师视角，整理自己对该课 题的一些学习和思考，抛砖引玉，希望方家指正和教诲. 二、作为数学核心素养的直观想象 对直观想象，可从分解与整合的角度探讨.首先，直 观、想象是不同的思维方法或思维形式，需对它们的性 质、功能、特点进行分开探讨；其次，考虑两者间的联系 和关系，想象也可建立在直观基础之上，视为直观的延 伸，二者结合为一个连续性的整体.“ 普通高中数学课程 标准 （ 实验）”

4、将 “ 直观感知”和 “ 空间想象”是作为学习数 学和运用数学解决问题需经历的思维过程、具体体现提 出来的；6条具体课程目标中的第2条， 将空间想象要求 为五大基本能力之一.从这一比较，我们也可将 “ 直观想 象”这一数学核心素养视为 “ 几何直观” “ 空间想象”观念 的发展和融合. 1.直观 直观，是指通过对客观事物的直接接触而获得的感 性认识.希尔伯特在他的 几何基础第一版的扉页引用 了康德的一段话： 人类的一切知识都是从直观开始，从 那里进到概念，而以理念结束.对 “ 直观”可以做通俗解 读，也可做哲学思辨，本文不从直观的各种定义抽象分 析，仅选取一些教育家、数学家对 “ 直观”的看法

5、，从教 育，特别是数学教育的角度来绍介，也许对 “ 直观”在认 识上能获得更适宜感受、启发和把握. 张楚廷先生在文 1对直观阐述了自己的理解：直观 的东西必定具体，具体的东西不一定能直观，对于教学 效果的讲究来说，具体的东西 （ 而难以直观者）就够了， 如2，3，4，这些东西很具体了，但并不直观.直观的方 法虽然十分重要，但一方面有时候并不有效，到了一定 时候也并无必要了.直观的认识只是认识的一个片段， *本文为湖南省教育科学 “十二五” 规划2015年度基础教育研究课题 “普通高中数学教材的心理化研究”（课题编号： XJK015CZXX074，主持人：方厚良）的研究成果之一. 38 高中版高

6、中版 2016年10月 数坛 在线 教育纵横 教学的目的要求我们不能让学生的认识停留在这一片 段但它有利于学生认识的入门，利于学生接受新概 念和原理，也利于记忆. 数学家徐利治在“ 谈谈我的一些数学治学经验”提 到 “ 重视直观”：学习一条数学定理及其证明，只有当我 能把定理的直观含义和直观思路弄明白了，我才认为真 正懂了；在科学研究中，我也常常借助于由经验获得直 观能力， 以猜测的方式去探索某些可能取得的成果；一 般英文辞典中，常把intuition译作直觉、直观，足见直观 与直觉两词的涵义会有不少相通或相同之处，但在数学 中，我宁愿把 “ 直观”一词解释为借助于经验、观察、测试 或类比联想

7、， 所产生的对事物关系直接的感知与认识， 例如，借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生 对数量关系的直接感知，即可称之为 “ 几何直观”. 苏霍姆林斯基在文 2的 “ 谈谈直观性问题”中对直 观 （ 性）有些重要阐述：直观性是年龄较小的学生的脑力 劳动一条普遍规则；直观手段只是在促进思维积极化的 一定阶段上才是需要的；应当逐步地由实物的直观手段 向绘画的直观手段过渡，然后再向提供事物和现象的符 号描述的直观手段过渡；要引导学生由绘画的直观性过 渡到词的形象的直观性；直观手段应当使学生把注意力 放在最主要、最本质的东西上去. 2.想象 文 3指出：在研究图形的性质 （ 即图形的形状、大小 和

8、位置关系）时，除直接给出一些基本图形的性质外，总 要根据所给具体图形的特点和解决它的需要，把它分解 和重新组合，即在头脑中进行操作，出现一些异于当前 所给图形的一些新的图形，这就是 “ 想象”.例如在解决 几何问题时，常常要从眼前的图形，通过 “ 想象”，构造出 新的图形 （ 如添加辅助线），找出新的关系，才能解决.这 种想象几何图形的能力，就是空间想象能力. 文 4认为，数学想象是对数学形象的特征推理，它 是数学表象与数学直感在主体头脑中的有机联结和组 合；数学想象是似真推理 （ 或合情推理）的基本成分.数 学想象有着各种不同的表现形式，按照想象的特点来分， 可以分成图形想象和图式想象两类；

9、按照想象的深度来 分，则可以分成联想 （ 包括回忆、追想等）和猜想两类，联 想是一种再造性想象，而猜想是属于创造性想象，在联 想和猜想之间还有一些近义的中间层次，按照逐渐加深 的顺序是：联想推想设想构想猜想.图形想象 是以空间形象直感为基础的对数学图形表象的加工与 改造，是对几何图形的形象建构；图式想象是以数学直 感为基础的对数学图式 （ 数量关系的解析表现）表象的 加工与改造.它们包括图形 （ 图式）构想、图形 （ 图式）表 达、图形 （ 图式）识别和图形 （ 图式）推理四个层次.图式 是数量关系的引申，而又是对图形的抽象和概括；图形 是数量关系的形象表现，而又是图式的直观显示. 3.作为数

10、学核心素养的直观想象 鲍建生教授在“ 高中数学课程标准修订中若干问 题”讲座中谈及 “ 聚焦数学核心素养”，介绍了作为核心 素养的直观想象的4方面表现形式： （1）利用图形描述数 学问题； （2）利用图形理解数学问题； （3）利用图形探索 和解决数学问题； （4）构建数学问题的直观模型.从直观 想象的4个表现，我们可以做如下解读： 首先，从数学学科角度，对直观想象提出自己的要 求，那就是直观、想象的载体是 “ 图形”，因为其他学科也 存在直观和想象的问题，突出学科特点，数、形是数学研 究和学习的基本对象，相对而言，形直观，数抽象，正如 华罗庚名言：数缺形难达直观，形缺数难以入微.其次， 相对以

11、往，对 “ 图形”概念扩大了范围，由几何图形，拓展 包括各种函数图像及其变换、 向量的几何意义与运算 等.再次，也应考虑现代技术手段的介入，特别是一些强 大软件的作图功能，将原先难以做到的变为直观，为想 象提供更高平台和起点. 三、谈学生直观想象的培养 史宁中教授在文 5说： “ 数学知识的形成依赖于直 观，数学知识的确定依赖于推理，也就是说，在大多数的 情况下，数学的结果是 看出来的而不是 证出来的， 所谓 看是一种直觉判断，这种直觉判断建立在长期的 有效能的观察和思考的基础上 人为什么能够获取 知识这个问题就是因为人具有一种能力，我们姑 且称这个能力为 直观能力.直观能力的存在是先天 的，

12、但一个好的直观能力的养成却是依赖于经验的.”在 文 6则指出 “ 直观不是 教出来的，而是自己 悟出来 的，这就需要经验积累”.这些见解，对我们培养学生的 直观想象这一核心素养有重要的指导意义.我的理解 是，教师要选择典型的数学内容，创设探讨情境，精心设 计问题，引导学生观察和思考，在丰富的数学活动经历 中积累自己的 “ 直观想象”经验， “ 悟”出门道.结合高中 数学课程， 笔者以为可从以下4各方面来着手培养学生 39 高中版高中版 2016年10月 数坛 在线 教育纵横 的直观想象. 1.学函数，用图像 函数是中学数学的核心概念， 是中学数学的基础， 是学好数学的关键.以函数为主线可以将很

13、多数学内容 “ 串”起来：函数、不等式、方程、数列、微积分等，占高中 数学课程的 “ 半壁江山”.但函数的概念抽象，内涵丰富， 思想精微.用 “ 学函数，用图像”观点指导学生函数学习： 从概念层面看，丰富表征，完善结构，便于概念抽象；从 思想方法层面看，以形助数、数形沟通，实现数形结合； 从学习心理角度看，用图思考，形象直观，有助于建立信 心. “ 学函数，用图像”具体表现为： （1）用图像，从 “ 形”的角度刻画和理解函数及其相 关概念； （2）用图像，为函数性质的发现、描述、理解和记忆 提供方法； （3）用图像，从变换的视角将复杂函数 “ 看”简单； （4）用图像，架起方程 （ 不等式）通

14、往函数的 “ 桥梁”； （5）用图像，构建直观模型使抽象函数问题不抽象. 2.研究空间位置关系，用好长方体这一直观模型 立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空 间想象能力.课标 （ 实验）要求内容设计遵循从整体到局 部、具体到抽象的原则；以长方体为模型和载体，直观认 识和理解空间点、线、面的位置关系.熟悉长方体空间基 本元素的关系和性质，把空间关系的一些重要结论放到 长方体来观察和思考，既易于发现又便于记忆，一些复 杂的几何体，可以借助割补法化归为长方体 （ 有时更特 殊为正方体）模型处理，打开思路，使问题得以简化. 例1（2014全国新课标I 卷理12） 如图1，网格纸上小 正方形的边长

15、为1，粗实线画 出的是某多面体的三视图， 则该多面体的各条棱中，最 长的棱的长度为 （） A.62 % 姨B.42 % 姨 C.6D.4 分析：三视图和直观图之间的 “ 互化”是高考考查空 间想象力的重要载体.三视图需想象从正面、侧面和下 面三个角度 “ 竖”起与平行光线垂直的投影面，长方体当 然具有现成的面可供选取，我们就可以考虑把一些空间 几何体置于长方体 （ 或正方体）模型中并利用割补法想 象实施， 构造出所要研究的 几何对象.本题就是一个经典 例子： 从水平标准放置的棱 长为4的正方体中割出一个 三棱锥，如图2，并易知三棱 锥E-CC1D1（ 其中E为BB1的中 点 ）最 长 的 棱

16、为D1E （42 % 姨 ）2+22 % 姨6. 3.理解好向量几何意义，发挥向量几何直观优势 在高中数学课程结构中，向量是沟通代数、几何与 三角函数的一种工具，向量及其运算工具性贯穿于高中 数学教材体系不同内容和不同问题之中.但对向量概念 及其运算，中学可能强调代数坐标运算过了头，特别是 空间向量处理立体几何问题.其实向量有丰富的几何背 景和几何意义，要加大从 “ 形”的角度理解好向量，养成 主动想图、作图和用图思考的习惯， “ 看”出思路， “ 看”出 简洁. 例2（2005年浙江理10）已知向量ae，|e|=1满足： 对任意tR，恒有|a-te|a-e|，则 （） A.aeB.a（a-e） C.e（a-e）D.（a+e）（a-e） 思路1：从代数运算变形角度考虑，将向量模的不等 式用平方法变形整理为关于实数t的一元二次不等式恒 成立问题. 原问题等价于t2-2aet+（2ae-1）0对任意tR均 成立，则有=（-2ae）2-4（2ae-1）0圳（