量子力学——算符资料

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1、量子力学 算符 2/52 目录目录 一、一、位置算符位置算符 1.1 厄米算符厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数（位置算符）本征值与本征函数 1.3 正则对易关系正则对易关系 二、二、动量算符动量算符 2.1 动量算符导引动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数（动量算符）本征值与本征函数 2.3 厄米算符厄米算符 2.4 正则对易关系正则对易关系 三、三、角动量算符角动量算符 3.1 简介简介 3.2 数学定义数学定义 3.3 角动量是厄米算符角动量是厄米算符 3.4 对易关系对易关系 3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2

2、 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量）本征值与本征函数角动量）本征值与本征函数 四、四、哈密顿算符哈密顿算符 五、五、阶梯算符阶梯算符 六、六、创生及湮灭算符创生及湮灭算符 七、七、自旋算符自旋算符 7.1 概论概论 7.2 发展史发展史 7.3 自旋量子数自旋量子数 7.3.1 基本粒子的自旋基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋原子和

3、分子的自旋 7.3.4 自旋与统计自旋与统计 7.4 自旋的方向自旋的方向 7.4.1 自旋投影量子数与自旋多重态自旋投影量子数与自旋多重态 7.4.2 自旋矢量自旋矢量 7.5 自旋与磁矩自旋与磁矩 7.6 量子力学中关于自旋的数学表示量子力学中关于自旋的数学表示 7.6.1 自旋算符自旋算符 7.6.2 自旋与泡利不相容原理自旋与泡利不相容原理 7.6.3 自旋与旋转自旋与旋转 7.6.4 自旋与洛伦兹变换自旋与洛伦兹变换 7.6.5 泡利矩阵和自旋算符泡利矩阵和自旋算符 7.6.6 沿沿x, y和和 z 轴的自旋测量轴的自旋测量 7.6.7 沿任意方向的自旋测量沿任意方向的自旋测量 7.

4、6.8 自旋测量的相容性自旋测量的相容性 7.6.9 自旋自旋1/2 7.7 应用应用 八、时间演化算符八、时间演化算符 3/52 一、位置算符 在量子力学量子力学里，位置算符位置算符(position operator)是一种算符算符，当作 用于粒子的波函数，可以得到粒子的位置。给予一个粒子的波 波 函数 函数 ，这粒子的位置的期望值为 返回目录返回目录返回目录返回目录 目录目录目录目录 1.1.1 1 厄米算符厄米算符厄米算符厄米算符 1.1.2 2 本征值与本征函数本征值与本征函数本征值与本征函数本征值与本征函数 1.1.3 3 正则对易关系正则对易关系正则对易关系正则对易关系 4/52

5、 1.1厄米算符 由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O 的期望值是 实值的： 对于任意量子态 ，这关系都成立： 根据伴随算符伴随算符的定义，假设 是 的伴随算符，则 因此， 这正是厄米算符厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ，都是厄米算符。 位置是一个可观察量，位置算符 应该也是厄米算符： 选择位置空间，量子态 的波函数为 ， 对于任意量子态 ， 。所以，动量算符确实是一个厄米算符动量算符确实是一个厄米算符动量算符确实是一个厄米算符动量算符确实是一个厄米算符。 返回目录返回目录返回目录返回目录 5/52 1.2 （位置算符）本征值与本征函数 假设，位置算符 的本

6、征值本征值为的本征函数是 。用方程表达， 这方程的一般解为， 其中， 是常数， 是狄拉克函数。 虽然 无法归一化归一化： 设定 = 1，我们可以使 满足下述方程： 这性质不是普通的正交归一性正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性狄拉克正交归一性。因为这性质，位置算 符的本征函数是完备完备的。也就是说，任意波函数 都可以表达为本征函数的线性 线性 合合： 返回目录返回目录返回目录返回目录 6/52 1.3正则对易关系 位置算符与动量算符的交换算符交换算符，当作用于一个波函数时，有一个简单的结果： 所以， 。 这关系称为位置算符与动量算符的正则对易关系。由于两者的正则对易关系不等 于 0 ，位置与

7、动量彼此是不相容可观察量。 与 绝对不会有共同的基底量子 态。一般而言， 的本征态与 的本征态不同。 根据不确定性原理不确定性原理， 由于 与 是两个不相容可观察量， 。 所以， 的不确定性与 的不确定性的乘积 ，必定大于或等于 返回目录返回目录返回目录返回目录 7/52 二、动量算符 在量子力学量子力学里，动量算符动量算符(momentum operator)是一种算符算符，可以用来计算一个或多个粒 子的动量动量。对于一个不带电荷、没有自旋的粒子，作用于波函数 波函数 的动量算符可以写 为 其中， 是动量算符， 是约化普朗克常数约化普朗克常数，是虚数单位， 是位置。 给予一个粒子的波函数 ，

8、我们可以计算这粒子的动量的期望值： 其中， 是动量 动量算符中也包含厄米算符、正则对易关系的内容，详见1.1、1.3 返回目录返回目录返回目录返回目录 目录目录目录目录 2.1 动量算符导引动量算符导引 2.2 本征值与本征函数本征值与本征函数 2.3 厄米算符厄米算符 2.4 正则对易关系正则对易关系 8/52 2.1动量算符 导引(1) 对于一个非相对论相对论性的自由粒子，位势 ，不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程表达为 其中， 是约化普朗克常数约化普朗克常数， 是粒子的质量质量， 是粒子的波函数波函数， 是粒子的位置， 是粒子 的能量。 这薛定谔方程的解答 是一个平面波： 其中， 是波数，

9、。 根据德布罗意假说德布罗意假说，自由粒子所表现的物质波，其波数与自由粒子动量的关系是 自由粒子具有明确的动量 ，给予一个系综系综许多相同的自由粒子系统。每一个自由粒子系统的 量子态都一样。标记粒子的动量算符为 。假若，对于这系综内，每一个自由粒子系统的动量 所作的测量，都得到同样的测量值 ，那么，不确定性 ，这自由粒子的量子态是确定 态，是 的本征态本征态，在位置空间位置空间(position space)里，本征函数为，本征值本征值为： 换句话说，在位置空间里，动量算符的本征函数必须是自由粒子的波函数 1。 为了要达到此目标，势必要令 所以，可以认定动量算符的形式为 返回目录返回目录返回目

10、录返回目录 9/52 2.1动量算符 导引(2) 在经典力学经典力学里，动量是质量乘以位置随时间的全导数： 在量子力学里，由于粒子的位置不是明确的，而是几率性几率性的。所以，我们猜想这句话 是以期望值的方式来实现2： 那么，用积分方程来表达， 其中， 是波函数波函数。 取微分于积分号下， 由于 只是一个位置的统计参数，不相依于时间， (1) 含时薛定谔方程含时薛定谔方程为 其中， 是位势。 其共轭复数为 返回目录返回目录返回目录返回目录 10/52 2.1动量算符 导引(3) 将上述两个方程代入方程(1)，可以得到 使用分部积分法， (2) (3) 方程 (2) 与 (3) 的减差是 所以，

11、对于任意波函数 ，这方程都成立。 因此，我们可以认定动量算符 为 。 返回目录返回目录返回目录返回目录 11/52 2.2 （动量算符）本征值与本征函数(1) 假设，动量算符 的本征值本征值为的本征函数是： 这方程的一般解为， 其中， 是常数。 假设 的定义域是一个有限空间，从x =-L 到 x=L ，那么，我们可以将 归一化归一化： 的值是 。动量算符的本征函数归一化为 假设 的定义域是无穷大空间，则 不是一个平方可积函数平方可积函数： 返回目录返回目录返回目录返回目录 12/52 2.2 （动量算符）本征值与本征函数(2) 动量算符的本征函数不存在于希尔伯特空间希尔伯特空间内。我们不能直接

12、地积分 于无穷大空 间，来使 归一化。 换另一种方法，设定 。那么， 其中， 是狄拉克函数。 这性质不是普通的正交归一性正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性狄拉克正交归一性。因为这性质，动量算符的 本征函数是完备完备的。也就是说，任意波函数 都可以表达为本征函数的线性组合： 其中，系数 是 返回目录返回目录返回目录返回目录 13/52 三、角动量算符 在量子力学量子力学里，角动量算符角动量算符(angular momentum operator) 是一种算符算符，类比于经典的角动量角动量。在原子物理学涉及旋 旋 转对称性转对称性(rotational symmetry)的理论里，角动量算符占

13、有 中心的角色。角动量，动量动量，与能量是物体运动的三个基 本特性 返回目录返回目录返回目录返回目录 目录目录目录目录 3.1 简介简介 3.2 数学定义数学定义 3.3 角动量是厄米算符角动量是厄米算符 3.4 对易关系对易关系 3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量角动量)本征值与本征函数本征值与本征函数

14、 14/52 3.1 角动量算符 简介 角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系 统里，如同能量和动量，角动量是守恒守恒的。在量子力 学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计 算实现于描述量子系统的波函数波函数，而不是经典地实现 于一点或一刚体刚体。在量子尺寸世界，分析的对象都是 以波函数或量子幅量子幅来描述其几率性几率性行为，而不是命定 命定 性性(deterministic)行为。 返回目录返回目录返回目录返回目录 15/52 3.2 数学定义 在经典力学经典力学里，角动量 定义为位置 与动量 的叉积叉积： 在量子力学里，对应的角动量算符 定义为位置算符 与动量算符 的叉积：

15、由于动量算符的形式为 角动量算符的形式为 其中， 是梯度算符。 返回目录返回目录返回目录返回目录 16/52 3.3角动量是厄米算符 在量子力学里，每一个可观察量所对应的算符算符都是厄米算符厄米算符。角动量是一个可观察量，所 以，角动量算符应该也是厄米算符。现在证明这一点，思考角动量算符的 x-分量 ： 其伴随算符 伴随算符 为 由于 、 、 、 ，都是厄米算符， 由于 与 之间、 与 之间分别相互对易，所以， 因此， 是一个厄米算符。类似地， 与 都是厄米算符。 总结，角动量算符是厄米算符总结，角动量算符是厄米算符总结，角动量算符是厄米算符总结，角动量算符是厄米算符。 再思考 算符， 其伴随

16、算符 伴随算符 为 由于 算符、 算符、 算符都是厄米算符， 所以， 算符是厄米算符 返回目录返回目录返回目录返回目录 17/52 3.4 对易关系 两个算符 与 的交换算符 交换算符 ，表 示出它们之间的对易关系 返回目录返回目录返回目录返回目录 18/52 3.4.1角动量算符算符与自己的对易关系（1） 思考与的交换算符交换算符， 由于两者的对易关系不等于 0 ， 与 彼此是不相容可观察量。 与 绝对不会有共 同的基底量子态。一般而言， 的本征态本征态与 的本征态不同。 给予一个量子系统，量子态为 。对于可观察量算符 ，所有本征值为 的本征 态，=1,2,3. 形成了一组基底量子态。量子态 可以表达为这基底量子态的线 线 性组合性组合：。 对于可观察量算符 ，所有本征值为 的本征态 ， =1,2,3.形成了另外一组基 底量子态。量子态 可以表达为这基底量子态的线性组合： 返回目录返回目录返回目录返回目录 19/52 3.4.1角动量算符算符与自己的对易关系（2） 根据哥本哈根诠释，量子测量可以用量子态坍缩机制来诠释。假若，我们测量可观察