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1、物理教学探讨 高中学生版 深圳中学姚学林肖相如熊兆熙 虚功原理在竞赛中的妙用 虚功原理是指物体在力系作用下处于平衡状态，若 物体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续虚位 移， 则外力在位移上所做的虚功W恒等于物体内力合 力在虚位移上所做的内力虚功Wi。 可简单写成：W（外 力功）=Wi（内力功）。 虚功原理的应用条件是： 力系应当满足平衡条件 力系是平衡的。 在高中物理竞赛中有一部分静力学的问题，如果应 用一般的常规方法往往需要复杂的列方程和烦琐的数 学运算，但如果对分析力学中的虚功原理有所了解并应 用，会使得我们的解题过程大大简化。 下面就我们常见 的几个问题举例： 例1如图1所示，5根长
2、度均为l的质量均为m的 均质杆，将它们端点铰接成为正六边形机构，固定在天花 板上，使六边形在竖直平面内，并用不可伸长的轻绳一端 连在下杆中点挂在天花板上，轻绳竖直，求绳上的张力。 解析：若用常规做法，需要列几个受力平衡和力矩 平衡方程。 用虚功原理可以化简计算。 设此时绳长为l， 则五根杆构成的系统的重力势能 为E=2mg l 4 2mg 3l 4 mgl=3mgl 假设绳长有dl的变化，则绳子张力做功为W=Tdl 由虚功原理有W=dE即Tdl=d（3mgl）=3mgdl 得T=3mg 可见虚功原理可大大减少运算量。 例2匀质杆AB始终在平面内，A端靠在光滑墙 上，B端在一光滑曲面上，如图2示
3、。 若无论B在何处杆 均受力平衡，求曲面方程。 解法一：常规受力分析 如图3所示，因曲面光滑，约束力合力沿法向。 图1 y O A B（x，y） x 图2 竞 赛 物 理 y AN C P N2 N1 B（x，y） O 图3 x 56 物理教学探讨 高中学生版 于是有：N1 N2 =tan=dy dx % 由几何关系：sin=x/l% 由竖直方向受力平衡得：N2=P% 对A点由力矩平衡得： N1cos+（Plsin）/2=N2lsin% 联立解出N1，N2后代入式得： dy dx = x l 21 x l 2 % 姨 d y l = x l 21 x l 2 % 姨 d x l 令sinu =
4、 x/l，则上式化为：d y l = 1 2 sinudu 积分得： y l = 1 2 cosu+C%y= 1 2 1 x l 2 % 姨 +C 因x=0时y=0，故有：C= l 2 所以曲线方程为：y= 1 2 1-1 x l 2% 姨 姨姨 此方法较烦琐，且用到高等数学的知识。 解法二：虚功原理 约束为理想约束，主动力为重力，由虚功原理，虚位 移中主动力做功为零，即 PyC=0 %yC=常量 由几何关系：yC=y+ 1 2 l2-x2 % 姨 故y+ 1 2 l2-x2 % 姨=常量 因x=0时y=0%，故常量为 l 2 。 故y= 1 2 1-1 x l 2% 姨 姨姨 显而易见，采用
5、虚功原理大大简化了我们的解题 过程。 例3如图4所示，四根相同的长度为l的光滑轻杆 由铰链连接成菱形，一轻绳系在两对角间，下部挂一重 量为P的重物，系统放置于两根等高相距为2a（2a2l） 的杆上，求绳中的张力？角已知。 解法一：常规受力分析的方法 铰链不提供力矩， 故AP，CP对P点只有沿杆作用 力。 即F1，Q处铰链受力左右对称，又为平衡。 故作用力 只有水平分量，即F4。 其余各力如图5所示。 对AQ杆： 沿杆方向受力平衡：F4sin=F2 对K点力矩平衡：F4cos a sin =F3l a sin 对铰链A： 竖直方向受力平衡：F2cos+F3sin=F1cos 水平方向受力平衡：T
6、+F1sin+F2sin=F3cos 对铰链P： 竖直方向受力平衡：2F1cos=P 联立以上5式解得：T=P a 2lsin2cos tan 解法二：虚功原理 建立如图4所示的坐标系，主动力为两个T，及P， 约束为理想约束，则有： xA=lsin% xA=lcos yP=2lcosacot%yP=2lsin+a sin2 Q K x 2a J CA TT l P y 图4 F4 Q a sin N K F3F2 A F2 F3 A F1 T F1 F1 P 图5 竞 赛 物 理 57 物理教学探讨 高中学生版 由虚功原理得：2TxA+PyP=0 将xA，yP代入可得：T=P a 2lsin2
7、cos tan ? 例4四根长为l重为mg， 两根长为2l重为2mg的 匀质杆由铰链连接，如图6所示悬挂，图中连接在节点 之间的轻绳长2 % 姨 l，求其绳中的张力。 解法一：利用常规受力分析的方法再列出力的平衡 方程和力矩的平衡方程求解，这里就不再赘述。 解法二：利用虚功原理进行求解 将张力视为主动力，设想一虚位移使B下降y%，则 C下降2y，BC增长y%，故张力作功为：-Ty 系统重心为B，重力做功为8mgy 由虚功原理，应有： - Ty+8mgy=0 故T=mg 虚功原理不一定对连续体才适用，对于离散的系统 同样适用，其核心不变，主要工作是表示出系统质心的 位置，从而表示出系统的能量。
8、具体见下题。 例5如图7所示，一竖立在竖直面内的半圆形空心 管，管内刚好装有2n个光滑小珠子，已知每个珠子重力 为W，求第i个珠子与第i+1个珠子的作用力Ni。 解法一：常规做法 如图8所示，对第k个球进行受力分析。 图中的角 量分别是：= 4n % = k 2n 4n = （2k1） 4n 球在x方向受力为0，有：Nk1cos+WcosNkcos=0 整理得：NkNk1= cos （2k1） 4n cos 4n 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 W 那么求和可以得到： Ni= i k=1 cos （2k1） 4n W cos 4n
9、 = i k=1 2cos k 2n 4n ?sin 4n W 2cos 4nsin 4n = i k=1 sin k 2n sin （k1） 2n W sin 2n = sini 2n sin 2n 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 W 用常规方法作受力平衡的方程好列，但是最后数学 运算技巧性很高。 解法二：利用虚功原理解答 如图9， 设任意珠子的球心到管的圆心OO长度为 R，前面i个球为系统质心为C，设CO长度为L。 由虚功原理有：NiRcosd=iWd（Lsin）=iWLcosd%其 中= 4n 即：Ni= iWLcos Rc
10、os 现在目的是求出质心位置参量L和 K 2n 2n-1 图7 Nk W x N（k-1） 图8 O a R O Ni C 图9 竞 赛 物 理 A l l B C y 2y 图6 58 物理教学探讨 高中学生版 由对称性已知角度= 1 2 2i=i 求L用旋转矢量法：如图10所示。 i个大小为mR、 方向一次相差角度2的矢量和的 大小应该为imL。 有：imL=2 mR 2sin sin（i）%即L= Rsin（i） isin 代入N的表达式得： Ni= iWLcos Rcos = iW Rsin（i） isin cos（i） Rcos = Wsin（i）cos（i） sincos = si
11、ni 2n sin 2n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? W 可见此题利用虚功原理不需太复杂的数学运算，但 是在计算质心这个物理工作上要求也挺高的，就此题而 言，利用旋转矢量法计算质心位置是此题的关键。 对物 理方面的技巧的灵活应用，是竞赛的基本素质，也很好 地体现了竞赛对提高思维的有效帮助。 除了在力学中， 虚功原理在电磁学中同样有应用， 对于有些情况，电磁力用常规方法无从下手，利用虚功 原理便能很好地解决。 例6如图11所示，一个外半径为R1，内半径为R2 的圆柱形电容器，竖直地插进相对介电常数为r的密度 为的电解液中，若将电
12、容器接上电压为U的电源，求电 解液中液面上升的高度。 解析：为了求出液面上升的高度，需求出电容器内 液体受的电场力，在此用虚功原理求解。 先求出电容器电容：设单位长度电容带点为，则离 轴线r处电场强度为E= 20r 内外筒电势差为U= % % 乙Edr= R1 R2 乙 20r dr= 20 lnR1 R2 单位长度电容为C0= U = 20 ln（R1/R2） 若有电解质有C0= 20r ln（R1/R2） 设电容器长为L，其中有电解液长度为x，则电容器 电容为： C=xC0（Lx）C0= 20（r1）x+L ln（R1/R2） 电容储存电场能为E= 1 2 CU2， 设电解液受力为F （方
13、向向上），假设电解液在F作用下向上移动dx，由虚 功原理有Fdx=dE=d 1 2 CU 乙乙 2 = U2 2 dC= U2 2 20（r1）dx ln（R1/R2） 得F= U2 2 20（r1） ln（R1/R2） 液面上的电解液受力平衡有：F = h（R21-R22）g 得h= U2 （R21-R22）g 0（r-1） ln（R1/R2） 从以上几例中， 我们可以看出虚功原理在一些常见 问题中的妙用。 它其实让我们从复杂的方程和运算中解脱 出来，把静力学的问题与能量的观点结合起来。 因为在很 多的问题中受力尽管很复杂，但能量的关系却很简单。 需 注意，也不能乱用虚功原理。 一定要注意它的适用条件。 图11 竞 赛 物 理 mR （共i个） imL 2a 图10 浙江大学物理系成立于1928年， 学科方向涵盖 理论物理、粒子物理与核物理、凝聚态物理、光学、电 子与无线电物理、原子分子物理、等离子体物理。 其 中理论物理、凝聚态物理是国家重点学科，光学是浙 江省重点学科。 浙大物理系具有物理学一级学科的 博士学位授予权， 并有物理学一级学科博士后流动 站。 物理系下设五个研究实体：浙江近代物理中心、 凝聚态物理研究所、光学研究所、电子与无线电物理 研究所、浙江大学聚变理论与模拟中心。 重点大学物理学院（系）介绍 59
