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1、第2课时 函数奇偶性的应用,大自然是一个真正的美的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命在技术设计中，也经常运用对称方法被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造新的、宏伟的业绩一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，这种对称性体现了函数的什么性质？,1奇函数f(x)的图象关于原点对称，当f(x)的定义域为R时，必有f(0)0. 2如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是 函数 3若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是 ，且有 .
2、4若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则f(x)在(0，)上是 ,偶,增函数,最小值M,增函数,3若函数yf(x)(xR)是奇函数，且f(1)f(2) Cf(1)f(1) Df(2)f(1) 解析：f(1)f(2) 又已知f(x)是奇函数，f(1)f(2) 答案：B,4设f(x)是R上的偶函数，且在0，)上单调递增，则f(2)，f()，f(3)的大小顺序是_ 解析：f(x)是R上的偶函数， f(2)f(2)， f()f()， 又f(x)在0，)上递增，而2f(3)f(2)， 即f()f(3)f(2) 答案：f()f(3)f(2),5已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x22x2.
3、 (1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间,(2)先画出yf(x)(x0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应yf(x)(x0)的图象，其图象如下图所示 由图可知，其增区间为1,0)及(0,1， 减区间为(，1及1，),类型一 利用函数奇偶性求值 【例1】 已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，那么f(2)_. 解：注意到函数f(x)中多项式部分x5ax3bx的指数均为奇数，因此可设g(x)x5ax3bx，于是函数g(x)为奇函数于是f(2)g(2)810，则得g(2)18，也即g(2)18.从而f(2)g(2)826.,温馨提示：在给出函数解析式
4、的前提下，如何根据f(2)求f(2)，显然这类问题无需将2,2代入计算，关键是利用函数的奇偶性进行转化，一般来说这类问题都可以转化奇偶函数来解决例如，本题g(x)f(x)8，则g(x)为奇函数当然这里的x5ax3bx是本质，只要这部分为奇函数即可，结果一样,类型二 利用函数奇偶性求函数表达式 【例2】 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x3x1，求f(x)的解析式 思路分析：本题已知x0时f(x)的解析式，只需再求出x0及x0的解析式进行转化，可求得x0的解析式,温馨提示：在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间里，然后利用已知区间的解析式进行代入，利用f(x)的奇偶性把f(x
5、)写成f(x)或f(x)，从而解出f(x),思路分析：利用奇函数的定义和增(减)函数的定义求解,已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)af(x)bg(x)2(a，b为常数)，且F(2)5，则F(2)_. 解析：因为f(x)、g(x)均为奇函数，所以F(x)af(x)bg(x)2af(x)bg(x)2af(x)bg(x)24F(x)4. 故F(2)F(2)45，F(2)1. 答案：1,已知f(x)是偶函数，且当x0时，f(x)x32x3，求f(x)在x0， f(x)(x)32(x)3x32x3. f(x)x32x3(x0),1函数的奇偶性与单调性的综合问题主要体现在两个重要的性
6、质上：(1)奇函数在关于原点对称区间上有相同的单调性，即已知f(x)是奇函数，它在区间a，b上是增函数(减函数)，则f(x)在区间b，a上也是增函数(减函数)；(2)偶函数在关于原点对称区间上有相反的单调性，即已知f(x)是偶函数且在区间a，b上为增函数(减函数)，则f(x)在区间b，a上为减函数(增函数),2利用函数的单调性与奇偶性可以求解一些抽象不等式、比较大小及单调性的证明等综合性较强的问题,常值函数 常值函数是初等函数中最简单的一种，就是值域只包含一个元素的函数；换句话说，就是因变量取固定值的函数 复变函数论中的刘维尔定理告诉人们：平面上的有界全纯函数只能是常值函数 常值函数是周期函数
7、，但没有最小正周期,1周期函数的定义：对于函数yf(x)，若存在常数T0，使得f(xT)f(x)，则函数yf(x)称为周期函数，T称为此函数的周期 性质(1)：若T是函数yf(x)的任意一个周期，则T的相反数(T)也是f(x)的周期 性质(2)：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n0)，nT也是f(x)的周期 性质(3)：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1T20，则T1T2也是f(x)的周期,2定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T. 性质(4)：若T为函数f(x)的最小正周期，则nT(nZ，n0)为函数f(x)的任意一个周期,
