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1、第五章 线性变换,第二节 n维线性空间中线性变换的矩阵,只讨论n维线性空间V上的线性变换T. 研究线性变换T和n阶矩阵之间的关系.,5.2.1 线性变换在一个基底下的矩阵,已知:,在线性空间V中取定一个基底之后，V中任意一个向量与它的象T都可用它们在该基底下的坐标表示出来，而且表示法是唯一的.,又T是线性变换，（保持线性组合不变）必有,对于n维线性空间V中的任意向量 ,它在基底1, 2, n下的坐标,唯一. 且,这说明当已知 时，每个向量的象由(1)确定，即线性变换被完全确定.,(1),定理1 设1, 2, n是线性空间V的一个基底，T是V上的线性变换. 则线性变换T被该基底的象T1, T2,
2、 Tn所确定.,注： 确定一个线性变换就是确定每个元的象。两个线性变换T1和T2相等的意义是它们使得每个向量的象都相同.,向量与象T在基底1, 2, n下坐标X=(x1, x2, xn)T与Y=(y1, y2, yn)T之间的关系,设Tj 在基底1, 2, n下坐标为 (a1j, a2j, anj)T,写成矩阵形式,把n个矩阵形式记在一起得,(2),上面矩阵A=(aij)的第 j 列就是j的象Tj在基底1, 2, n下的坐标.,矩阵A称为线性变换T在基底 1, 2, n矩阵.,因此A被线性变换T唯一确定.,写成矩阵形式,把前面的(1),(3),(2)代入(3)得到,又,，而T在同一基底下的坐,
3、标是唯一的，,因此我们有 Y=AX.,向量与象T在基底1, 2, , n下坐标X之间的关系,以后为应用方便，常记,于是前面的(2)式可记为,目前已经知道 给定n维线性空间V中一个线性变换T及一个基底 1, 2, n ，即可唯一确定一个矩阵A.,在V中一个固定基底下面，每个n阶矩阵A是否都是V中一个线性变换的矩阵呢？,?,分析,设V中给定的基底为1, 2, n，A为任意一个n阶矩阵.,先看能否找到一个线性变换，使其在该基底下的矩阵恰为A .,令T是V上的一个变换(不一定是,设为V中任意一个向量，坐标为,即 =1, 2, nX.,线性变换)，使T的坐标为AX, 即,(这样一个变换使得任一向量的象T
4、坐标为AX),下面证明该变换即为所求.,Y是的坐标列,的坐标为 aX+bY.,再由T的定义有,故T为线性变换 .,设又有V，且 =1, 2, nY，,向量，a, b为任意数，,于是,1先证明T是线性变换,2再证明线性变换T在基底1, 2, n下的矩阵恰为A.,只需证明A的第 j 列Aj 就是Tj在1, 2, n下的坐标即可.,由于,故其坐标恰为,由T的定义有,由定理1知道T是唯一的，因此我们找到了所求的线性变换T其在基底1, 2, n下的矩阵恰为任意的n阶矩阵A.,定理2 对于每个n阶矩阵A，在n维线性空间V中必存在唯一的线性变换T，使得T在V中给定的基底下的矩阵为A.,综合定理1和2有如下结
5、论,在n维线性空间V的一个给定基底下，若V的每个线性变换T与它在该基底下的矩阵A对应，则在V上的全体线性变换所构成的集合L(V)与全体n阶矩阵A构成的集合之间构成11对应. 性质： 1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.,例1 在n维线性空间V中，令 （其中k是定数，该变换称为位似变换或数乘变换，显然是线性变换），求T在V任意一个基底1, 2, n下的矩阵A .,解：,第 j 个分量,为零变换，在任意基底下矩阵为零矩阵 .,于是,为数量矩阵kE .,特别的，当
6、k1时，,(单位变换)，在任意基底下矩阵为单位矩阵.,当k0时，,为恒等变换,例2 在R3中，定义下面的线性变换，对任意的(x1, x2, x3)T R3,因此,求T在基底,下的矩阵A.,解：由T的定义知,故,设线性空间V中线性变换T在两组基底1, 2, n和1, 2, n下的矩阵为A和B，,在一个线性空间中，同一个数乘变换在不同基底下的矩阵是一样的，那么对于一般的线性变换是否有这样的结论呢？如果没有，同一个线性变换在不同基底下矩阵又有什么关系呢？,?,5.2.2 线性变换在不同基底下矩阵的关系,且由基底1, 2, n,到1, 2, n的过渡矩阵为M，即,显然M可逆，且,则,由线性变换在同一基
7、底下矩阵的唯一性可知,这就是线性变换在不同基底下的矩阵之间的关系,矩阵间B=M-1AM这种关系，可以用一个新的概念来描述,性质 (i) 反身性 A A； (ii) 对称性 A B，则B A； (iii) 传递性 A B，B C，则A C.,定义 设A，B为两个n阶矩阵. 若存在满秩矩阵M，使B=M-1AM成立，则称矩阵A与B相似. 记为 AB.,定理（补）： 线性变换在不同基底下所对应的矩阵是相似的. 反过来，若两个矩阵相似，则可以看作是同一个线性变换在两组基下的矩阵.,证明：前半部分易证. 现证明后半部分.,若两个n阶矩阵A和B相似，即B=M-1AM,由于L(V)与,Mnn 11对应，V中必
8、有一个线性变换T，它在某组基,底1, 2, n下的矩阵为A. 令,则1, 2, n也是V 的一个基底.,且T在此基底下的,矩阵为,利用线性变换在不同基底下的矩阵相似关系可以简化求线性变换在不同基底下的矩阵. 即利用B=M1AM ，当知道M，A(或B)时，可求B(或A).,例1 已知三维线性空间V的线性变换T在基底1, 2, 3下的矩阵为A, 求T在基底2, 3, 1下的矩阵B.,解：由条件知,即由1, 2, 3到2, 3, 1 的过渡矩阵为,故T在基底2, 3, 1下的矩阵,例2 证明矩阵 A 与 B 相似. 其中i1, i2, in是1,2,n的某个排列.,证：设A是线性变换T在基底1, 2
9、, n下的矩阵，则,即,令,则,故,所以A，B是同一线性变换在不同基底下的矩阵，因而它们相似.,小 结,n维线性空间中，在一定前提下，线性变换和n阶矩阵有一一对应关系，具有一些性质. 矩阵相似关系及性质(重点) 线性变换在不同基底下矩阵的关系及求取(重点).,思考题,已知R22的两个线性变换: 对任意的XR22, T(X)=XN, S(X)=MX,试求T+S在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.,注: (T+S)()=T()+S().,解：,=2E11+E122E21,(T+S)(E11)=T(E11)+S(E11)=E11N+ME11,同理可得,(T+S)(E12)=T(E12)+S(E12)=E12N+ME12,=E112E22,(T+S)(E21)=T(E21)+S(E21)=E21N+ME21,=E21+E22,(T+S)(E22)=T(E22)+S(E22)=E22N+ME22,=E21E22,即,所以T+S在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为:,
