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1、1,第三部分 代数结构,主要内容 代数系统-二元运算及其性质、代数系统和子代数 半群与群-半群、独异点、群 环与域-环、整环、域 格与布尔代数-格、布尔代数,2,第九章 代数系统,主要内容 二元运算及其性质 一元和二元运算定义及其实例 二元运算的性质 代数系统 代数系统定义及其实例 子代数 积代数 代数系统的同态与同构,3,9.1 二元运算及其性质,定义9.1 设S为集合，函数f：SSS 称为S上的二元运算，简 称为二元运算 S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一 S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭,例1 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但 减法
2、和除法不是,因为3-6=-3,52=2.5 (2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算， 而除法不是，因为52=2.5 (3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而 加法和减法不是，因为2.0+(-2.0)=0, 3.0-3.0=0,自然数集N, 整数集Z, 正整数集Z+, 有理数集Q, 非零有理数集Q*, 非零实数集R*, 复数集C,4,实例,(4) 设Mn(R)表示所有n 阶(n2)实矩阵的集合，即 则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算. (5) S为任意集合，则、 为P(S)上二元运算. (6) SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上二元运算.
3、,对称差 AB = (AB)(BA),5,一元运算的定义与实例,定义9.2 设S为集合，函数 f:SS 称为S上的一元运算，简 称一元运算. 例2 (1) 求相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上 的一元运算 (2) 求倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上一元运算 (3) 求共轭复数是复数集合C上的一元运算 (4) 在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运算是P(S)上的一元运算. (5) 设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS，求一个双射函数的反函数为A上的一元运算. (6) 在n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求转置矩阵是Mn(R)上的一元运算.,6,二元与
4、一元运算的表示,1算符 可以用, , , , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 xy = z 对一元运算, x的运算结果记作x.,2表示二元或一元运算的方法: 解析公式和运算表 公式表示 例 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算： x, yR, x y = x. 那么 34 = 3， 0.5(3) = 0.5,7,运算表：表示有穷集上的一元和二元运算,运算表,二元运算的运算表 一元运算的运算表,8,例3 设 S=P(a,b)，S上的和 运算的运算表如下,运算表的实例,全集=a，b,对称差 AB = (AB)(BA),9,二元运算的性质
5、,定义9.3 设为S上的二元运算, (1) 若对任意x,yS 有 xy=yx, 则称运算在S上满足交换律. (2) 若对任意x,y,zS有 (xy)z=x(yz), 则称运算在S上满足结 合律. (3) 若对任意xS 有 xx=x, 则称运算在S上满足幂等律.,定义9.4 设和为S上两个不同的二元运算, (1) 若对任意x,y,zS有 (xy)z=(xz)(yz)， z(xy)=(zx)(zy), 则称运算对运算满足分配律. (2) 若和都可交换,且对任意x,yS有 x(xy)=x，x(xy)=x, 则称和运算满足吸收律.,10,实例,Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶
6、实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2,11,实例,Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2,12,特异元素：单位元、零元,定义9.5 设为S上的二元运算, (1) 如果存在el (或er)S，使得对任意 xS 都有 elx = x (或 xer = x)， 则称el (或er)是S中关于运算的左(或右)单位元. 若eS关于运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上 关于运算的单位元. 单位元也叫做幺元. (2) 如果存在 l (或 r)S，使得对任意 xS 都有 l x =
7、 l (或 x r = r)， 则称 l (或 r)是S 中关于运算的左(或右)零元. 若 S 关于运算既是左零元又是右零元，则称为S上关 于运算的零元.,ex = x, x = ,yx=e,13,可逆元素和逆元,(3) 设为S上的二元运算, 令e为S中关于运算的单位元. 对于xS，如果存在yl (或yr)S使得 ylx=e（或xyr=e） 则称yl (或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于运算，若yS 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.,14,实例,15,惟一性定理,定理9.1 设为S上的二元运算，el和er分别为S中关
8、于运算的 左和右单位元，则el = er = e为S上关于运算的惟一的单位元. 证： el = eler (er为右单位元) eler = er (el为左单位元) 所以el = er , 将这个单位元记作e. 假设e也是 S 中的单位元，则有 e=ee = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意： 当 |S| 2，单位元与零元是不同的； 当 |S| = 1时，这个元素既是单位元也是零元.,16,定理9.2 设为S上可结合的二元运算, e为该运算的单位元, 对于xS 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr, 则有 yl = yr= y, 且 y 是 x 的惟一的逆元. 证
9、：由 ylx = e 和 xyr = e 得 yl = yle = yl(xyr) = (ylx)yr = eyr = yr 令yl = yr = y, 则 y 是 x 的逆元. 假若 yS 也是 x 的逆元, 则 y= ye = y(xy) = (yx)y = ey = y 所以 y 是 x 惟一的逆元. 说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆 元，记作 x1,惟一性定理,17,9.2 代数系统,定义9.6 非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2, fk组成 的系统称为代数系统, 简称代数，记做. 实例： (1) ,是代数系统，+和分别表示普通加法和乘法. (2) 是代
10、数系统，和分别表示 n 阶(n2)实矩阵的加法和乘法. (3) 是代数系统，Zn0,1,n-1，和分别表示模n的加法和乘法，对于x,yZn，xy=(xy)modn，xy=(xy)modn (4) 是代数系统，和为并和交，为绝对补,18,代数系统的成分与表示,构成代数系统的成分： 集合（也叫载体，规定了参与运算的元素） 运算（这里只讨论有限个二元和一元运算） 代数常数（通常是与运算相关的特异元素：如单位元等） 研究代数系统时，如果把运算具有它的特异元素也作为系统 的性质之一，那么这些特异元素可以作为系统的成分，叫做 代数常数. 例如：代数系统：集合Z, 运算+, 代数常数0 代数系统：集合P(S
11、), 运算和，无代数常数,19,代数系统的表示,(1) 列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在） 如, (2) 列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元 的性质（无代数常数） 如, (3) 用集合名称简单标记代数系统 在前面已经对代数系统作了说明的前提下使用 如代数系统Z, P(B),20,同类型与同种代数系统,定义9.7 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统. (2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相同，则称为同种的代数系统. 例如 V1=, V2=, 为 n 阶全0 矩阵，E为 n 阶单位
12、矩阵, V3= V1, V2, V3是同类型的代数系统，它们都含有2个二元运算, 2个代数常数. V1, V2是同种的代数系统，V1, V2与V3不是同种的代数系统,21,运算性质比较,22,子代数系统,定义9.8设V=是代数系统，B是S的非空子 集，如果B对f1, f2, , fk 都是封闭的，且B和S含有相同的代 数常数，则称是V的子代数系统，简称子代 数. 有时将子代数系统简记为B.,实例 N是的子代数，N也是的子代数 N0是的子代数，但不是的子代数 说明： 子代数和原代数是同种的代数系统 对于任何代数系统V=，其子代数一定存在.,自然数集N, 整数集Z, 正整数集Z+, 有理数集Q,
13、非零有理数集Q*, 非零实数集R*, 复数集C,23,关于子代数的术语,(1) 最大的子代数：就是V本身 (2) 最小的子代数：如果令V中所有代数常数构成的集合是 B，且B对V中所有的运算都是封闭的，则B就构成了V的 最小的子代数 (3) 最大和最小的子代数称为V 的平凡的子代数 (4) 若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数. 例 设V=,令 nZ=nz | zZ,n为自然数，则nZ是V的子 代数 当n=1和0时，nZ是V的平凡的子代数，其他的都是V的非 平凡的真子代数.,24,积代数,定义9.9 设V1=和V2=是同类型的代数系统，和 为二元运算，在集合AB上如下定义二元运算，
14、 ,AB，有 = 称V=为V1与V2的积代数，记作V1V2. 这时也称V1和V2为V的因子代数.,实例 Z2=0,1，V=， V1V2= Z2Z2=, , , = 注意：积代数的定义可以推广到具有多个运算的同类型的代 数系统,25,积代数的性质,定理9.3 设V1=和V2=是同类型的代数系统， V1V2=是它们的积代数. (1) 如果 和 运算是可交换（可结合、幂等）的，那么运算也是可交换（可结合、幂等）的 (2) 如果 e1 和 e2（1和2）分别为 和 运算的单位元（零元），那么（）也是运算的单位元（零元） (3) 如果 x 和 y 分别为和 运算的可逆元素，那么也是运算的可逆元素，其逆元
15、就是,=,26,9.3 代数系统的同态与同构,定义9.10 设V1=和V2=是同类型的代数系统， f:AB，且x, yA 有 f(xy) = f(x)f(y), 则称 f 是V1到V2的 同态映射，简称同态.,同态分类： (1) f 如果是单射，则称为单同态 (2) 如果是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像， 记作V1V2 (3) 如果是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2， 记作V1V2 (4) 如果V1=V2，则称作自同态,27,实例,(1) 设V1=, V2=其中Z为整数集，+为普通加法；Zn=0,1,n1，为模n加. 令 f : ZZn，f (x)=(x)mod n 那么 f 是V1到V2的满同态,(3) 设V=，其中Z为整数集，+为普通加法. aZ，令 fa : ZZ，fa(x)=ax， 那么 fa 是V的自同态. 当a=0时称 f0 为零同态；当a=1时，称 fa 为自同构；除此之外其他的 fa 都是单自同态.,(2) 设V1=, V2=，其中R和R*分别为实数集与非零实数集，+ 和 分别表示普通加法与乘法令
