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1、 1 数理方法数理方法 CH3 作业解答作业解答 P51 习题 3.2 1. 确定下列级数的收敛半径： （2） =12k k k z k （4） = + 0 )( k kk zak 解： （2） =12k k k z k 收敛半径为：2 1 2 lim| ) 2 1 /( 2 |lim|lim 1 1 = + = + = + + k kkk a a R k kk k k k k （4） = + 0 )( k kk zak 解：收敛半径为：| ) 1( |lim|lim 1 1 + + + + = k k k k k k ak ak a a R若1|a，则 1| ) 1( |lim 1 = +
2、+ + k k k ak ak 若1|a，则 | 1 | ) 1( ) 1( |lim| ) 1(1 1 |lim| ) 1( |lim 1 21 1 akak akk ak ka ak ak k k k k k k k k k = + = + + = + + + 罗比塔法则罗比塔法则 2. =1k k kz a的收敛半径为R)0( R，确定下列级数的收敛半径： （1） =0k k k n zak 解：解：|lim|) 1 ( |lim|) 1 ( |lim| ) ) 1( |lim 111+ + + + = + = + k k k n k k k n k k n k n k a a k k
3、a a k k ak ak 收敛半径为： 而 1|) 1 ( |lim= + n k k k R a a k k k = + |lim 1 所以，所求收敛半径为R P55 习题习题 3.3 2 1.将下列函数在0=z点展开成幂级数，并指出其收敛范围： （1） 2 )1 ( 1 z 解解：解法之一解法之一：利用多项式的乘法利用多项式的乘法： 已知已知 = = 0 1 1 k k z z 1|z， = 2 )1 ( 1 z )()( 00 = = k k k k zz .) 1(.4321 32 += k zkzzz = += 0 ) 1( k k zk 解法之二：逐项求导：解法之二：逐项求导：
4、) 1 1 ( )1 ( 1 2 zz = 则则= 2 )1 ( 1 z = = =1 1 0 )( k k k k kzz4321 132 += k kzzzz 由于 2 )1 ( 1 z 在复平面内有唯一的奇点1=z，它与展开中心的距离为 1，故该级 数的收敛范围为1|z （2） baz + 1 解：解： = + = = + = + 0 1 0 ) 1()() 1( 1 )1 ( 11 k k k k k k kk z b a z b a b z b a b baz 收敛范围：1|z b a 即| a b z （5） 2 1 1 zz + 解： 3332 11 1 1 1 1 1 z z
5、zz z zz = = + 令 3 zt =，则 = = 0 1 1 k k t t ， 故 3 = = 0 3 3 1 1 k k z z = 3 1z z = + 0 13 k k z 所以，= + 2 1 1 zz =0 3 k k z = + 0 13 k k z 收敛范围为1|z 2. 将下列函数按) 1( z的幂展开，并指明其收敛范围： （1）zcos 解：解：1sin) 1sin(1cos) 1cos( 1) 1cos(cos=+=zzzz = + = + = 0 12 0 2 )!12( ) 1() 1( 1sin )!2( ) 1() 1( 1cos k kk k kk k
6、z k z 收敛范围： |1| z 3.应用泰勒级数求下列积分： （3） = z dz z z Siz 0 sin 解：解：利用正弦函数的泰勒展开式： = + + = 0 12 )!12( ) 1( sin k kk k z z ，得到 z zsin = + = 0 2 )!12( ) 1( k kk k z 则 = + = = + = + = + = 0 12 0 0 2 0 0 2 0 ) 12()!12( ) 1( )!12( ) 1( )!12( ) 1(sin k kk k z kk z k kk z kk z dz k z dz k z dz z z 4.函数 )1 (z+在不等于
7、整数时是多值函数，试证明普遍的二项式定理： . ! 3 )2)(1( ! 2 ) 1( ! 1 1 1)1 ( 32 + + +=+zzzz 式中，为任意复数； ki e 2 1 = 解： )1ln(22)1ln()1( )1 ( zkikizzLn eeeez + =+ 下面将 )1ln(z e + 在1z中作泰勒展开： 记 = + = 0 )1ln( )( k k k z zaezf ， 其中， ! )0( )( k f a k k = )( 11 )( )1ln( zf z e z zf z + = + = + =)0( f 同时由式有： )()( )1 (zfzfz=+ 将式两边再对
8、z 求导： )( )( )( )1 (zfzfzfz=+ 得到 )( ) 1()( )1 (zfzfz=+ 4 得) 1()0( =f 将式两边再对 z 求导得： )( ) 1()( )()1 ( )3( zfzfzfz=+ 得到)( )2()()1 ( )3( zfzfz=+ 得 )2)(1()0( )3( =f 以此类推，得 ) 1).(2)(1()0( )( +=kf k 则 ! )0( )( k f a k k =) 1).(2)(1( ! 1 +=k k 所以 = = + = 00 )1ln( k k k k k k z zazae k k zk k ) 1).(2)(1( ! 1
9、0 += = 则 k k ki zk k ez) 1).(2)(1( ! 1 )1 ( 0 2 +=+ = . ! 3 )2)(1( ! 2 ) 1( ! 1 1 1 32 + + +=zzz 1z 5.将)1 (zLn+在0=z的邻域内展开为泰勒级数。 解：kizzLn2)1ln()1 (+=+ 将)1ln(z+展开时，既可用泰勒定理直接展开，也可用逐项积分法。下面用逐项积分法： 1 ) 1() 1() 1( 1 1 )1ln( 1 00 00 0 0 + = + =+ + = = = k z dzzdzzdz z z k k k k z kk z k kk z 则 kizzLn2)1ln(
10、)1 (+=+ 1 ) 1(2 1 0 + += + = k z ik k k k P61 习题习题 3.4 3.将函数 )( 1 bzaz ),0(ba 在0=z，az =的邻域内以及在圆环 bza内展开为洛朗级数。 解：) 11 ( 1 )( 1 )( bzazbabzaz zf = = 在0=z的邻域，即az 5 = = = 0 )( 1 ) 1 1 ( 11 k k a z a a z aaz = = = 0 )( 1 ) 1 1 ( 11 k k b z b b z bbz 所以 k k kk k k k k z baabb z ba z aba zf = + = = =+ = 0
11、11 00 ) 11 ( 1 )( 1 )( 1 ( 1 )( 在az =的邻域，即abaz0， = + = = = = = 0 1 0 )( )( )( 1 1 11 )()( 11 k k k k k ab az ab az ab ab az ababazbz 所以 =)(zf az 1 = + 0 1 )( )( k k k ab az = + = 0 1 1 )( )( k k k ab az 在圆环bza， = + = = = 0 1 0 )( 1 1 111 k k k k k z a z a z z a zaz = + = = = 0 1 0 )( 1 ) 1 1 ( 11 k
12、k k k k b z b z b b z bbz 所以 =)(zf ba 1 + = + 0 1 ( k k k z a 1+k k b z ） 5.将函数 )1 ( 1 )( zz zf =在下列区域中展开为级数： （1）10z （6）211+ z 解： （1）10z = = + = + = = 0 22 ) 1( ) 1( ) 1( 1 1 1 1 1 ) 1( 1 11 1 1 1 )1 ( 1 )( k k k zz z zzzzz zf = + + = 0 2 1 ) 1( ) 1( k k k z （6）211+ z zzzz zf 1 1 1 )1 ( 1 )(+ = = 其中
13、， = + = + = + = + + = + = 0 1 0 ) 1( 1 ) 1( 1 1 1 ) 1 1 1 1 ( 1 1 1) 1( 11 k k k k zzz z zzz = + = + = + = + = + = 0 1 0 2 ) 1( 2 ) 1( 2 1 2 1 1 1 2 1 ) 1(2 1 1 1 k k k k k k zz z zz =)(zf 2 ) 1( ) 1( 1 1 0 1+ = + + + + k k k k z z P66 习题习题 3.5 4.求出下列函数的奇点（包括=z） ，确定它们是哪一类的奇点（对于极点，要 指出它们的阶） 。 （2） 2 5
14、 )1 (z z （4） z z e e + 1 1 （6） 2 z （7） 1+z z （8） 2 1z ez + 解：解： （2） 2 5 )1 (z z 1=z为二阶极点。 判据之一：)(zf在1=z的去心邻域内能表示成 2 ) 1( )( )( = z z zf =z为三阶极点。 判据： 令 z t 1 =， 则 3 2 23 2 5 ) 1( 1 ) 1( 1 ) 1 1 ( 1 )( t t tt t t tf = = =， 可见， 0=t是函数的三阶极点，即=z是函数的三阶极点。 7 （4） z z e e + 1 1 解： 令分母01=+ z e得到奇点：ikz) 12(+=，它是一阶极点。判据： z z e e
