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1、第二章 2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos( 68 5 n) （2）x(n)=) 8 ( n e j （3）x(n)=Asin( 34 3 n) 解 (1)对照正弦型序列的一般公式 x(n)=Acos(n)，得出 8 5 。因此 5 162 是有理数，所以 是周期序列。最小周期等于 N=)5(16 5 16 取kk 。 （2）对照复指数序列的一般公式 x(n)=expjn,得出 8 1 。因此 16 2 是无理数，所以不 是周期序列。 （3） 对照正弦型序列的一般公式x(n)=
2、Acos(n)， 又x(n)=Asin( 34 3 n)Acos( 2 34 3 n) Acos( 6 1 4 3 n )，得出 4 3 。因此 3 82 是有理数，所以是周期序列。最小周期等于 N=)3(8 3 8 取kk 2.2 在图 2.2 中，x(n)和 h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的 x(n)和 h(n)的 线性卷积以得到系统的输出 y(n)，并画出 y(n)的图形。 2.2 在图 2.2 中，x(n)和 h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的 x(n)和 h(n)的 线性卷积以得到系统的输出 y(n)，并画出 y(n)的图形。 (
3、a) 1 1 1 1 (b) (c) 1 1 11 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1-1 -1-1 -1 -1 2 2 22 22 3 3 3 3 3 4 4 4 n n n n nn x(n) x(n) x(n) h(n) h(n) h(n) 2 1 u(n) u(n) u(n)an = = = 2 2 解 解 利用线性卷积公式 y(n)= k knhkx)()( 按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算 y(n)的每一个取样值。 (a) y(0)=x(O)h(0)=1 y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3 y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2
4、)h(n-2)=4,n2 (b) x(n)=2(n)-(n-1) h(n)=-(n)+2(n-1)+ (n-2) y(n)=-2(n)+5(n-1)= (n-3) (c) y(n)= k kn knuku a )()(= k kn a = a a n 1 1 1 u(n) 2.3 计算线性线性卷积 2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)= n u(n)*u(n) 解：(1) y(n)= k knuku)()( = 0 )()( k knuku=(n+1),n0 即 y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)= k k knuku)()( = 0 )
5、()( k k knuku = 1 1 1n ,n0 即 y(n)= 1 1 1n u(n) 2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h1(n)和h(n)和h2(n)的两个线性非移变系统的级联， 已知x(n)=u(n), h (n)的两个线性非移变系统的级联， 已知x(n)=u(n), h1(n)=(n)=(n)-(n)-(n-4), h(n-4), h2(n)=a(n)=a n u(n),|a| 1 2 （3）X(Z)= （3）X(Z)= 1 1 1 az za ,|Z|a,|Z|a 1 | 解 | 解（1）采用幂级数法。由收敛域课确定 x1
6、（n）是左边序列。又因为 1 lim( ) x Xz 1 为有限值，所以 x1（n） 是逆因果序列。用长除法将 X1（z）展开成正幂级数，即 1 1 2345 1 1 11 1 ( ) 1 1 2 2481621. ( 1)2. ( 1)2( 2) nnn nnnnn nn Xz z zzzzz z zz 最后得到 x1（n）-2（-2） n ，n-1，-2，-3 或 x1（n） 1 ()(1) 2 nu n （2）采用部分分式展开法。将 X2(z)展开陈部分分式 11 2 1211 12 11 11 11 22 ( ) 3111 1(1)(1) 4824 11 11 24 zz XZ zzz
7、z AA zz 其中 1 1 1 2 1 2 1 4 1 1 2 4 1 11 4 1 1 2 3 1 11 2 Z Z Z A Z Z A Z 由收敛域可确定 X 2(n)式右边序列。又因2 lim( ) x Xz 1，所以 X 2(n)还是因果序列。用长除法分别将 11 43 11 11 24 zz 展开成负幂级数，即 1 4 1 1 2 z 4 123 1111 1.( ). 2482 nn zzzz = 0 1 () 2 nn n az 1 3 1 1 4 z =-3 123 1111 1.( ). 48164 nn zzzz = 0 1 3() 4 n n n z 由上两式得到 2
8、11 ( )4()3() ( ) 24 nn x nu n （3）采用留数定理法。围线积分的被积函数为 1111 1 3 11 (1)(1) ( ) nn n azza z z x n z zaza 当 n0 时，由给定的收敛域可知，被积函数在围线之内仅有一个极点 1 z a ，因此 111 1 33 21 1 ( )Re ( ),(1) (1),0 nn z a n x ns x z za z z a aan 当 n=0 时，被积函数在围线之内有两个极点 1 z a 和 z0，因此 11 333 1 11 1 1 0 21 1 Re ( ),Re ( ),0 1 (1) (1),0 nn z
9、 a z xs Xz zs Xz z a a z a z z za aaaan 当 n T e (4)X(z)= (4)X(z)= (2) ()() zzab za zb ,|a|1，而 2( ) W z的收敛域为|z|a。这意味着 1( ) W z和 2( ) W z都对应于因果 序列，因此可用长除法分别将 1( ) W z和 2( ) W z展开成 z 的负幂级数，即 12 1 11 ( )(1) 11 n n W zzzz aa 122 2 0 ( )(1) 11 nnnn n aa W zaza za za z aa 由上二式得到 1 1 ( )( ) 1 nu n a ， 2( )
10、( ) 1 n a na u n a 最后得到 1 12 1 ( )( )( )( ) 1 n a nnnu n a 2.29(1)因为系统是因果的，所以收敛域为| |az ；为使系统稳定，必须要求收敛域包含单位圆，即要 求| 1a。极点为za，零点为 1 za，收敛域| |az 。极零点图和收敛域示于图 1.7。 (2) 1 1 () 1 j j j a e H e ae 111121 2* 2 2122 2 22 11111() |()|()()()() 11111() 12cos(1 2 cos) 1cos1cos jjjjjj j jjjjjj a ea ea ea eaaee H e
11、 aeaeaeaeaa ee aaaaa a aaaa 因 此 得到 1 |()| j H ea ，即系统的幅度特性为一常数，所以该系统是一个全通系统。 2.30(1)根据极零点图得到 x(n)的 Z 变换 1 ( ) 1 ()(2)(3) 3 z X z zzz 因傅里叶变换收敛，所以单位圆在收敛域内，因而收敛域为 1 | 2 3 z。故 x(n)是双边序列。 (2)因为 x(n)是双边序列，所以它的 Z 变换的收敛域是一个圆环。根据极点分布情况，收敛域有两种可 能： 1 | 2 3 z或2 | 3z。 采用留数定理法求对应的序列。被积函数为 11 1 ( ) 1 ()(2)(3) 3 nn
12、 z X z zz zzz 对于收敛域 1 | 2 3 z，被积函数有 1 个极点 1 3 z在积分围线内，故得 1 1 1 3 1(1)1 ( )Re ( ), |0.9( ) ,0 3(2)(3)3 n n z zz x ns X z zn zz 被积函数有 2 个极点 1 2z和 2 3z在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高 32n(因 n0),所以式（2）成为 2 (0),0 ( ) () 0,0 hm E x n u nm m （3） 由题给差分方程可求出系统函数 1 1 ( ) 1 p k k k H z a z 根据初值定理，有 1 1 (0)lim( )lim1
13、1 p zz k k k hH z a z （4） 将式（4）代入式（3） ，得 2, 0 ( ) () 0,0 m E x n u nm m （5） 将式（5）代入式（1） ，最后得 2 1 ,0 ( )() 0,0 p xxkxx k m Rma Rmk m 这就是 x(n)的自相关序列( ) xx Rm应满足的方程式。 5.18 将题 5.16 和题 5.17 推广到一般情况。设连续时间随机信号 xa(t)的功率谱为 S )(a xx (t)，对 xa(t) 以等时 间间隔 T0取样后得到离散时间随机序列 x(n)。为使 x(n)是白色随机序列，讨论 S )(a xx (t)和 T0应满足什 么条件？ 5.19 设均值为零、方差为 2 的白噪声序列 u(n)作用于一个传输函数为 HMA(z)= q k k kz b 0 的线性移不变系 统，得到输出信号 x(n)。 (1) 写出系统的差分方程。 解：求系统的差分方程 根据系统函数 HMA(z)= q k k kz b 0 可看出单位取样响应 h(n)是有限长序列 , 10qn bbbb 因此 x(n) )()(knukh q k k knub 0 )( （1） (2) 用系统的冲激响应 h(n)表示 x(n)的自相关序列 R xx(m)。 解：用 h(n)表示 x(n)的
