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1、对数函数的图象和性质,(0,+),R,(1,0),返回目录,1.对数函数的概念 函数 叫做对数函数. 2.对数函数的图象和性质. 图在上一页,y=logax(a0,且a1),3.对数函数y=logax(a0,且a1)与指数函数y=ax(a0,且a1)互为 .它们的图象关于 对称.,反函数,y=x,对数值的大小比较,返回目录,变式训练1： 比较大小,（1） ， ； （2） , ; （3） , .,【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.,解对数不等式,返回目录,类型三：求对数函数的定义域,求下列函数的定义域： （1） （2）,【分析】注意考虑问题要全面，切忌丢三落四.,【解析】（2）由log
2、0.5(4x-3)0 4x-30得04x-31, x1. 函数的定义域是 .,返回目录,(2)由 16-4x0 x0 得 x-1 x+11 x0. -1x0或0x2. 函数的定义域是(-1,0)(0,2).,【评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式（组）并解之，对于含有对数式的函数定义域的求解，必须同时考虑底数和真数的取值条件，在本例（2）（4）中还用到指数、对数的单调性.,求下列函数的定义域： （1） y= ; （2） .,返回目录,(1)要使函数有意义，必须且只需 x0 x0 log0.8x-10 即 x0.8 2x-10, x , 0x 且x . 因此，函数的定义域是 .
3、,返回目录,（2）要使函数有意义，必须且满足 2x+30 x x-10 解得 x1 3x-10 x 3x-1 1 x 因此，函数的定义域为 (1,+) .,返回目录,类型四：求对数函数的值域,求下列函数的值域： （1） （2）,【分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解.,返回目录,【解析】（1）-x2-4x+12=-(x2+4x)+12 =-(x+2)2+1616, 又-x2-4x+120, 00,且y=log x在(0,+)上是减函数, yR, 函数的值域为实数集R.,返回目录,类型五：求对数函数的最值,已知f(x)=2+log3x,x1,9,求y=f(x)2+f(x2
4、)的最大值及当y取最大值时x的值.,【分析】要求函数y=f(x)2+f(x2)的最大值，首先要求函数的解析式，然后求出函数的定义域，最后用换元法求出函数的值域.,【解析】f(x)=2+log3x, y=f(x)2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2) =log32x+6log3x+6 =(log3x+3)2-3. 函数f(x)的定义域为1,9, 要使函数y=f(x)2+f(x2)有定义，必须,1x29 1x9. 1x3,0log3x1. 令u=log3x，则0u1. 又函数y=(u+3)2-3在-3,+)上是增函数, 当u=1时，函数y=(u+3)2-3有最大值13. 即当l
5、og3x=1,即x=3时，函数y=f(x)2+f(x2)有最大值为13.,【评析】求函数的值域和最值，必须考虑函数的定义域，同时应注意求值域或最值的常用方法.,返回目录,返回目录,已知x满足不等式-3 ,求函数f(x)= 的最大值和最小值.,-3 ，即 x8, log2x3, f(x)=(log2x-2)(log2x-1)=（log2x- ）2 - , 当log2x= ,即x=2 时，f(x)有最小值- . 又当log2x=3,即x=8时，f(x)有最大值2, f(x)min=- ,f(x)max=2.,类型六：求对数函数的单调区间,求下列函数的单调区间： （1）f(x)= ； （2）f(x)
6、=log0.1(2x2-5x-3).,【分析】复合函数的单调性，宜分解为两个基本函数后解决.,返回目录,【解析】（1）令t=-2x2+x+6=-2 + . 由-2x2+x+60知- x2, 当x 时，随x的增大t的值增大，从而log t的值减小； 当x 时，随x的增大t的值减小，从而log t的值增大. 函数y=log (-2x2+x+6)的单调增区间是 ，单调减区间是 .,（2）先求此函数的定义域，由=2x2-5x-30得(2x+1)(x-3)0，得x3. 易知y=log0.1是减函数，=2x2-5x-3在 上为减函数，即x越大，越小，y=log0.1u越大；在(3,+)上函数为增函数，即x
7、越大，越大，y=log0.1越小. 原函数的单调增区间为 ，单调减区间为(3,+).,返回目录,【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注意复合函数的定义域.,返回目录,已知f(x)=loga(ax-1)(a0,且a1). （1）求f(x)的定义域； （2）讨论函数f(x)的单调性.,（1）由ax-10得ax1，当a1时，x0;当01时，f(x)的定义域为(0,+); 当01时，设0x1x2，则1 , 故0 -1 -1, 即loga( -1)loga( -1). f(x1)f(x2)，,故当a1时，f(x)在(0,+)上是增函数. 同理，当
8、0a1时，f(x)在(-,0)上为增函数.,类型七：求对数函数的变量范围,返回目录,已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). （1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.,【分析】若f(x)的定义域为R，则对一切xR,f(x)有意义；若f(x)值域为R，则f(x)能取到一切实数值.,【解析】（1）要使f(x)的定义域为R，只要使(x)=ax2+2x+1的值恒为正值， a0 =4-4a0，,返回目录,（2）若f(x)的值域为R，则要求(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+). 当a0时，(x)=ax2+2x+1要包含(0,+)，需
9、a0 =4-4a0 综上所述，0 a1.,【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位. （1）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定； （2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定.,返回目录,函数y=logax在x2,+)上总有|y|1，求a的取值范围.,依题意得|logax|1对一切x2,+)都成立， 当a1时，因为x2,所以|y|=logax1，即logaxlog22.所以11,所以logax-1，即logaxlog 2对x2恒成立.所以 a1. 综上，可知a的取值范围为a（ ,1）(1,2).,类型八：对数函数性质的综合应用,变式训练：对数的综合应用,已知函数f(x)= . （1）
10、判断f(x)的奇偶性； （2）证明：f(x)在(1,+)上是增函数.,【分析】由函数的奇偶性、单调性的证明方法作出证明.,返回目录,【评析】无论什么函数，证明单调性、奇偶性，定义是最基本、最常用的方法.,返回目录,u(x1)-u(x2)= x2x11, x2-x10,x1-10,x2-10, u(x1)-u(x2)0,即u(x1)u(x2)0, y=log u在(0,+)上是减函数, log u(x1)log u(x2), 即log log , f(x1)f(x2), f(x)在(1,+)上是增函数.,类型九：反函数,返回目录,已知a0,且a1，函数 与y=loga(-x)的图象只能是（ ）,
11、【分析】分a1,0a1两种情况，分别作出两函数的图象，根据图象判定关系.,B,【解析】解法一：首先，曲线y=ax只可能在上半平面，y=loga(-x)只可能在左半平面，从而排除A，C. 其次，从单调性着手，y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反，又可排除D，故只能选B. 解法二：若01，则曲线y=ax上升且过点(0,1)，而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0)，只有B满足条件. 解法三：如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax的图象，因为y=logax与y=ax互为反函数（图象关于直线y=x对称），则可直接选B.,【评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响.要养成从多角度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活性.原函数y=f(x)与其反函数的图象关于y=x对称是其重要性质.,返回目录,若函数f(x)=ax(a0，且a1)的反函数的图象过点 (2,-1),则a= .,解析：反函数的图象过点(2,-1)，则f(x)=ax的图象过 (-1,2),得a-1=2,a= .,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
