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1、第四章 弯曲,一、本章的重点、难点： 1.剪力和弯矩的求法； 2.纯弯曲时梁横截面上正应力的计算方法； 3.利用正应力强度条件解决实际问题。 二、本章授课内容： 4.1 弯曲的概念和实例 4.2 剪力和弯矩 4.3 剪力图和弯矩图 4.4 纯弯曲时梁横截面上正应力 4.5 惯性矩的计算 4.6 弯曲正应力的强度条件 4.7 弯曲变形 4.8 提高梁弯曲强度和刚度的措施,4.1 弯曲的概念和实例,起重机大梁,车削工件,4.1 弯曲的概念和实例,火车轮轴,4.1 弯曲的概念和实例,弯曲特点:,作用在杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使原直线的轴线变形成为曲线。以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。,4.1
2、弯曲的概念和实例,平面弯曲：,平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该 平面曲线仍与外力共面。,对称弯曲,4.1 弯曲的概念和实例,常见弯曲构件截面：,4.1 弯曲的概念和实例,梁的载荷与支座：,集中载荷,分布载荷,集中力偶,固定铰支座,活动铰支座,固定端,4.1 弯曲的概念和实例,4.1 弯曲的概念和实例,火车轮轴简化：,4.1 弯曲的概念和实例,4.1 弯曲的概念和实例,吊车大梁简化：,均匀分布载荷 简称均布载荷,4.1 弯曲的概念和实例,非均匀分布载荷：,4.1 弯曲的概念和实例,简支梁,外伸梁,悬臂梁,FAx,FAy,FBy,FAx,FAy,FBy,FAx,FAy,MA,静定梁的
3、基本形式：,4.1 弯曲的概念和实例,FS剪力，平行于横截面的内力合力,M 弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩,4.2 剪力和弯矩,截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。,+,_,截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。,左上右下为正；反之为负,左顺右逆为正；反之为负,4.2 剪力和弯矩,解：,1. 确定支反力,2. 用截面法研究内力:,例题4-1,4.2 剪力和弯矩,分析右段得到：,4.2 剪力和弯矩,截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。,4.2 剪力和弯矩,截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。,4.2 剪力和弯矩,悬臂梁受均布载荷作
4、用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：任选一截面x ，写出剪力和弯矩方程:,依方程画出剪力图和弯矩图,由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为:,例题4-2,4.3 剪力图和弯矩图,图示简支梁C点受集中力作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyFb/l FByFa/l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,例题4-3,4.3 剪力图和弯矩图,图示简支梁C点受集中力偶作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyM / l FBy -M / l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB
5、,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,例题4-4,4.3 剪力图和弯矩图,简支梁受均布载荷作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAy FBy ql/2,2写出剪力和弯矩方程,3.依方程画出剪力图和弯矩图。,例题4-5,4.3 剪力图和弯矩图,剪力图和弯矩图有以下五点规律：,4.3 剪力图和弯矩图,1.若梁上某段无均布载荷，则剪力图为水平线，M为斜直线； 2.若梁上某段有均布载荷，则剪力图为斜直线，M为二次抛物线； 3.若梁上有集中力，则在集中力作用处，剪力图有突变，其值为该处集中力的大小，M图在此有折角； 4.若梁上有集中力偶，则在集中力偶作用处，剪力图无变化
6、，而弯矩图有突变，突变值及为该处集中力偶的力偶矩； 5.某截面剪力0的地方，则弯矩为极值。,例题4-6 简支梁受力的大 小和方向如图示。,试画出其剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,求得A、B 二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN,根据力矩平衡方程,2确定控制面,在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力 内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。,4.3 剪力图和弯矩图,3建立坐标系 建立FSx 和Mx 坐标系。,5根据微分关系连图线。,4应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS-x和M-x 坐标系中。,0.89 kN=,1.11 kN,4.3
7、 剪力图和弯矩图,解法2：1确定约束力,FAy0.89 kN FFy1.11 kN,2确定控制面为A、C、D、B两侧截面。,3从A截面左测开始画剪力图。,4.3 剪力图和弯矩图,4从A截面左测开始画弯矩图。,从A左到A右,从C左到C右,从D左到D右,从A右到C左,从C右到D左,从D右到B左,从B左到B右,4.3 剪力图和弯矩图,例题4-7 试画出梁 的剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,根据梁的整体平衡，由,求得A、B 二处的约束力,2确定控制面,由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截 面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa 左侧的截面，也都是控制面。,4.3 剪力图和弯矩
8、图,3建立坐标系 建立FSx和Mx坐标系。,4确定控制面上的剪力值，并将其标在FSx中。,5确定控制面上的弯矩值，并将其标在Mx中。,4.3 剪力图和弯矩图,解法2：1确定约束力,2确定控制面，即A、B、D两侧截面。,3从A截面左测开始画 剪力图。,4.3 剪力图和弯矩图,4求出剪力为零的点 到A的距离。,B点的弯矩为 -1/27qa/47a/4 +81qa2/32=qa2,AB段为上凸抛物线。且有 极大值。该点的弯矩为 1/29qa/49a/4 =81qa2/32,5从A截面左测开始画弯 矩图,4.3 剪力图和弯矩图,例题4-8 试画出图示有中间 铰梁的剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,从
9、铰处将梁截开,4.3 剪力图和弯矩图,1、回顾与比较：,内力,应力,4.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力,2、纯弯曲：,梁段CD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲,梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲,4.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力,4.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力,一、平面假设和变形几何关系,平面假设： 横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。,凹入一侧纤维缩短,突出一侧纤维伸长,中间一层纤维长度不变中性层,中间层与横截面的交线中性轴,设想梁是由无数 层纵向纤维组成,4.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力,胡克定理：,建立坐标,二、物理关系和
10、应力分析,(a),(b),4.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力,三、静力学关系,(c),FN、My、Mz,4.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力,正应力公式：,变形几何关系：,物理关系：,静力学关系：,为梁弯曲变形后的曲率,为曲率半径，,4.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力,正应力分布,与中性轴距离相等的点， 正应力相等；,正应力大小与其到中性轴距离成正比；,中性轴上,正应力等于零。,4.4 纯弯曲时梁横截面上的正应力,一、常见截面的 IZ 和 WZ,圆截面,矩形截面,空心圆截面,空心矩形截面,4.5 惯性矩的计算,二、组合截面的惯性矩 平行移轴公式,1.组合截面的惯性矩：,2.平行移轴公式：,4.5
11、 惯性矩的计算,弯曲正应力强度条件：,1.等截面梁弯矩最大的截面上,2.离中性轴最远处,4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑,3.变截面梁要综合考虑 与,4.6 弯曲正应力的强度条件,1.C 截面上K点正应力,2.C 截面上最大正应力,3.全梁上最大正应力,4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径,1. 求支反力,（压应力）,解：,例题4-9：,4.6 弯曲正应力的强度条件,2.C 截面最大正应力,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,4.6 弯曲正应力的强度条件,3. 全梁最大正应力,最大弯矩,截面惯性矩,4.6 弯曲正应力的强度条件,4. C 截面曲率半径,C 截面弯矩,C 截面惯
12、性矩,4.6 弯曲正应力的强度条件,（1）分析,（2）弯矩 最大的截面,（3）抗弯截面系数 最 小的截面,例题4-10,4.6 弯曲正应力的强度条件,（3）B截面，C截面需校核,（4）强度校核,B截面：,C截面：,（5）结论 轴满足强度要求,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,解：,4.6 弯曲正应力的强度条件,分析：,（1）确定危险截面,（3）计算,（4）计算 ，选择工 字钢型号,（2）,例题4-11,4.6 弯曲正应力的强度条件,（4）选择工字钢型号,（5）讨论,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,解：,36c工字钢,4.6 弯曲正应力的强度条件,作弯矩图，寻找需要校核的截面,要同时满足,分析：,
13、非对称截面，要寻找中性轴位置,T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。,试校核梁的强度。,例题4-12,4.6 弯曲正应力的强度条件,（2）求截面对中性轴z的惯性矩,（1）求截面形心,解：,4.6 弯曲正应力的强度条件,（4）B截面校核,（3）作弯矩图,4.6 弯曲正应力的强度条件,（5）C截面要不要校核？,（4）B截面校核,（3）作弯矩图,梁满足强度要求,4.6 弯曲正应力的强度条件,4.7 弯曲变形,工程中的弯曲变形问题,工程中的弯曲变形问题,4.7 弯曲变形,工程中的弯曲变形问题,4.7 弯曲变形,一、挠曲线 挠度和转角,挠曲线方程：,由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,挠度转角关系为：
14、,挠度y：截面形心在y方向的位移,向上为正,转角：截面绕中性轴转过的角度。,逆时针为正,4.7 弯曲变形,二、挠曲线的近似微分方程,推导弯曲正应力时，得到：,忽略剪力对变形的影响,4.7 弯曲变形,由数学知识可知：,略去高阶小量，得：,所以：,4.7 弯曲变形,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,4.7 弯曲变形,挠曲线的近似微分方程为：,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,4.7 弯曲变形,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,
15、弹簧变形,4.7 弯曲变形,例4-13 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解：,1）由梁的整体平衡分析可得：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,4.7 弯曲变形,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度方程,6）确定最大转角和最大挠度,4.7 弯曲变形,例4-14 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC 段：,CB 段：,4.7 弯曲变形,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段：,CB 段：,4.7 弯曲变形,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得：,位移边界条件,光滑连续条件,4.7 弯曲变形,5）确定转角方程和挠度方程,AC 段：,CB 段：,4.7 弯曲变形,6）确定最大转角和最大挠度,令 得，,令 得，,4.7 弯曲变形,设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：,若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为 ，挠度为 ，则有：,由弯矩的叠加原理知：,所以，,三、用叠加法求梁的变形,4.7 弯曲变形,故,由于梁的边界条件不变，因此,重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数
