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1、固体物理学习题解答固体物理学习题解答 ( 仅供参考 ) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章） ，李琴（第二章） ，王雯（第三章） ， 陈志心（第四章） ，朱燕（第五章） ，肖骁（第六章） ， 秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院 2003 级 2006 年 6 月 1 第一章第一章 晶体结构晶体结构 1. . 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子， 各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为 a。 解：解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个 Na +和一个 Cl组成 的正负离子对。 金刚石的基元是一个面心立方上的原子和一个
2、体对角线上的 原子组成的原子对。 由于 NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a a a ajk aki aij 相应的晶胞基矢都为： , , . a a a ai bj ck 2. . 六 角 密 集 结 构 可 取 四 个 原 胞 基 矢 123 ,a a a与 4 a,如图所示。试写出 13 O A A、 1331 A A B B、 2255 A B B A、 123456 A A A A A A这四个晶 面所属晶面族的晶面指数h k l m。 解：解： (1)对于 13 OA A面，其在四个原胞基矢上的截 矩分别为
3、：， 1 2 ，。所以，其晶面 指数为 1121。 (2)对于 1331 A A B B面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：， 1 2 ，。 所以，其晶面指数为 1120。 (3)对于 2255 A B B A面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：，1，。 2 所以，其晶面指数为 1100。 (4)对于 123456 A A A A A A面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：，。所以， 其晶面指数为0001。 3. . 如将等体积的硬球堆成下列结构， 求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 ；体心立方： 3 8 ；面心立方： 2 6 ；六角密集： 2 6 ；金刚石： 3 16
4、 。 证明：证明： 由于晶格常数为 a，所以： (1)构成简立方时，最大球半径为 2 m a R ，每个原胞中占有一个原子， 3 3 4 326 m a Va 3 6 m V a (2)构成体心立方时，体对角线等于倍的最大球半径，即：43 m Ra，每个 晶胞中占有两个原子， 3 3 433 22 348 m Vaa 3 23 8 m V a (3)构成面心立方时，面对角线等于倍的最大球半径，即：42 m Ra，每个 晶胞占有个原子， 3 3 422 44 346 m Vaa 3 42 6 m V a (4)构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一 个正四面体，其高则正
5、好是其原胞基矢c的长度的一半，由几何知识易知 4 6 3 m Rc。原胞底面边长为2 m R。每个晶胞占有两个原子， 3 33 48 22 33 mmm VRR， 原胞的体积为： 2 3 4 6 2sin608 2 3 mmm VRRR 22 63 2 m V V (5) 构成金刚石结构时， 1 4 的体对角线长度等于两个最大球半径， 即： 3 2 4 m Ra， 每个晶胞包含 8 个原子， 3 3 433 88 3816 m Vaa 3 83 16 m V a 4. . 金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同， 试用矢量分 析的方法证明这一夹角为109 28。 证明：证明：
6、如图所示，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设晶格常 数为。 选择体对角线AB和CD， 用坐标表示为1,1, 1 和 1,1,1。 所以,其夹角的余弦为： 1 cos 3 AB CD AB CD 1 arccos()109 28 3 5. . 试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度，设晶格常数为 a。 解：解： 如图所示，面 ABCD 即(110)面，面 CDE 即为(111)面。设该面心立方的晶格常数 为 a，则 在(110)面内选取只包含一个原子的面 AFGD， 其面积为 2 22 22 aaa，所以其原子数面密 4 度为： 2 2 12 2 2 a a 在(111)面内选
7、取只包含一个原子的面 DHIG，其面积为： 22 23 () sin 234 aa ， 所以其原子数面密度为： 2 2 14 3 33 4 a a 6. 若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构的原胞，每 个原胞内包含几个原子，设立方边长为 a。 解：解： 这种体心立方结构中有五种不同的原子。 顶角、 体心上的原子是两种不同的原子， 另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组，是互不相同的原子。故 此种结构共有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中的原子 数为： 11 81 3 25 82 （个） 7. 底心立方（立方顶角与上、下底心处有原子） 、侧心立方（
8、立方顶角与四个 侧面的中心处有原子）与边心立方（立方顶角与十二条棱的中点有原子）各属何 种布拉维格子？每个原胞包含几个原子？ 解：解： 这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为： 底心立方： 1 81 8 侧心立方： 11 843 82 边心立方： 11 8124 84 8. 试证六角密集结构中 8 1.63 3 c a 5 解：解： 如图所示，ABC 分别表示六角密集结构中中间层 的三个原子，表示底面中心的原子。DABC 构成 一个正四面体， 为长为a。DOABC面， 则 2 c DO 3133 , 23 26 DEa OEaa，且DOOE 则由勾股定理得， 22 336 263
9、ODaaa ， 2 6 2 3 cODa， 2 68 1.63 33 c a 第二章第二章 晶体中的衍射晶体中的衍射 1. 试证明面心立方与体心立方互为正倒格子。 方法方法 1： 6 面心立方： 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a a a ajk aki aij （1） 由正格子和倒格子的转换关系 123 231 312 2 ()/ 2 ()/ 2 ()/ baa baa baa （2） 其中： 123 ()aaa 得： 1 2 3 2 () 2 () 2 () bijk a bijk a bijk a （3） 在体心立方中 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a aijk a
10、 aijk a bijk （4） 由（2）式可得 1 2 3 2 () 2 () 2 () bjk a aki a aij a （5） 比较（1）与（5） ， （3）与（4）便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。 方法方法 2：由方法一中的（1）可知正格子与倒格子之间存在如下关系： 7 2 iji j ab 1 0 ij ,ij ij 由此可得面心立方的倒格子基矢： 1 2 3 2 () 2 () 2 () bijk a bijk a bijk a 同理可得体心立方的倒格子基矢： 1 2 3 2 () 2 () 2 () bjk a aki a aij a 比较可得面心立方和体心立方互为正倒
11、格子。 2. , ,a b c为简单正交格子的基矢，试证明晶面族（h k l）的晶 面间距为 2221/2 ( / )( / )( / ) hkl dh ak bl c 解：解： ,aai bbj cck ()ab cabc 由 19(2.2.7) p 知 * * * 2 ()/ 2 ()/ 2 ()/ ab c bca ca b 可得： * * * 2 2 2 ai a bj b ck c * 222 h khakblchik jlk abc 再由 22 p 中 h k和 hkl d的关系：2 / hhkl kd可得： 8 222 222 22 ( )( )( ) ( )( )( ) hkl
12、 hklabc hkl abch d k 得证。 3. 六角密集结构如取如下原胞基矢 12 33 , 2222 aa aia j aia j cck 试写出其倒格子基矢。 方法一：方法一： 2 12 33 ()(3 )() 2222 aa aacijijcka c 12 2 2 ()/(33 ) 3 bacij a 21 2 2 ()/( 33 ) 3 bc aij a 解得。 12 2 2 ()/caak c 方法二：方法二：由正格子和倒格子之间的关系： 2 ijij ab 可得： 111213 22 3 ,0 3 bbb aa 212123 22 3 ,0 3 bbb aa 313233
13、2 0,0,ccc c 12 2 2 ()/(33 ) 3 bacij a 21 2 2 ()/( 33 ) 3 bc aij a 12 2 2 ()/caak c 9 4. 如 X 射线沿简立方原胞的 Oz 负方向入射，求证当 2 2 /2 /()alkl和 2222 cos()/()lklk时， 衍射光线在 yz 平面上，为衍射线和 Oz 轴的夹角。 证明：证明：简立方的原胞的正格子基矢为： 1 2 3 aai aa j aak 3 a 其倒格矢为： 1 2 3 2 2 2 , bi a bj a bk a 222 h khik jlk aaa 由图可知： 2 22 1 cos sinco
14、s 22 l lk 2 2222 22 22 1/2 22 1/222 1/2 2 sin 2 2sin 2 2 () ()() h ll akllk m k l kl lk mklkl 21/ 2 2 将，代入 得： 2 m （h） a h 当 m=1， 2 h=0 时，上式可以成立 当 h=0 时，h k 只有, k j分量， 即 0 k 只有k分量， 而 0 hkkk ,k亦只有 y， 10 z 分量，即衍射光线在 yz 平面上。 5. 设在氯化钠晶体中， 位于立方晶胞的（0 0 0） ， （1/2 1/2 0） ， （1/2 0 1/2）与（0 1/2 1/2）诸点；而Cl位于（1/2 1/2 1/2） ，
