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1、习题一 习题一 2 9.0( , ) 11 0 cos , sin ( , )( cos , sin ), cossin; sincos. sin cos; s xxyy rrr rxy xy xr y laplaceuur uuu rr xr yr u x yu rr uuu ururu uuu r u += += = = = =+ = + = = 证明方程在极坐标下为 证明： sin cos; coscos in.sin. sin ()cos() sinsin coscos r xx xrr uu ryrr uu u xxrrx uu rrrr = +=+ = = 从而 222 2 222
2、 222 222 sincossincossin cos sincossincossin . cos ()sin() sin yy uuuu rrrrrr uuu rrrr uu u yyrry =+ + =+ = 222 2 222 222 222 coscos sin sincossincoscos sin sincossincoscos . 1 xxyyrr uu rrrr uuuu rrrrrr uuu rrrr uuuu r + =+ + +=+ 所以 2 1 0. r u r += 华中科技大学数理 方程与特 殊函数课 后答案 习题二 习题二 2 1. (01,0), (0, )(
3、1, )0, 1 ,0. (2) 2 ( ,0) 1 1,1, 2 ( ,0)(1); ttxx t ua uxt utut xx u x xx u xx x = = = = 求下列问题的解 2 2 ( , )( ) ( ). ( )( )0, ( )( )0. (0)(1)0. ( )( )0, (0)(1)0. () ,( )si nnn u x tX x T t T ta T t X xX x XX X xX x XX nX xB = += += = += = = 解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题 得， 1 1 1 2 1 22 0 2
4、 n(1,2,). ( )cossin(1,2,). ( , )(cossin)sin. 4 2sin(1)sinsin. 2 nnn nn n n n xn T tCan tDan tn u x taan t ban tn x n axn xdxxn xdx n = = =+= =+ =+= ? ? 代入另一常微分方程，得 则 其中 () () 1 44 0 2244 1 24 (1)sin11 . 44 ( , )(sincos11 sin)sin. 2 n n n n bx xn xdx anna n u x tan tan tn x nna = = =+ 因此，所求定解问题的解为 2
5、(0,0), (0, )( , )0, (3) 35 ( ,0)3sin6sin, 22 ( ,0)0. ttxx x t ua uxl t utu l t xx u x ll u x = = =+ = () 2 2 ( , )( ) ( ). ( )( )0, ( )( )0. (0)( )0. ( )( )0, (0)( )0. 21 () ,( 2 nn u x tX x T t T ta T t X xX x XX l X xX x XX l n X l = += += = += = + = 解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题 得， (
6、) ()() ()()() 1 21 )sin(0,1,2,). 2 2121 ( )cossin(0,1,2,). 22 212121 ( , )(cossin)sin. 222 235 (3sin6sin 22 n nnn nn n n n xBxn l anan T tCtDtn ll anann u x tat btx lll xx a ll = + = + =+= + =+ =+ ? ? 代入另一常微分方程，得 则 其中 () 0 3,1; 21 )sin6,2; 2 0,12. 0. 3355 ( , )3cossin6cossin. 2222 l n n n xdxn ll n
7、b aa u x ttxtx llll = + = = =+ 、 因此，所求定解问题的解为 3. 4(0,0), (2)(0, )0,( , )0, ( ,0)(). txx xx uuxl t utul t u xx lx = = = 求下列定解问题的解： 2 ( , )( ) ( ). ( )4( )0, ( )( )0. (0)( )0. ( )( )0, (0)( )0. () ,( ) nn u x tX x T t T tT t XxX x XXl XxX x XXl n XxA l = += += = += = = 解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量
8、，得 求解固有值问题 得， 2 2 2 () 2 () 0 1 2 0 0 0 cos(0,1,2,). ( )(0,1,2,). 1 ( , )cos. 2 22 (). 6 2 ()cos n n t l nn n t l n n l l n n xn l T tD en n u x taa ex l l ax lx dx l n ax lxxd ll = = = =+ = = ? ? 代入另一常微分方程，得 则 其中 2 2 22 222 () 22 1 2 1( 1) . 2 1( 1) ( , )cos. 6 n nn t l n l x n lln u x tex nl = + =
9、 + =+ 因此，所求定解问题的解为 2 5. 11 0(01), ,0, (1, ) 0,. ,. rrr uuur rr A u A += = 求解下列定解问题: 其中为已知常数 2 2 ( , )( )( ). ( )( )( )0, ( )( )0. ( )( )0, ( )(2 ). ( ) , ( )cossin n nnn u rR r r RrrR rR r n XxAnBn = += += += = + = =+ 解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 求解固有值问题 得， () 2 0 1 0 (0,1,2,). ( )( )( )0, (0). ( )(0,1,2,
10、). 1 ( , )cossin. 2 12 , n nn n nn n n n r RrrR rR r R RrC rn u raanbnr A aAd a = = += + = =+ = ? ? 代入另一常微分方程的定解问题 得， 则 其中 1 12 cossin, 1 sin0. 2 ( , )sincos. n n n A An dn n bAn d AA u x trnn n = = = =+ 因此，所求定解问题的解为 9. 0(0,0), (0, )0,( , )0(0), ( ,0)(1),lim ( , )0 (0), . xxyy y uuxly uyu l yy x u x
11、Au x yxl l A += = = 求解下列定解问题: 其中 为已知常数 2 ( , )( ) ( ). ( )( )0, ( )( )0. (0)( )0. ( )( )0, (0)( )0. () ,( )sin nnn u x yX x Y y XxX x YyY y XX l XxX x XX l n XxB l = += = = += = = 解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题 得， 1 0 (1,2,). ( )(1,2,). ( , )sin. 22 ()sin. lim( , )0 nn yy ll nnn nn yy ll
12、 nn n l nn y n xn l YyC eD en n u x ya eb ex l xnA abA lxdx llln u x ya = = =+= =+ += = ? ? 代入另一常微分方程，得 则 其中 1 0. 2 ( , )sin. n n y l n An u x tex nl = = = 因此，所求定解问题的解为 () 222 2 8.-1 0. cos ,sin , 11 1(0), 0. cossin. ,( ) xxyy xya rrr r a n auu u xryr uuura rr u AnBn u ra r += = += = = += = + = 在以原点
13、为心, 为半径的圆内,试求泊松方程 的解,使它满足边界条件 解：令作极坐标变换,得 由固有函数法,相应的固有函数系为 因此,设方程的解为 ( ) ()( ) ( ) ( ) ( )() 0 00 2 2 2 2 cos( )sin. 1 1,1 1 0,02 1 0,3 23( )0 ( ) n n nnn nnn nn nnn n nn nb rn aa r n aaan rr n bbb rr a rA rB rn b rC rD = + += += += =+ =+ 代入方程,得 方程， 的通解：， () ( ) 2 0 00 (0),( )0; (0),( )0. ( )00( )0. 1 1( )ln, 4 (0),( ) n n nn nn nn r aa a bb a a rnb r a rArBr aa
