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1、收稿日期: 1996- 06- 17 教育#教学#教材 判别主方向的剪应力指向判别法 刘 智 ( 北京联合大学电子自动化工程学院, 北京 100009) 摘 要 采用剪应力指向判别平面应力状态两个主应力与主方向之间的对应关系, 无需记忆任何规则或约定, 直观且准确。 关键词 主应力; 主方向; 剪应力 分类号 TB 301- 42 在材料力学课程中, 对图 1 所示平面(二向)应力状态单元体, 通过解析分析得出任意 A斜 截面上的正应力 RA为 RA= Rx+ Ry 2 + Rx- Ry 2 cos 2A- Sxysin 2A(1) 两个主应力即最大正应力 Rmax和最小正应力 Rmin为 R
2、max Rmin = Rx+ Ry 2 ?( Rx- Ry 2 ) 2+ S2 xy(2) 其方位, 即两个主方向 A0为 tan 2A0= - 2Sxy/ ( Rx- Ry)(3) 由(3)式确定了两个互相垂直的主方向 A01和 A02, 它们分别对应两个主应力 Rmax和 Rmin的方 位。但是, 其中哪一个是 Rmax的方位, 哪一个是 Rmin的方位, 尚需判别。当然, 最直接的办法是将 A01或 A02代入(1)式解得 Rx, 看看是 Rmax还是 Rmin。不过, 还有没有更简便的办法呢? 如何判别平面应力状态两个主应力的方位成为材料力学教学中一个小小的难点。在多年的 教学实践中,
3、 我曾经采用过各种各样的判别方法, 但每种方法都有一些规则或约定, 故容易记错 而搞混, 因而教学效果不理想。经过反复研究、 比较和试用, 最终提出一种称之为/ 剪应力指向判 别法0的方法。它的特点与优点就在于直观, 无需记忆任何规则, 只要看到应力单元体的图形, 便 可判断出主应力 Rmax和 Rmin各自的大致方位。采用这种方法后, 取得了非常好的教学效果。 1 原理 既然两个主方向 A01和 A02互相垂直, 那么必然有一个在一、 三象限, 而另一个在二、 四象限。 1997 年 3 月 第 11卷第 1期总 27 期 北京联合大学学报 Journal of Beijing Union
4、University Mar. 1997 Vol. 11 No. 1 Sum No. 27 因此, 只要能判别两个主应力 Rmax和 Rmin各自的大致方位, 即分别在哪个象限, 便可找到与之对 应的主方向 A01或 A02。 将图 1 所示单元体分解为一个只有正应力 Rx、 Ry的单元体与一个纯剪切单元体(只有剪应 力 Sxy、 Syx)的叠加, 如图 2 所示。 只有正应力的单元体其变形如图中虚线所示, 一、 三象限的变形与二、 四象限变形一致。 纯剪切单元体的变形亦如图中虚线所示, 它由正方形变为菱形, 也就是剪应力箭头所指方位 (图中为二、 四象限) 伸长, 而与之垂直的方位(一、 三
5、象限)缩短。 将二者叠加, 其变形必是二、 四象限相对伸长, 一、 三象限相对缩短。由应力与应变之间的线 性关系, 则最大主应力 Rmax必在剪应力箭头所指方位, 而最小主应力 Rmin必在剪应力箭头背离的 方位。 图 1 应力单元体图图 2 应力的分解与变形 这样, 对任意二向应力状态单元体, 无论正应力状况如何, 均可根据剪应力的指向判别两个 主应力 Rmax和 Rmin的大致方位即其所在象限。这种方法的实质是由纯剪切单元体的变形来判断 最大主应力的方位, 而这一变形则是人们所熟知的。 图 3 例 1应力单元体 2 方法与实例 采用剪应力指向判别法确定主应力的方位, 首先看平面应力单元体剪
6、应力指向(即箭头所指 方向) 是在哪一象限, 并断定最大主应力 Rmax即在此方位; 然后由式(3)计算得到两个主方向 A 01 和 A 02, 哪一个在上述方位则其必为与 Rmax对应的方位。 例 1 见图3。Rx= 3 MPa, Ry= 1 MPa, Sxy=3 MPa Rmax Rmin = 3+ 1 2 ?(3- 1 2 ) 2+ ( 3)2 = 2 ? 2 = 4 0 (MPa) 由图可见, 剪应力指向为二、 四象限, 则 Rmax= 4 所在方位一定在二、 四象 限。 tan 2A0= - 2 3/ ( 3- 1) = -3 87第 11 卷第 1 期刘 智: 判别主方向的剪应力指
7、向判别法 2A0= 120b - 60b A0= 60b - 30b 其中- 30b在二、 四象限, 其为 Rmax= 4 MPa 所在方位。 图 4 例 2 应力单元体 例 2 见图4。Rx= 3 MPa, Ry= - 1 MPa, Sxy= - 2MPa Rmax Rmin = 3- 1 2 ?(3+ 1 2 ) 2 + (- 2) 2 = 1 ? 2 2 = 3182 - 1182 (MPa) 由图可见, 剪应力指向为一、 三象限, 则 Rmax= 3182 MPa 所在方位一定为 一、 三象限。 tan 2A0= - 2 (- 2) 3- (- 1) = 1 2A0= 45b 225b
8、 A0= 2215 b 11215 b 其中 2215b在一、 三象限, 为 Rmax= 3182 MPa 所在方位。 图 5 例 3 应力单元体 若不要求准确计算主应力方位, 可采用上述方法直接在单元体上标出 主应力的大致方位。 例 3 已知条件同例2, 求主应力大小并在单元体上标出其大致方位。主 应力求出为 Rmax= 3182 MPa, Rmin= - 1182 MPa。由图 4 可见剪应力指向 为一、 三象限, 且 Rx Ry, 则 Rmax= 3182 MPa 在一、 三象限, 且偏 Rx一侧, 标出如图 5。 采用这种方法, 只需看到平面应力单元体的受力情况便可直观地判定 主应力的
9、大致方位, 学生无需记忆任何规则便可掌握, 因此教学效果非常 好。 A Method of Determining the Principal Direction According to the Shear Stress Direction Liu Zhi ( College of Electronic and Automatic Engineering of BUU, Beijing 100009) Abstract Students needn. t remember any rules or appointment when distinguishing the corre - sponding relation between the principal stress and principal direction in the plane stress state accord - ing to the shear stress direction. The method is visual and accurate. Key words principal stress; principal direction; shear stress 88北京联合大学学报1997 年 3 月
