《初二暑.第9讲.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.课后作业资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初二暑.第9讲.梅涅劳斯定理与塞瓦定理.课后作业资料（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 习题1 在ABC中，D是BC的中点，经过点D的直线交AB于点E，交CA的延长线于点F求 证： FAEA FCEB = 【解析】 直线截ABC三边于D、E、F三点，应用梅氏定理，知 1 CD BEAF DB EA FC = ，又因为BDBC=，所以 1 BEAF EA FC = ，即 FAEA FCEB = 习题2 如图，在ABC中， 90ACB=，ACBC=AM为BC边上的中线，CDAM于点D， CD的延长线交AB于点E求 AE EB 【解析】 由题设，在RtAMC中，CDAM，2ACCM=， 由射影定理 2 2 4 ADAD AMAC DMDM AMCM = 对ABM和截线EDC，由梅
2、涅劳斯定理， 1 AEBCMD EB CMDA =， 即 2 1 1 1 4 AE EB = 所以 2 AE EB = 习题3 已知AD是ABC的高，点D在BC内，且3BD =，1CD =，作DEAB于点E，DFAC 于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG 【解析】如图，设CGx=，直线EFG是ABC的梅氏线， 则由梅涅劳斯定理 4 1 x CFAE xFAEB + = 显然的 2 2 CFDC FAAD =， 2 2 AEAD EBBD = ， 于是 1 4 1 9 x x + =，得 1 2 x = 9 9 9 9 9 9 梅梅梅梅涅涅涅涅劳劳劳劳斯斯斯斯定定定定理理理理 与
3、与与与塞塞塞塞瓦瓦瓦瓦定定定定理理理理 E F B D C A D E B M C A A BCD E F G 2 习题4 证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点 FED C B A P FED C B A 【解析】 如图，CD BE AF 、 分别为三角形ABC的三个外角平分线，分别交AB AC BC 、 延长线于 D E F、 过C作BE的平行线，则BCPCBEEBDCPB= = = ， 所以BPC是等腰三角形则PBCB= 则有： CEPBCB EABABA = 同理 ADAC DBCB = ； BFBA FCAC = 所以 1 CEAD BFCBACBA EA
4、DB FCBA CBAC = 所以D E F 、 共线 习题5 如图，在ABC中，三个三角形面积分别为 5，8，10四边形AEFD的面积为x，求x的值 【解析】 对ECA和截线BFD，由梅氏定理得： 1 CDAB EF DA BE FC =, 即 1823 1 1 5152 x x + = + ，解得22x = 习题6 如图，ABC被通过它的三个顶点与一个内点O的三条直线分为 6 个小三角形，其中三个小 三角形的面积如图所示，求ABC的面积 【解析】 对ABD和截线COF，由梅氏定理得： 1 AFBCDO FB CDOA =， 即 41 1 32 BC CD =，所以 3 2 BC CD =
5、，所以 3 BC BD = 所以 33 105315 ABCABD SS= x 10 8 5 F D E C B A 35 4030 O F E C D B A 3 习题7 在ABC的三边BC、CA、AB上分别取点D、E、F，使得 1 2 BDCEAF DCEAFB =若BE与 CF，CF与AD，AD与BE的交点分别为 1 A、 1 B、 1 C，求证： 11 11 7 A B C ABC S S = 【解析】 1 1 1 DBAFBC FB CDB A = ，即 1 1 1 3 1 2 2 DB B A = ，所以 1 1 3 4 AB B D = 因此 1 3 7 AB AD = ，所以
6、1 3 7 AB C ADC S S = 又因为 2 3 ADC ABC SDC SBC = ， 所以 11 3 22 7 37 AB CAB C ADC ABCADCABC SS S SSS = 同理 1 2 7 BC A ABC S S = ， 1 2 7 CA B ABC S S = 进而可得 11 11 7 A B C ABC S S = 习题8 若AX BYCZ， 分别为ABC的三条内角平分线求证：AX BYCZ， 三线共点 【解析】 由三角形内角平分线定理得： BXABCYBCAZAC XCACYABAZBBC =， 三式分别相乘，得： 1 BXCYAZABBCAC XCYAZBA
7、CABBC = 根据塞瓦定理的逆定理可得 三角形三内角平分线AX BYCZ， 共点， 这个点称为这个三角形的内心 习题9 如果梯形ABCD的两腰AD、BC的延长线交于M，两条对角线交于N求证：直线MN必 平分梯形的两底 【解析】 ABCD， MDCM DABC = 1 MDBC DA CM = 1 MDAQBC DAQB CM = （由塞瓦定理得） 1 AQ QB = ，AQ QB= DPPC AQQB = ，DPPC= A1 C1 B1 F E CDB A BQA N C P D M Z Y X C B A 4 习题10如图，在ABC中，M是BC的中点，AD平分BAC，点B在AD上的射影为点
8、E，BE交 AM于点N，求证：DNAB D M C ENB A F G D M C ENB A 【解析】 连接EM并延长交AB于点G，延长BE、AC交于点F 因AEBF，AD平分BAC，则ABF为等腰三角形 从而ABAF=，BEEF= 因BMMC=，则MECF，BGGA= 在ABE中，AN、BD、EG相交于一点M， 由塞瓦定理得 1 BNEDAG NEDA GB = ， 于是 ENED NBDA = ，因此DNAB 习题11如图，E、F分别为ABC的AC、AB边上的点，且3AEEC=，3BFFA=，BE、CF交 于点P，AP的延长线交BC于点D求:AP PD的值 【解析】 P为ABC的塞瓦点 11 1 33 AFBD CEBD FBDCEADC = 9 1 BD DC = ， 9 10 BD BC = EPB为ACD的梅氏线， 91 1 10 3 AP DB CEAP PD BCEAPD = 10 3 AP PD = A B CD E F P
