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1、数列极限和函数极限数列极限和函数极限 极限的一般形式或，其中可以是无穷大。 )(limnf n )(limxf ax a 极限定义为当自变量和极限点的距离越来越近时（自变量无限接近于极限点时） ，函数 值也和极限值的距离越来越近（函数值无限接近于极限值） 。其中最关键的是度量“自变量 无限接近于极限点”以及“函数值无限接近于极限值”两个论断，这些都是用两个数之间的 距离或者是变数（自变量和函数值都可以理解为变数）与定数（指极限点和极限值）之间的 距离来衡量。 （1）变数趋近于有限数，衡量方法为 | )(| 数列极限： Lnf n = )(lim 涉及到两个距离，n和之间的距离以及和之间的距离，
2、用上面的两个距离衡 量方法就可以得到下面的定义。 但是要注意的是这两个距离的控制量应当是有关系的， 一般 说是要由函数值和极限值之间的距离控制来决定自变量和极限点之间的距离控制。 数列极限 的定义为：对任意的 )(nfL 0，存在，当时，NNn = = + + qp qp b a qp bnbnb anana q qq p pp n 0 0 1 10 1 10 0 lim ? ? 例： 3 1 30 10 3) 3 1 ( 1) 3 2 ( lim 31 32 lim 1 = + + = + + = + + + n n n n nn n 。出现指数的极限中应当充分使用规则 。 1| , 0li
3、m 0，当，当x时，连续；1)(+= xxf0x时，连续； x exf=)( 对于，0=x1) 1(lim)(lim 00 =+= + xxf xx ， 1lim)(lim 00 = x xx exf 从而，即在)0(1)(lim 0 fxf x = )(xf0=x处连续，从而在所有点处连续。 )(xf 连续函数的性质连续函数的性质 连续函数在闭区间上的性质： （1）如果在闭区间上连续，那么在上有界。 )(xf,ba)(xf,ba （2）（零点定理） 如果在闭区间上连续， 且)(xf,ba0)()(bfaf， 那么在区间 内至少存在一点 ),(ba ，使得0)(=f。 （3）单调函数至多有一个零点。 （4）结合（2）和（3）可以说明一个函数仅有一个零点。 例：证明函数在内有一个零点。 2)(=xexf x )2 , 0( 证明： （1）为初等函数，从而在上连续。 2)(=xexf x )(xf2 , 0 （2）01201)0(=eef 由零点定理，函数在内至少有一个零点。 2)(=xexf x )2 , 0( 8
