函数知识点整理资料

《函数知识点整理资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数知识点整理资料（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、函数 定义域 定义、三要素值域 函数概念对应法则 图像法 函数的表示方法列表法 解析法 函数简单应用 函数关系式的建立 函数分段函数 函数的和 函数运算奇偶性 函数的积单调性 基本性质 最值 性质零点周期性 其他性质 对称性 1.理解函数的有关概念 （1）函数的定义：在某个变化过程中有两个变量yx、，如果对于x在某个实 数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值 与它对应，那么y就是x的函数 ，记作)(xfy ， （Dx） ，x叫做自变量 ，y叫 做因变量 ，x的取值范围D叫做定义域 ，和x对应的y的值叫做函数值 ，函数值 的集合叫做函数的值域 【小贴士】 据此可知

2、函数图像与 【小贴士】 据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点， 但与轴的垂线至多有一个公共点， 但与y轴垂线的公共点可能轴垂线的公共点可能 没有，也可能有任意个.即函数的图像特征：对于任意与没有，也可能有任意个.即函数的图像特征：对于任意与x轴垂直的直线，与图 像最多只有一个交点. 【说明】 如果函数只给出解析式，未指明定义域，那么函数的定义域就是使得解析式有 意义的实数 轴垂直的直线，与图 像最多只有一个交点. 【说明】 如果函数只给出解析式，未指明定义域，那么函数的定义域就是使得解析式有 意义的实数x的集合.的集合. （2） 函数的三要素：函数的定义含有三个要素， 即定义域 、 值

3、域 和对应法则 【求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则） 】【求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则） 】 （1）根据解析式要求,如:偶次根式的被开方大于等于零，分母不能为零，（1）根据解析式要求,如:偶次根式的被开方大于等于零，分母不能为零， （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围. （3） 复合函数的定义域：若已知 （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围. （3） 复合函数的定义域：若已知)(xf的定义域为的定义域为,ba,其复合函数,其复合函数)(xgf的定 义域由不等式 的定 义域由不等式bxga)(解出即可；若已知解出即可；若已知

4、)(xgf的定义域为的定义域为,ba,求,求)(xf的 定义域，相当于当 的 定义域，相当于当,bax时，求时，求)(xg的值域（即的值域（即)(xf的定义域）. 【求函数值域的方法】 （1） 二次函数类型（二次函数在给出区间上的最值有两类： 一是求闭区间 的定义域）. 【求函数值域的方法】 （1） 二次函数类型（二次函数在给出区间上的最值有两类： 一是求闭区间,nm 上的最值；二是求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题；求二次函数的最 值问题，勿忘数形结合，注意“两看” ：一看开口方向；二看对称轴与所给区间 的相对位置关系） ； （2）可换元成二次函数类型 ，换元一定要注意新元的取值范围

5、； （3） 上的最值；二是求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题；求二次函数的最 值问题，勿忘数形结合，注意“两看” ：一看开口方向；二看对称轴与所给区间 的相对位置关系） ； （2）可换元成二次函数类型 ，换元一定要注意新元的取值范围； （3） dcx bax y 型函数，可先分离常数，利用不等式的性质来求解，或者可先画 出其图像，利用函数的单调性求函数的值域； （4） 型函数，可先分离常数，利用不等式的性质来求解，或者可先画 出其图像，利用函数的单调性求函数的值域； （4） x b axy，当，当ba,异号时可利用单调性求值域；当异号时可利用单调性求值域；当0ab时，该图像即是 我们所

6、熟知的“耐克函数”利用基本不等式及函数图像求解，需要“注意”的 是利用基本不等式时要注意“等号”成立的条件； （5）单调性法 一般来说一道求值域或最值的题目，如果不是常见类型， 就可以考虑利用 单调性来求解，包括数列的最大最小项问题； （6）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离、 直线斜率、等等； （7）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这 时，该图像即是 我们所熟知的“耐克函数”利用基本不等式及函数图像求解，需要“注意”的 是利用基本不等式时要注意“等号”成立的条件； （5）单调性法 一般来说一道求值域或最值的题目，如果不是常见类型， 就可以考虑

7、利用 单调性来求解，包括数列的最大最小项问题； （6）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离、 直线斜率、等等； （7）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这 类题型有时也可以 用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过分离变量后， 再利用基本不等式： （注意：当分式是最简分式，并且自变量 类题型有时也可以 用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过分离变量后， 再利用基本不等式： （注意：当分式是最简分式，并且自变量x没有其它限制时， 可直接用判别式法解题。若不符合上述要求虽也可用此法，但要增加其他条件 比如在某范围内有解，这时我

8、们不提倡用此种方法，而改用基本不等式及耐克 函数求解）. 没有其它限制时， 可直接用判别式法解题。若不符合上述要求虽也可用此法，但要增加其他条件 比如在某范围内有解，这时我们不提倡用此种方法，而改用基本不等式及耐克 函数求解）. 【温馨提示】 （1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？ （2）函数的最值与值域之间有何关系？ （3）两个函数相等：当两个函数的定义域、对应法则及值域均相等，则两个函 数相等. . 当然，当定义域和对应法则均相等的时候，两个函数的值域也必然相等，因此， 定义域和对应法则为函数的两个基本条件， 当且仅当两个函数的定义域和对应法 则都分别相同时，这两个函数才

9、是同一个函数. . （4）函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法 . . （5）分段函数：当一个函数可以用分段的解析式表示时，把这个函数叫做分段 函数 【求函数解析式的常用方法】 （1）待定系数法已知所求函数的类型； （2）代换（配凑）法已知形如( ( )f g x的表达式，求( )f x的表达式； （3）方程的思想已知条件是含有( )f x及另外一个函数的等式，可抓住等 式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于( )f x及另外一个函数的方程 组. 二、函数的图像 1、常见的函数图像的变换 满足条件f xaf ba的函数的图像关于直线 2 ab x 对称； 点( , )x y关于y轴的对称点

10、为(, )x y；函数 xfy 关于y轴的对称曲线方程 为xfy； 点( , )x y关于x轴的对称点为( ,)xy；函数 xfy 关于x轴的对称曲线方程 为 xfy； 点( , )x y关于原点的对称点为(,)xy；函数 xfy 关于原点的对称曲线方 程为xfy； ()yf xa是将( )yf x的图像向左(0)a （右(0)a ） 平移a个单位得到； 曲线( , )0f x y 关于点( , )a b的对称曲线的方程为(2,2)0faxby； 形如(0,) axb ycadbc cxd 的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 d x c (由分母为零确定)和直线 a y c (由分子、分母中x

11、的系数确定)，对称中心是 点(, ) d a c c ； |( )|f x的图像先保留( )f x原来在x轴上方的图像，作出x轴下方的图像关于 x轴的对称图形，然后 擦去x轴下方的图像得到；(|)fx的图像先保留( )f x在y轴右方的图像，擦 去y轴左方的图像， 然后作出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到； ()yf ax是将( )yf x的图像横坐标扩大(01)a（缩小(1)a ） 1 a 个单位得到 函数 xfy +a的图像是把函数 xfy 助图像沿y轴向上)0(a(向下)0( a) 平移a个单位 得到的； 2函数关系的建立 在解决实际问题中， 首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的

12、形式表示 出来，这个过程叫做建模； 建立函数关系是表示函数对应关系的一种常用方法， 在建立的函数关系的后 面必须标明函数的定义域，其值域由定义域和对应法则确定，这时函数的三要素 就完全具备了 建立函数关系常用方法： （1）代入法； （2）构造法； （3）待定系数法； （4） 换元法； （5）函数方程法 3函数的运算 （1）函数和：一般地，已知两个函数)( 1 Dxxfy，)( 2 Dxxgy， 设 21 DDD ，并且D不是空集，那么当Dx 时，)(xfy 和)(xgy 都 有意义，于是把函数)()(Dxxgxfy叫做函数)(xfy 与)(xgy 的 和 （2）函数的积、差、商： 【注意】 两

13、个函数的和函数的定义域为它们定义域的交集，当定义域的交集为空集时， 他们的和函数无意义； 在求两个函数商的定义域，还要除去使得分母上的函数值为零 【注意】 两个函数的和函数的定义域为它们定义域的交集，当定义域的交集为空集时， 他们的和函数无意义； 在求两个函数商的定义域，还要除去使得分母上的函数值为零 的x的值。的x的值。 （3）阶梯函数:在函数 5 x y 中，表示取括号内实数的整数部分，其部 分函数图像如下： 这种函数叫做阶梯函数； 【补充】 确切的说【补充】 确切的说表示不超过括号内实数的最大整数，即表示不超过括号内实数的最大整数，即x表示不超过表示不超过x 的最大整数，如的最大整数，如

14、 1.51,1.52 4函数的奇偶性 （1）函数奇偶性的定义： 偶函数的定义：如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有 fxf x， 那么 f x就叫做偶函数； 奇函数的定义： 如果对于函数 f x的定义域内任意一个x， 都有 fxf x ， 那么 f x就叫做奇函数； 【注意】 定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶） 函数的必要条件； “定义域内任一个” ：意味着奇（偶）性是函数的整体性质而非局部性质 使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量 【注意】 定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶） 函数的必要条件； “定义域内任一个

15、” ：意味着奇（偶）性是函数的整体性质而非局部性质 使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程.的恒等式而不是方程. （2）判断奇偶性的步骤： 【步骤】【步骤】 看定义域是否是关于原点对称的区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函 数） 找 f x与fx之间的关系， 若 fxf x，那么 f x就叫做偶函数；若 fxf x ，那么 f x就叫 做奇函数； 若两者都不成立，则 f x就叫做非奇非偶函数；若两者都成立，则 f x既是 奇函数又是偶函数. 【提醒】 若函数 【提醒】 若函数)(xfy 是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反 之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数；若 是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反 之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数；若 )(xfy 是奇函数且是奇函数且)0(f存在，则存在，则0)0(f（这里要强调的是（这里要强调的是)0(f一定要存在才 可以用） ；反之不然，如： 一定要存在才 可以用） ；反之不然，如：xxxf2)( 2 ，0)0