二次函数与三角形的结合资料

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1、让我们一起为了孩子的进步而努力！让我们一起为了孩子的进步而努力！ 纳思书院NiceNiceNiceNice EducationEducationEducationEducation 第 1 页 共 9 页 二次函数与三角形的结合 姓名：姓名：学校：学校：日期：日期： 知识点 考点一二次函数与等腰三角形的结合 考点二二次函数与直角三角形的结合 考点三二次函数与等腰直角三角形的结合 考点四二次函数与三角形的面积问题 例题精讲 考点一考点一二次函数与等腰三角形的结合二次函数与等腰三角形的结合 考点技巧透析考点技巧透析：固定两个定点时，一般从下面两个方面去寻找，对于计算，则一般可以引进参数，根据相似或

2、构造想 勾股定理方程，而后把参数解出代入，查看是否符合。 （1）以已知边为腰时，可以把已知边的端点作圆心，已知边的长作半径画圆。 （2）以已知边为底边时，做垂直平分线（到线段两端点的距离相等的点在垂直平分线上） 固定一个定点或都是动点时，一般以三个顶点分情况讨论：AB AC= 、CA CB= 、BC BA= ，而后用参数列出方 程。 【例 1】如图，直线33 +=xy交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）. （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在， 请说明理由. 让我们一

3、起为了孩子的进步而努力！让我们一起为了孩子的进步而努力！ 纳思书院NiceNiceNiceNice EducationEducationEducationEducation 第 2 页 共 9 页 【变式 1-1】如图，抛物线 2 54yaxax=+经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴 上，且ACBC= （1）求抛物线的对称轴； （2）写出ABC， ，三点的坐标并求抛物线的解析式； （3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形若存在，求出所有符 合条件的点P坐标；不存在，请说明理由 【变式 1-2】如图，在直角坐标系中，A（-1，0）

4、 ，B（0，2） ，一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点 的运动速度为每秒 1 个单位长度，射线BM与x轴交与点C （1）求点C的坐标 （2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式 （3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C 为顶点的三角形为等腰三角形 （点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值 （4）在（2） （3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标 让我们一起为了孩子的进步而努力！让我们一起为了孩子的进步而努力！ 纳思书院NiceNiceNiceNice EducationEducatio

5、nEducationEducation 第 3 页 共 9 页 考点二考点二二次函数与直角三角形的结合二次函数与直角三角形的结合 考点技巧透析：考点技巧透析： 1、固定两个定点时，一般从下面两个方面去寻找；当直角边时，过定点做垂直，此时要注意直线与坐标系构成的角 度；当斜边时，是否存在。对于计算，可能要用到相似，射影定理。 2、固定一个定点或都是用参数表示的点时，则一般用参数，根据一线三角列出各线段平方的表示，而后分情况： 222 ABACBC+= 、 222 BABCAC+= 、 222 CACBAB+= 根据勾股定理用参数列出方程。 【例 2】在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k

6、（x 2+x1）的图象交于点 A（1，k）和点B（1，k） （1）当k=2 时，求反比例函数的解析式； （2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值 【变式 2-1】如图，抛物线 2 1 2 2 yxbx=+与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0） （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断ABC的形状，证明你的结论； （3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值 让我们一起为了孩子的进步而努力！让我们一起为了孩子的进步

7、而努力！ 纳思书院NiceNiceNiceNice EducationEducationEducationEducation 第 4 页 共 9 页 【变式 2-2】如图，直线yx1 与抛物线yax2bx4 都经过点A（1，0） 、C（3，4） （1）求抛物线的解析式； （2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值； （3） 当线段PE的长度取得最大值时， 在抛物线上是否存在点Q， 使PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在， 请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由 考点三考点三二次函数与等腰直角三角形的结合二次函数与等腰直角三角形的结合 考点技巧透

8、析：考点技巧透析：等腰直角三角形-有一角为90o，并且腰相等，这样就产生了ADBDCD=。 D CB A B A 温馨提示：全等在这用的较多 【例 3】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点()0,2A， 点 ()1,0C，如图所示，抛物线 2 2yaxax=+经过点B。 （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外） ，使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有 点P的坐标；若不存在，请说明理由 让我们一起为了孩子的进步而努力！让我们一起为了孩子的进步而努力！ 纳思书院NiceNice

9、NiceNice EducationEducationEducationEducation 第 5 页 共 9 页 【变式 3】已知抛物线 2 2 3 yxbxc= +与x轴交于不同的两点() 1,0 A x和() 2,0 B x，与y轴交于点C，且 1 x， 2 x 是方程 2 230xx=的两个根() 12 xx （1）求抛物线的解析式； （2）过点A做/AD CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积； （3）如果P是线段AC上的一个动点（不与,A C重合） ，过点P做平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴 上是否存在点R，使得PQR为等腰直角三角形？若存在，求出R的坐标；若不存在，

10、请说明理由。 考点四考点四二次函数与三角形的面积问题二次函数与三角形的面积问题 考点技巧透析考点技巧透析：在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以 直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法： E D C B A F E D A B C D F E D C B A h 45 D C B A 1.如图，过三角形的某个顶点作与x轴或y轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形， 分别求出面积后相加 11 22 ABCACDADBCBACECEBAB SSSADyySSCExx =+=

11、+= 其中D,E两点坐标可以通过BC或AB的直线方程以及A或C点坐标得到 2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积 ABCDEBFDACAEBCBF SSSSS =. 所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得 3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用 ()()()()()() 111 222 ABCADEBCFEBADFCABABBCBcCACA SSSSxxyyxxyyxxyy = +=+ 4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积该方法不常用，如果三角形的一条边与0xy= 平行，则可以快速求解 1 2 ABC

12、 Sh BC = 让我们一起为了孩子的进步而努力！让我们一起为了孩子的进步而努力！ 纳思书院NiceNiceNiceNice EducationEducationEducationEducation 第 6 页 共 9 页 5. 如图，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”( )a， 中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高( )h”我们可得出一种计算三角形面积的新方法： 1 2 ABC Sah =，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. h a C B 【例 4】如图，已知在同一坐标系中，直线2 2 k ykx=+与y轴交

13、于点P，抛物线kxkxy4) 1(2 2 +=与x轴交 于) 0 , (), 0 , ( 21 xBxA两点。C是抛物线的顶点。 （1）求二次函数的最小值（用含k的代数式表示） ； （2）若点A在点B的左侧，且0 21 xx。 当k取何值时，直线通过点B； 否存在实数k，使 ABCABP SS =？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。 【变式 4-1】已知抛物线) 1(3)4( 2 +=mxmxy与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点， （1）求m的取值范围； （2）若0m，直线1=kxy经过点A，与y轴交于点D，且25=BDAD，求抛物线的解析式； （3）若A点在B点左

14、边，在第一象限内， （2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使直线PA平分ACD的面积？ 若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 让我们一起为了孩子的进步而努力！让我们一起为了孩子的进步而努力！ 纳思书院NiceNiceNiceNice EducationEducationEducationEducation 第 7 页 共 9 页 【变式 4-2】如图 1，已知直线 1 2 yx= 与抛物线 2 1 6 4 yx= +交于AB，两点 （1）求AB，两点的坐标； （2）求线段AB的垂直平分线的解析式； （3）如图 2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在AB，两处用铅笔拉着这根橡

15、皮筋使笔尖P在直线 AB上方的抛物线上移动，动点P将与AB，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如 果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由。 【变式 4-3】如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得 到线段OB。 （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请 说明理由； （4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求

16、出此时P点 的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由。(注意：本题中的结果均保留根号) 让我们一起为了孩子的进步而努力！让我们一起为了孩子的进步而努力！ 纳思书院NiceNiceNiceNice EducationEducationEducationEducation 第 8 页 共 9 页 巩固练习 1、如图（1） ，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE， 已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0） ，其中m0。 （1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示） ； （2）连接OA，若OAF是等腰三角形，求m的值； （3）如图（2） ，设抛物线y=a(xm6) 2+h 经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若OAM=90，求a、h、m 的值。 2、如图