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1、() ).10()( )!1( )( )( ! )( )( 2 )( )()()( 1 0 00 )1( 0 0 )( 2 0 0 000 + + + + + += + + n n n n xx n xxxf xx n xf xx xf xxxfxfxf L 一元函数的泰勒公式：一元函数的泰勒公式： 意义：可用意义：可用n次多项式来近似表达函数次多项式来近似表达函数)(xf，且且 误差是当误差是当 0 xx 时比时比 n xx)( 0 高阶的无穷小高阶的无穷小 9.9 二元函数泰勒公式二元函数泰勒公式 一、问题的提出一、问题的提出 问题：问题： 能否用多个变量的多项式来近似表达一个能否用多个变
2、量的多项式来近似表达一个 给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小. 即即 设设),(yxfz =在点在点),( 00 yx的某一邻域内连续的某一邻域内连续 且有直到且有直到1+n阶的连续偏导数阶的连续偏导数, ),( 00 hyhx+ 为此邻域内任一点为此邻域内任一点,能否把函数能否把函数),( 00 kyhxf+ 近似地表达为近似地表达为 00, yykxxh=的的n次多项次多项 式，且误差是当式，且误差是当0 22 +=kh时比时比 n 高阶的高阶的 无穷小无穷小 引入函数引入函数 ).10(),()( 00 +=tktyhtxft 显然显然
3、),()0( 00 yxf=).,()1( 00 kyhxf+= 利用一元函数的麦克劳林公式，得利用一元函数的麦克劳林公式，得 ).10(),( )!1( 1 )0( ! 1 )0( ! 2 1 )0()0()1( )1()( + + + + += +nn nn L 由由的定义及多元复合函数的求导法则的定义及多元复合函数的求导法则,可得可得)(t ),( ),(),()( 00 0000 ktyhtxf y k x h ktyhtxkfktyhtxhft yx + + = += (*) ),(),(2 ),()( 00 2 00 00 2 ktyhtxfkktyhtxhkf ktyhtxfht
4、 yyxy xx + += LLLL ).,( )( 00 1 ),( 1 11 0 1 1 )1( 00 ktyhtxf y k x h yx p kht n ktyhtx pnp nn p pnpp n n C + + = = + + + + = + + + 将将),()0( 00 yxf=,),()1( 00 kyhxf+=及上及上 面求得的面求得的)(t直到直到 n 阶导数在阶导数在0=t的的值值,以以及及 )( )1( t n+ 在在=t的的值代值代入入(*)式式.即得即得 )1(,),( ! 1 ),( ! 2 1 ),(),(),( 00 00 2 000000 n n Ryxf
5、 y k x h n yxf y k x h yxf y k x hyxfkyhxf + + + + + + + +=+ L 其中其中 )2().10( ),( )!1( 1 00 1 + + + = + kyhxf y k x h n R n n 公式公式)1(称称为二元函数为二元函数),(yxf在点在点),( 00 yx的的 n 阶泰阶泰 勒公式勒公式,而而 n R的表达式的表达式)2(称称为为拉格朗日型余拉格朗日型余项项. 定理定理 设设),(yxfz =在点在点),( 00 yx的某一邻域内连续且的某一邻域内连续且 有直到有直到1+n阶的连续偏导数阶的连续偏导数, ),( 00 kyh
6、x+ 为此邻为此邻 域内任一点域内任一点,则有则有 二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式 )10(),( )!1( 1 ),( ! 1 ),( ! 2 1 ),(),(),( 00 1 0000 2 000000 + + + + + + + + + +=+ + kyhxf y k x h n yxf y k x h n yxf y k x h yxf y k x hyxfkyhxf n n L )()( 22 khoR n n += 其中记号其中记号 ),( 00 yxf y k x h + ),(),( 0000 yxkfyxhf yx +表表示示 ),( 00 2 yxf y k
7、x h + 表表示示),(),(2),( 00 2 0000 2 yxfkyxhkfyxfh yyxyxx + 一一般般地地,记号记号表表示示),( 00 yxf y k x h m + . ),( 0 00 yxpmp m pmp m p p m yx p kh C = 由二元函数的泰勒公式知由二元函数的泰勒公式知, n R的绝对值在的绝对值在 点点),( 00 yx的某一邻域内都不超过某一正常数的某一邻域内都不超过某一正常数M. 于是于是,有下面的误差估计式有下面的误差估计式: () () () () () () )3(, !1 2 sincos !1!1 1 1 1 1 1 + + +
8、+ + + = + + =+ + n n n n n n M n n M kh n M R 其中其中. 22 kh += 由由)3(式可式可知知,误差误差 n R是当是当0时比时比 n 高阶高阶 的无穷小的无穷小. 当当0=n时时,公式公式)1(成为成为 ),( ),(),( ),( 00 0000 00 kyhxkf kyhxhfyxf kyhxf y x + += + 上式称为上式称为二元函数的二元函数的拉格朗日中值拉格朗日中值公式公式. 推论推论 如果函数如果函数),(yxf的偏导数的偏导数),(yxf x ,),(yxf y 在某一邻域内都恒等于零在某一邻域内都恒等于零,则函数则函数)
9、,(yxf在该区域在该区域 内为一常数内为一常数. 在泰勒公式在泰勒公式)1(中中,如果取如果取0 , 0 00 =yx, 则则)1(式成为式成为n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. ),( )!1( 1 )0 , 0( ! 1 )0 , 0( ! 2 1 )0 , 0()0 , 0(),( 1 2 yxf y y x x n f y y x x n f y y x x f y y x xfyxf n n + + + + + + + + += + L )10()5( 例例 1求函数求函数)1ln(),(yxyxf+=的三阶麦的三阶麦 克劳林公式克劳林公式. 解解, 1 1 ),(),( yx yx
10、fyxf yx + =Q , )1( 1 ),(),(),( 2 yx yxfyxfyxf yyxyxx + = , )1( ! 2 33 3 yxyx f pp + = ),3 , 2 , 1 , 0(=p , )1( ! 3 44 4 yxyx f pp + = ),4 , 3 , 2 , 1 , 0(=p ,)0 , 0()0 , 0()0 , 0(yxyfxff y y x x yx +=+= + ,)( )0 , 0()0 , 0(2)0 , 0( )0 , 0( 2 22 2 yx fyxyffx f y y x x yyxyxx += += + ,)(2)0 , 0()0 , 0
11、(3 )0 , 0(3)0 , 0()0 , 0( 332 23 3 yxfyfxy yfxfxf y y x x yyyxyy xxyxxx +=+ += + 又又0)0 , 0(=f,故故 ,)( 3 1 )( 2 1 )1ln( 3 32 Ryxyxyxyx+=+ 其中其中 ).10(, )1( )( 4 1 ),( ! 4 1 4 4 4 3 + + = + = yx yx yxf y y x xR 阶阶）展开成展开成泰勒公式泰勒公式（到二到二 把函数把函数的邻域内的邻域内按皮亚诺余按皮亚诺余项项在点在点例例 22 1),( )0 , 0(2 yxyxf= )(),(),(2),( !
12、 2 1 ),(),(),(),( 2 0000 2 00 00000000 22 n y xy x x okyxfhkyxfhyxf kyxfhyxfyxfkyhxf + +=+解：解： 1)0 , 0(=f 0 1 )0 , 0( )0 , 0( 22 = = yx x f x 0)0 , 0(= y f1 )1( 1 )0 , 0( )0 ,0( 2 3 22 2 2= = yx y f x 1)0 , 0( 2= y f 0 )1( )0 , 0( )0 , 0( 2 3 22 = = yx xy f xy )( ),(),(2),( !2 1 ),(),(),(),( 2 2 0000 2 00 00000000 22 + + +=+ o kyxfhkyxfhyxf kyxfhyxfyxfkyhxf y xy x x )()1( ! 2 1 11 22222 oyxyx+= 0 22 +=yx ykxh=,令令
