《第5章傅里叶变换应用于通信系统滤波、调制与抽样》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第5章傅里叶变换应用于通信系统滤波、调制与抽样（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、重点：,1.无失真传输 2.理想滤波器,第5章 傅里叶变换应用于通信系统 滤波、调制与抽样,5.2 利用系统函数H ( j)求响应,在时域中,其中：H(j) = FTh(t) 称频域系统函数 则 h(t) = IFTH(j)称时域冲激响应,也称系统的频率响应。,一、 周期性信号的稳态响应,在频域中,设激励 f (t) = e j t,式中 为h(t)的傅里叶变换，,则系统零状态响应为,正弦周期激励 f (t) = A cos (0t),求系统零状态响应 y ( t ),因此系统响应为,因为 故响应 y2 ( t ) = 0,例,正弦波通过RC电路,求系统响应 y ( t ),幅频特性,相频特性
2、,带宽B = 1/RC 设B = 1000 rad/s 即= RC = 0.001,b=0 1000; a=1 1000; % 生成向量b，a h,w=freqs(b,a,0:5000); % 求系统频响特性 h1=abs(h); % 求幅频响应 h2=angle(h)*180/pi; % 求相频响应 subplot(211); plot(w,h1);grid xlabel(角频率w(rad/s) ); ylabel(幅值H(jw); subplot(212); plot(w,h2);grid xlabel(角频率w(rad/s); ylabel(相位(度);,画RC电路频响特性波形图MATL
3、AB源程序为：,程序运行结果如图所示。,用MATLAB画出的幅频和相频特性图,截止频率,所以，系统响应为,用MATLAB画出的输入和输出波形,某线性非时变系统的幅频响应|H(j)|和相频响应()如图所示。若激励 , 求该系统的响应y(t)。,解,例,该信号通过系统后，其响应的频谱为：,傅里叶反变换即可得：,非正弦周期信号激励时的响应,由于这类计算通常比较烦琐， 因此最适合用Matlab来计算。,输出信号的频谱为,输出信号的响应为,例,输入信号的频谱为,RC电路，若输入信号为周期矩形脉冲波如下图所示。求系统响应。,解,其中，T1=2，基波频率1=2/T1 =，=1 因此，有,RC电路的频率响应为
4、,RC 电路的频率响应为,系统响应为,输出信号的频谱为,因此,RC电路输出的幅度频谱,RC电路输出的时域波形,频域分析方法的求解步骤为： 1、先求出输入信号的频谱F(j)和频域系统函数H(j) 2、由于y(t) = h(t) f(t)，利用连续时间非周期信号的傅里叶变换的时域卷积性质，有 Y(j) = H(j) F(j) 3、将Y (j)进行傅里叶反变换就得到 y(t),二、 非周期信号通过线性系统的零状态响应,补充,输入信号的频谱为,解,RC电路的系统函数为,因此，输出频谱为,因为,令1/RC = a，可得,用Matlab画出的输出信号的频谱如图所示 图中画出了带宽的两种情况,RC电路输出的
5、幅度频谱,RC电路输出的时域波形,由于RC电路的低通特性，高频分量有较大的衰减，故输出波形不能迅速变化。 输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规律逐渐上升和下降。 当带宽增加时，允许更多的高频分量通过，输出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波形相比，失真减小。,结论,在如图所示系统中，f(t)为已知激励 ， 。,例,求零状态响应 y(t)。,即有：H(j) = F h(t) = -j sgn(),故得：Y(j) = H(j) F(j) = -j sgn() -j sgn() F(j) = -sgn() sgn() F(j) = -F(j),所以：y(t) = - f(t) 可见此系统为一反
6、相器。,根据对偶性,2h,w=freqs(b,a) 该调用格式将计算默认频率范围 内200个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量h， 200个频率点记录在w中。,三、 MATLAB仿真实现,4freqs(b,a) 该调用格式并不返回系统函数样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。,试用MATLAB的freqs()函数求解该系统频率响应并绘图。,根据原理图，容易写出系统的频率响应为：,式中，,解,b=0 0 1; a=0.08 0.4 1; % 生成向量b，a h,w=freqs(b,a,100); % 求系统频响特性 h1=abs(h); % 求幅频响应 h2=angle(h
7、); % 求相频响应 subplot(211); plot(w,h1); grid xlabel(角频率(w); ylabel(幅度); title(H(jw)的幅频特性); subplot(212); plot(w,h2*180/pi); grid xlabel(角频率(w); ylabel(相位(度); title(H(jw)的相频特性);,MATLAB源程序为：,程序运行结果如图所示。,RLC二阶低通滤波器的幅频特性及相频特性,5.3 无失真传输概念,无失真传输,指输出信号与输入信号只是大小和出现的时间不同，而其波形形状相同。,即：y(t) = K x ( t - t0 ),无失真传输系
8、统的频率响应为：,1幅频特性 在整个频率范围内为一常数，即系统的带宽为无穷大； 2相频特性在整个频率范围内为一通过原点的直线，其斜率为 。,可看出,无失真传输系统在频域应满足的条件为：,失真分类,（1）幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，引起幅度失真。 （2）相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起相位失真。,线性信号失真的原因：,5.4 理想低通滤波器,滤波器的截止频率,理想低通滤波器的频率响应为,1. 理想低通滤波器的冲激响应为,由图可见，冲激信号经过理想低通滤波器后，波形发生了严重的失真，这是由于冲激信号的频谱
9、为白色谱，即它的频带宽度为无限宽。即只有冲激函数的低频分量通过了滤波器，故导致波形发生了严重的失真。,2. 理想低通滤波器的阶跃响应为,阶跃响应的上升时间与理想低通滤波器的截止频率c【带宽B=c / 2（Hz）】成反比；阶跃信号通过理想低通滤波器后，上升沿变缓，带宽越宽，上升时间越短，上升沿变化越陡峭。,！,补充： 模拟滤波器,一、巴特沃思低通滤波器的幅频特性,1. 巴特沃思低通滤波器幅频特性 （最平响应特性滤波器）,巴特沃思低通滤波器的幅频特性的平方为,滤波器的半功率点,当N取值越大，幅频特性在通带内就越平坦，过渡带就越陡峭，衰减得就越快，其特性越接近理想的低通滤波器，滤波器的实现也就越复杂
10、。,不同阶次的巴特沃思低通滤波器的幅频特性：,！,2. 巴特沃思低通滤波器系统函数和极点分布,由于系统是稳定系统，则系统函数 满足：,由上式可求出 的2N个极点，即,因为,，k =1，2，3，2N,N=3，4时，极点在s平面的分布情况：,3. 巴特沃思低通滤波器的设计,理想滤波器从通带到阻带的变换是阶跃性的，即理想滤波器的过渡带为零。实际滤波器的幅频特性和理想滤波器是有一定偏差的，允许的最大偏差称之为容限。典型的低通滤波器的幅频特性：,要设计一个模拟滤波器，实际上就是要找一个系统函数来逼近理想滤波器，使之满足技术指标和容限图。 低通滤波器的主要技术指标一般有：,频率归一化,选定某一频率为基准频
11、率，将实际频率除以基准频率，所得的比值称为归一化频率。,因各滤波器的工作频率不同，为设计简便，常将实际频率进行归一化。,！,技术指标为fp2KHz，Ap3dB，fs4KHz， As30dB。设计一巴特沃思低通滤波器。,（3）由N5，得归一化系统函数为,（1）归一化频率：,（2）根据 ，As 30dB，查图可知， 5阶系统满足阻带衰减要求，即N5,例,解,（4）以 代入上式化简得,二、切贝雪夫低通滤波器,切贝雪夫型低通滤波器的幅频特性的平方为,式中， 为决定等波动起伏幅度的常数；N为滤波器的阶数； 为N阶切贝雪夫多项式。,（1）定义,切贝雪夫型低通滤波器的幅频特性,（2） 切贝雪夫多项式满足的递
12、推关系 （当 时）,14阶切贝雪夫多项式的曲线如下图：,（3）不同阶次切贝雪夫型低通滤波器的幅频特性曲线,由图可以看出： （1）当 时， 在1与 之间等幅波动， 越小，波动幅度越小； （2）在过渡带和阻带即 时，幅频特性曲线单调下降，且N和 的值越大，衰减得越快； （3）N为奇数时 ，N为偶数时 ； （4）无论N为何值，当 时， 。,！,2. 切贝雪夫低通滤波器的传递函数和极点分布,令,得极点为,式中,其传递函数为,短轴 长轴,归一化系统函数的分母多项式,取位于左半平面的N个极点，即可得到系统函数为：,式中,3切贝雪夫低通滤波器的设计,解:,取,由通带波纹衰减 和N= 6，查表得：其归一化传递
13、函数为,令 ，可得所求滤波器的传递函数为,式中,4利用MATLAB设计切贝雪夫模拟低通滤波器,（2） z, p, k =cheblap( n ),切贝雪夫低通滤波器原型设计函数，p，z，k分别为滤波器的极点，零点和增益，n为滤波器的阶数。,（3） b, a =cheby1( n, Rp, wn, s ),切贝雪夫通滤波器设计函数，Rp，n，Wn分别滤波器的通带波纹，最小阶数和截止频率，s 表示模拟滤波器，a，b分别为滤波器的传递函数分子和分母多项式向量。,wp=2,Rp=1, ws=4, Rs=30; n,wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,s); z,p,k=cheb1ap(n,
14、Rp); b,a=zp2tf(z,p,k); 归一化的切贝雪夫低通滤波器的传递函数 sys=tf(b,a) 切贝雪夫低通滤波器的传递函数 c,d=cheby1(n,Rp,wn,s); sys=tf(c,d) freqs(c,d, 4),已知低通滤波器系统函数H(s)采用切贝雪夫逼近，通带波纹1dB，通带角频率p=2rad/s，阻带角频率s=4rad/s，阻带衰减A不小于30dB，试确定滤波器的阶数及系统函数，并绘出其频率响应曲线。,例,解,程序运行结果？留作上机练习,本章小结,1. 单一频率的信号通过线性时不变系统不会产生新的频率分量，但其幅度和相位会随系统函数发生变化。 2. 对于周期信号的
15、响应，不同频率分量的输出是求和；对于非周期信号的响应，不同频率分量的输出是求积分，即傅里叶逆变换。,3. 无失真传输，是指在时域中信号的波形应不发生变化，只是幅度变化了K倍，在时间上延迟了t0。对于无失真传输系统，其幅频特性在整个频率范围内为一常数，即系统的带宽为无穷大；其相频特性在整个频率范围内为一通过原点的直线，其斜率为，即相位响应与正比。,4. 理想滤波器，是指信号的一部分频率可以无失真的完全通过系统，而另一部分频率则完全通不过。理想滤波器是不可实现的系统，实际中通常采用一定的规则来逼近理想滤波器的幅频特性。常用的逼近方式有巴特沃思逼近、切贝雪夫逼近 ，相应设计的滤波器分别称为巴特沃思滤波器、切贝雪夫滤波器。巴特沃思滤波器的幅频特性在通带和阻带内都是单调变化的，切贝雪夫滤波器的幅频特性在通带内是等起伏变化的，在阻
