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1、控制系统的控制品质主要取决于系统的特性，而系统的特性取决于系统结构和系统中各环节的特性。 系统特性是指控制系统输入输出之间的关系。 环节特性是指环节本身输入输出之间的关系。,第5章 被控过程的数学模型,前几章的讨论中，我们已知变送器和执行器的特性是比例关系，控制器的特性由控制规律决定。本章讨论被控对象的特性。,5.1被控过程数学模型的作用与要求 被控对象大都是生产中的工艺设备，它是控制系统的重要环节。无论是设计、还是操作控制系统，都需要了解被控对象的特性。 在经典控制理论中，被控对象的特性一般用单输入、输出的数学模型描述。最常用的是传递函数。 传递函数是指用拉氏变换式表示的对象特性。,5.2建
2、立被控过程数学模型的基本方法 求对象的数学模型有两条途径： 机理法：根据生产过程的内部机理，列写出有关的平衡方程，从而获取对象的数学模型。 测试法：通过实验测试，来识别对象的数学模型。 由于影响生产过程的因素较多，单纯用机理法建模较困难，一般用机理法的分析结论，指导测试结果的辨识。,5.3机理法建模 5.3.1机理法建模的基本原理 通过分析生产过程的内部机理，找出变量之间的关系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化学反应定律、电路基本定律等，从而导出对象的数学模型。,5.3.2单容过程建模 当对象的输入输出可以用一阶微分方程式来描述时，称为单容过程或一阶特性对象。 大部分工业对象可以用一阶特性描述
3、。 典型代表是水槽的水位特性。,5.3.2.1单容贮液箱液位过程I 如图是一个贮液箱（水槽），工艺上要求其液位h保持定值。设计控制系统时，水槽就是被控对象，液位h就是被控变量。如果想通过调节阀门1来控制液位，就应了解进水流量Q1和液位h之间的关系。,此时，对象特性的输入量是流入水槽的流量Q1，对象特性的输出量是液位h。,设水槽在Ql0=Q20时，系统处于平衡状态，液位稳定在h0,机理法建模步骤： 从水槽的物料平衡关系考虑，找出表征h与Q1关系的方程式：,假定某一时刻，阀门1突然开大1 ， 则Q1突然增大，不再等于Q2，于是 h就发生变化。 Q1与Q2之差被囤积在水槽中，造成液位上升。,RS 阀
4、门2阻力系数；K 阀门1比例系数；1 阀门1的开度；A 水槽的底面积。,式中：, Q1 = K1,即,解得,写成标准形式,令：T = ARs 时间常数； K = KRs放大倍数。,进行拉氏变换,TS H(S) + H(S) = K1(S),传递函数为：,阶跃响应（飞升）曲线 输入量1作一阶跃变化（1）时，其输出（h）随时间变化的曲线。,因,则,时域表达式,K、T 称对象的特性参数。,工艺对象对物质或能量的储存能力和传递阻力，影响对象特性参数K、T的大小。在对象特性的研究中，可以用容量系数和阻力系数来表示这种能力。 （1）容量系数反映对象存储能量的能力,如水槽面积A，它影响时间常数 T 的大小。
5、 T = ARS （2）阻力系数反映对象对物料或能量传递的阻力。 如阀门阻力系数 RS ，它影响放大系数 K 的大小。 K = RS,有很多对象特性属于单容特性，如RC电路的充电特性：,即,传递函数为：,如果u r (t) 是阶跃信号，则,当t 时: uc () = U,uc (t) = U(1e t /RC ),5.3.2.2被控过程的自衡特性与单容贮液箱液位过程II,从一阶惯性特性曲线可以看出，对象在扰动作用下，其平衡状态被破坏后，在没有人工干预或调节器干预下，能自动达到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。 用自衡率表征对象自衡能力的大小。,与放大系数K互为倒数,如果大，说明对象的自衡
6、能力大。即对象能以较小的自我调整量h（），来抵消较大的扰动量1。 并不是所有被控过程都具有自衡特性。同样的单容水槽如果出水用泵抽出，则成为无自衡特性。,令,Q2 =0,单容无自衡特性 若阀门1突然开大1 ， 则Q1增大，Q2不变化。, Q1 = K1, 称飞升速度,则：,传函：,即： h（t）=1dt,又称积分特性,若阀门1阶跃增大1 ， 则h (t)持续增长。,5.3.3多容过程建模 有一个以上贮蓄容量的过程称为多容过程。 5.3.3.1多容液位过程 如图所示为双容对象。,由两个一阶惯性环节串联起来，操纵变量是1 ，被控变量是第二个水槽的水位h2。,可以求出传递函数：,由两个一阶惯性特性乘积
7、而成。 又称二阶惯性。,式中： T1A1 R2 T2A2 R3 KK R3,当输入量是阶跃增量1 时，二阶惯性对象的被控变量h2的响应曲线呈S型。,所谓滞后是指输出量的变化落后于输入量的变化。,为简化数学模型，可以用带滞后的单容过程模型来近似双容过程模型。,在S形曲线的拐点上作一切线，若将它与时间轴的交点近似为反应曲线的起点，则曲线可表达为带滞后的一阶特性：,c 称为容量滞后,5.3.3.2容量滞后与纯滞后 1. 容量滞后 将对象的容量特性造成的微小响应区域近似成滞后c 。是切线在时间轴上截出的时间段。 对象的容量系数C越大，则c越大；容量个数越多（阶数n越多）， c也越大。,2. 纯滞后 由
8、信号或能量的传输时间造成的滞后现象，是纯粹的滞后。,如图是一个蒸汽加热系统。蒸汽进入点与水温测量点相距l ，设水的流速为v ，蒸汽量阶跃增大引起的水温升高，要滞后0才反应出来。,有些对象容量滞后与纯滞后同时存在，很难严格区分。常把两者合起来，统称为滞后时间,= o +c,5.4测试法建模 根据工业过程中某对因果变量的实测数据，进行数学处理后得到的数学模型。 测定对象特性的实验方法主要有三种： （1）时域法输入阶跃或方波信号，测对象的飞升曲线或方波响应曲线。 （2）频域法输入不同频率的正弦波，测对象的频率特性。 （3）统计相关法输入随机噪音信号，测对象输出参数的变化。,5.4.1阶跃响应曲线法建
9、模 给对象输入阶跃信号或方波信号测其输出响应。 1阶跃响应曲线的直接测定,在对象处于开环、稳态时，将选定的输入量做一阶跃变化（如将阀门开大） ，测试记录输出量的变化数据，所得到的记录曲线就是被控过程的阶跃响应曲线。,有些工艺对象不允许长时间施加较大幅度的扰动，那么施加脉宽为t的方波脉冲，得到的响应曲线称为“方波响应”。,矩形脉冲法测定被控过程的阶跃响应曲线,一个是在t = 0时加入的正阶跃信号x1（t） 另 一个是在 t =t 时加入的负阶跃信号x2（t） x（t）= x1（t）+ x2（t）,其中， x2（t）= - x1（t -t）,方波响应可以转换成阶跃响应。 原理：方波信号是两个阶跃信
10、号的代数和。,根据此式，方波响应曲线可逐点拆分为阶跃响应曲线y1（t）和 y2（t）。,对应的响应也为两个阶跃响应之和： y（t）= y1（t）+ y2（t） = y1（t）- y1（t-t）,5.4.1.2由阶跃响应曲线确定被控过程传递函数,大多数工业对象的特性可以用具有纯滞后的一阶或二阶惯性环节来近似描述：,对于少数无自衡特性的对象，可用带滞后的积分特性近似描述：,由对象的阶跃响应曲线基本可以辨识对象的特性模型结构和特性参数。,1、由阶跃响应确定一阶惯性加滞后模型的特性参数 一阶对象的特性参数都具有明显的物理意义。因此，可以在阶跃响应曲线上确定特性参数值。,滞后时间的物理意义 加入输入后，
11、输出没有响应的时间段，就是滞后时间,a.若阶跃响应是带纯滞后的一阶惯性曲线,放大倍数K的物理意义 K表明了稳态时，输出对输入的放大倍数 。 为了简便，可将滞后时间切去：,K 越大，表示对象的输入对输出的影响越大。,y( ) = K x0,则： K = y( ) / x0,起点的斜率,时间常数的物理意义 对象受到阶跃输入后，若输出保持初始速度变化，到新的稳态值所需时间就是时间常数。,曲线的斜率,以此斜率在起点作直线，与y()相交时所需时间正好等于T。,作图法求T：在阶跃响应起点上作切线，这条切线与h（）相交时所需时间正好等于T。 或：对象受到阶跃输入后，输出达到新的稳态值的63.2所需的时间，等
12、于时间常数T。,计算法求T：取阶跃响应稳态变化幅值的63.2%，所对应的时间正好等于T。,在相同的阶跃输入作用下，对象的时间常数不同时，被控变量的响应曲线如图所示 。,T反映了对象输出对输入的响应速度 T越大，响应越慢。如水槽对象中 T=ARS ，说明水槽面积越大，水位变化越慢。,T也反映了响应时间 被控变量变化到新的稳态值所需要的时间理论上需要无限长。,当t时，才有yKx0 ，但是当t =3T 时，便有：,即：经过3T时间，输出已经变化了满幅值的95。这时，可以近似地认为动态过程基本结束。,b.若阶跃响应是一条 S 形单调曲线 用有纯滞后的一阶环节模型近似描述时：,作图法： 1）在响应曲线的
13、拐点处作一条切线，该切线与时间轴的交点切出； 2）以为起点，与y()的交点切出的时间段为T； 3）K= y()/x0,将y（t）转换成无量纲的形式y*（t）,为了简化计算，先消去y(t)中的系数KX0,计算法： 根据曲线上已知的两点坐标解方程，求T、。又称两点法：,对有滞后的一阶惯性环节，单位阶跃响应为：,在无量纲飞升曲线上，选取t1、t2两时刻的响应y*（t）的坐标值：,解方程组,得,y*（t1）= 0.39 y*（t2）= 0.63,= 2 t1 t2,T = 2（t1 - t2）,为计算方便，取特殊两点：,则,2. 由阶跃响应曲线确定二阶及高阶模型特性参数 若用一阶惯性加滞后环节近似被控
14、过程传递函数不能满足精度要求，则可用高阶模型描述。,例如用二阶惯性加滞后模型描述图5.16曲线时，静态放大系数K仍用稳态幅值计算。纯滞后时间可用作图法确定。然后在时间轴上截去纯滞后，并化为无量纲形式的阶跃响应y*(t)。,此时，,简化为：,（T2T1),阶跃响应：,从响应曲线上取两点列方程组，求T1、T2,y*（t1）=0.4 y*（t2）=0.8,可以求出近似解：,若适当选取y*（t）的值， 取,5.4.2 测定动态特性的频域法 对象的频率特性反映了对象对不同频率信号的响应特性。,方法：在对象的输入端加特定频率的正弦信号，同时记录输入和输出的稳定波形（幅度与相位）。在选定范围的各个频率点上重
15、复上述测试，,5.4.3测定动态特性的统计相关分析法 相关分析法是在生产正常进行中，向被控过程输入一种对正常生产过程影响不大的特殊信号伪随机测试信号，通过对被控过程的输入、输出数据进行相关分析得到被控过程的数学模型。 有时也可以不加专门信号，直接利用生产过程正常运行时所记录的输入、输出数据，进行相关分析得到数学模型。 这种方法对系统运行的干扰很小。用于不允许对系统加较强信号的场合。,5.4.4最小二乘法建立被控过程的数学模型 前面讨论的方法都是建立连续时间数学模型。为了适应计算机控制技术的发展，需要建立被控过程的离散时间数学模型。 如果对被控过程的输入信号u(t)、输出信号y(t)进行采样，则可得到一组输入序列u(k)和输出序列y(k)：,输入序列和输出序列之间的关系总可用差分方程进行描述：（纯滞后时间已剔除） y(k)+a1y(k1)+a2y(k2)+any(kn) b1u(k1)+b2u(k2)+bnu(kn),式中: k 采样次数；n 模型阶数,最小二乘法就是在确定了模型的阶数n后；在0已剔除的前提下，根据输入、输出数据，推算模型参数a1,a2,an及b1,b2 bn 的方法。,小结,作业（P170）：5-9、5-15题,
