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1、中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 2008 年年考研考研数学一试题分析、详解和评注数学一试题分析、详解和评注 一、选择题：一、选择题：(本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分. 每小题给出的四个选项中，只有一项每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数 2 0 ( )ln(2) x f xt dt ，则( )fx的零点个数为【 】 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3 【答案答案】应选(
2、B). 【详解详解】 22 ( )ln(2) 22 ln(2)fxxxxx 显然( )fx在区间(,) 上连续， 且( 1)(1)( 2ln3) (2ln3)0ff ， 由零点 定理，知( )fx至少有一个零点 又 2 2 2 4 ( )2ln(2)0 2 x fxx x ，恒大于零，所以( )fx在(,) 上是单调递增 的又因为(0)0 f ，根据其单调性可知，( )fx至多有一个零点 故( )fx有且只有一个零点故应选(B). （2）函数( , )arctan x f x y y 在点(0,1)处的梯度等于【 】 (A) i (B) i. (C) j. (D) j . 【答案答案】 应选(
3、A). 【详解详解】因为 222 2 1 1 fyy xxxy y 2 222 2 1 x fxy xyxy y 所以 (0,1) 1 f x ， (0,1) 0 f y ，于是 (0,1) ( , )igradf x y.故应选(A). （3）在下列微分方程中，以 123 cos2sin2 x yCeCxCx（ 123 ,C C C为任意的常数） 为通解的是【 】 (A) 440yyyy. (B) 440yyyy. (C) 440yyyy. (D) 440yyyy. 【答案答案】 应选(D). 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 【详
4、解详解】由 123 cos2sin2 x yCeCxCx，可知其特征根为，可知其特征根为 1 1 ， 2,3 2i ，故对应的特征值方程为 2 (1)(2 )(2 )(1)(4)ii 32 44 32 44 所以所求微分方程为440yyyy应选(D). （4）设函数( )f x在(,) 内单调有界， n x为数列，下列命题正确的是【 】 (A) 若 n x收敛，则 () n f x收敛 (B) 若 n x单调，则 () n f x收敛 (C) 若 () n f x收敛，则 n x收敛. (D) 若 () n f x单调，则 n x收敛. 【答案答案】 应选(B). 【详解】若 n x单调，则由
5、函数( )f x在(,) 内单调有界知，若 () n f x单调有界， 因此若 () n f x收敛故应选(B). （5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵若 3 0A ，则【 】 则下列结论正确的是： (A) EA不可逆，则EA不可逆. (B) EA不可逆，则EA可逆. (C) EA可逆，则EA可逆. (D) EA可逆，则EA不可逆. 【答案答案】应选(C). 【详解详解】故应选(C). 23 ()()EA EAAEAE， 23 ()()EA EAAEAE 故EA，EA均可逆故应选(C). （6）设A为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程1 x xyz A y z 在正交变换下的标 准方程
6、的图形如图，则A的正特征值个数为【 】 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 【答案答案】 应选(B). 【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为 222 22 1 xyz ac 故A的正 特征值个数为 1故应选(B). （7） 设随机变量,X Y独立同分布且X的分布函数为( )F x，则max , ZX Y 的分布函 数为【 】 (A) 2( ) Fx. (B) ( ) ( )F x F y. (C) 2 1 1( )F x. (D) 1( )1( )F xF y.
7、【答案】应选(A) 【详解】 ( )max, F zP ZzPX Yz 2 ( ) ( )( )P Xz P YzF z F zFz故应选(A) （8）设随机变量XN(0,1), (1,4)YN, 且相关系数1 XY ，则【 】 (A) 211P YX (B) 211P YX (C) 211P YX (D) 211P YX 【答案】应选 (D) 【详解】用排除法设YaXb由1 XY ，知X，Y正相关，得0a 排除（A） 和（C） 由(0,1)XN，(1,4)YN，得 0,1, ()EXEYE aXbaEXb 10ab ，1b 从而排除(B).故应选 (D) 二、填空题二、填空题：(914 小题
8、，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.) （9）微分方程）微分方程0xyy 满足条件(1)1y的解是y . 【答案答案】 应填 1 y x 【详解详解】由 dyy dxx ，得 dydx yx 两边积分，得ln|ln|yxC 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 代入条件(1)1y，得0C 所以 1 y x （10）曲线sin()ln()xyyxx在点(0,1)的切线方程为 . 【答案答案】 应填1yx 【详解详解】设( , )sin()ln()F x yxyyxx，则 1 ( ,
9、 )cos()1 x F x yyxy yx ， 1 ( , )cos() x F x yxxy yx ， (0,1)1 x F ，(0,1)1 y F于是斜率 (0,1) 1 (0,1) x y F k F 故所求得切线方程为1yx （11）已知幂级数 0 (2)n n n ax 在0x 处收敛，在4x 处发散，则幂级数 0 (2)n n n ax 的收敛域为 . 【答案答案】 (1,5 【详解】由题意，知 0 (2)n n n ax 的收敛域为( 4,0，则 0 n n n a x 的收敛域为( 2,2所 以 0 (2)n n n ax 的收敛域为(1,5 (12)设曲面是 22 4zxy
10、的上侧，则 2 xydydzxdzdxx dxdy . 【答案答案】 4 【详解详解】作辅助面 1: 0z取下侧则由高斯公式，有 2 xydydzxdzdxx dxdy 1 22 xydydzxdzdxx dxdyxydydzxdzdxx dxdy 22 2 4xy ydVx dxdy 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 22 22 4 1 0() 2 xy xydxdy drrdr 22 2 00 116 4 24 (13) 设A为 2 阶矩阵， 12 , 为线性无关的 2 维列向量， 1 0A ， 212 2A则A 的非零特征值为_
11、. 【答案答案】应填 1 【详解详解】根据题设条件，得 12121212 02 (,)(,)(0,2)(,) 01 AAA 记 12 (,)P ，因 12 , 线性无关，故 12 (,)P 是可逆矩阵因此 02 01 APP ，从而 1 02 01 P AP 记 02 01 B ，则A与B相似，从而有 相同的特征值 因为 2 |(1) 01 EB ，0 ，1 故A的非零特征值为 1 (14) 设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布，则 2 P XEX_ 【答案答案】应填 1 2e . 【详解详解】 因为X服从参数为 1 的泊松分布， 所以1EXDX 从而由 22 ()DXEXEX 得 2 2E
12、X 故 2 2P XEXP X 1 2e 三、解答题三、解答题：(1523 小题，共 94 分. ) (15)(本题满分本题满分 10 分分) 求极限 4 0 sinsin(sin ) sin lim x xxx x 【详解 1】 4 0 sinsin(sin ) sin lim x xxx x 3 0 sinsin(sin ) lim x xx x 2 0 coscos(sin )cos lim 3 x xxx x 2 0 1cos(sin ) lim 3 x x x 0 sin(sin )cos lim 6 x xx x (或 2 2 0 1 (sin ) 2 lim 3 x x x ，或 22 2 0 1 sin(sin) 2 lim 3 x xox x ) 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 1 6 【详解 2】 4 0 sinsin(sin ) sin lim x xxx x 4 0 sinsin(sin ) sin lim sin x xxx x
