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1、第一章 行列式 习题课, 重点与难点 主要内容 典型例题,一、重点与难点,1.重点,行列式的计算：定义、性质、展开定理,2.难点,高阶行列式的计算,返回,克拉默法则,二、主要内容,克拉默法则,排 列,行 列 式,其全逆排序列数及,对 换,定 义,性 质,展 开,返回,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元 素的全排列（或排列）,个不同的元素的所有排列的种数用 表示， 且 , 全排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列,在一个排列 中，若数 ， 则称这两个数组成一个逆序,一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数, 逆序数,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个
2、数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数,方法2,方法1,分别计算出排在 前面比它大的 数码之和，即分别算出 这 个元素 的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数, 计算排列逆序数的方法,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,定理,一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数, 对 换, n阶行列式的定义,n阶行列式 也可以定义为,或, n阶行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等(D=DT
3、).,性质2 互换行列式的两行(ri rj )或列(ci cj ), 行列式变号.,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k (rik ) ，等于用数k 乘此行列式.,推论 1. D的某一行（列）中所有元素的公因子可 以提到D的外面;,2. D中某一行（列）所有元素为零，则D=0;,性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则,性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,D=,）余子式与代数余子式, 行列式按
4、行（列）展开,在n阶行列式中，把元素 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的n-1 阶行列式叫做元素 的余子式，记作,叫做元素 的代数余子式,）关于代数余子式的重要性质, 克拉默法则,克拉默法则的理论价值,定理,定理,定理,定理,一、计算排列的逆序数,二、计算（证明）行列式,三、克拉默法则,典 型 例 题,分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和，即算出排列中每个元素的逆序数,解,例,一、计算排列的逆序数,于是排列的逆序数为,当 时, 为偶数， 排列为偶排列；,当 时, 为奇数， 排列为奇排列；,二、计算（证明）行列式,(一) 低阶行列式的计算：,1、二阶、三阶行列式, 可直接应用对
5、角线法则.,2、四阶、五阶行列式:, 根据行列式的特点, 利用行列式的性质, 把它 逐步化为上（下）三角行列式；, 根据行列式按行（列）展开定理, 降阶求解,计算四阶行列式,解一：,计算四阶行列式,解二：,按第一列展开,再按第三列展开,再按第三列展开,计算四阶行列式,解三：,按第一行展开,求解下列方程,所以，方程组的解为,(二) 高阶行列式的计算：,n阶行列式计算的方法有很多，主要是根据行列式的特点选择不同的方法，下面主要通过典型例题介绍几种常用的方法,例 用行列式定义计算, 用定义计算（证明）,由定义,在该和式中，只有,解,又 t(n-1,n-2, 2,1,n)=,所以,解,8(1) 计算,
6、其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0.,由定义,在该和式中，只有,和,又 t(n,2, n-1,1)=2n-3,所以,评注 本例是从一般项入手，将行标按标准 顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注 意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般 方法,例3 写出四阶行列式中含有因子a11a23，且前面为负号的那项.,由分析可知，包含因子a11a23的项为：,解,和,因此所求为,而,2 用化三角形行列式计算,例4 计算,将第 列都加到第一列，得,注意到各行元素之和都相等, 故,解,提取第一列的公因子，得,将第一列的(-a1)倍加到第二列，,将第一列的(-a2)倍加到第三列，,将第一列的(-
7、an)倍加到第n+1列，得,评注 本题利用行列式中元素的特点，运用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式,例5 计算,对于形如,解,可利用性质将其化为三角行列式来计算.,将第二列的 倍加到第一列，,将第三列的 倍加到第一列，,将最后一列的 倍加到第一列，得,例6 计算n阶行列式,解,每行都减去第一行，得,3 用拆成行列式之和计算,例7 证明,证明,按第一列拆开,=右边,4 用降阶法计算,例8 计算,解,对于形如,即所谓两条线的行列式，可利降阶、用性质将其化为三角行列式来计算.,按第一列展开，得,计算,解,该题形如,可直接展开降阶，计算.,法一：,按第一列展开，得,法
8、二：,8(1) 计算,其中对角线上 元素都是a，未 写出的元素都是0.,解,该题形如,可直接展开降阶，计算.,按第一列展开,例9 计算,解,此行列式的最后一行虽然每个元素都非零，但他们对应的余子式均为上(下)三角行列式(块)，于是，按最后一行展开,5 用递推法计算,解,8(1) 计算,按第二行展开，得,其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0.,本题是利用行列式的性质，将n阶行列式Dn用n-1阶行列式Dn-1表示出来，建立了Dn与Dn-1之间的递推关系.,如此继续下去，可得,评注,法二(化三角),8(1) 计算,用递推法计算,解,例10 计算,按第一列展开，得,如此继续下去，可得,6 用数学
9、法归纳法计算,解,例11 计算,n=1时，,则当n=2时，,猜测,下面用数学归纳法证明,当n=1时，结论显然成立.,假设n=k时，结论成立，即,则当n=k+1时，把Dk+2按第一列展开，得,于是，对于任意的n，有,评注,7 利用范德蒙行列式计算,例12 计算,利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。,解,评注 本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如 提取公因子、调换各行（列）的次序等，将此行 列式化成范德蒙行列式,例13 计算,解,与
10、范德蒙行列式很接近，只需在第3行与第4行之间增加一行，再加一列，便可构成5阶范德蒙行列式，令,D恰为f(x)中x3的余子式M45，即,若将f(x)中按最后一列展开，可知x3的系数为A45,根据范得蒙行列式的结果，可知x3的系数为：,所以,8 有关代数余子式的计算,解,例14 已知四阶行列式，求,由于,第二列元素与第四列代数余子式乘积,解,P28 9 已知四阶行列式，求,计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法,小结,当线性方程组方程个数与未知数个数相等、 且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则,三、克拉默法则,非齐次方程组，重点考察唯一解情况； 齐次方程组，重点考察非零解(多解)情况。,有非零解,所以,时，方程组有非零解.,
