《线性代数复习题1-习题课2014剖析.》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性代数复习题1-习题课2014剖析.(73页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 行列式 习题课, 重点与难点 主要内容 典型例题,一、重点与难点,1.重点,行列式的计算:定义、性质、展开定理,2.难点,高阶行列式的计算,返回,克拉默法则,二、主要内容,克拉默法则,排 列,行 列 式,其全逆排序列数及,对 换,定 义,性 质,展 开,返回,把 个不同的元素排成一列,叫做这 个元 素的全排列(或排列),个不同的元素的所有排列的种数用 表示, 且 , 全排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为 偶数的排列称为偶排列,在一个排列 中,若数 , 则称这两个数组成一个逆序,一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数, 逆序数,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个
2、数之和,即算出排列中每个元素的逆序数, 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数,方法2,方法1,分别计算出排在 前面比它大的 数码之和,即分别算出 这 个元素 的逆序数,这 个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数, 计算排列逆序数的方法,定义,在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,称为一次对换将相邻两个元素对调,叫做相邻对换,定理,一个排列中的任意两个元素对换,排列改 变奇偶性,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数, 对 换, n阶行列式的定义,n阶行列式 也可以定义为,或, n阶行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等(D=DT
3、).,性质2 互换行列式的两行(ri rj )或列(ci cj ), 行列式变号.,推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.,性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k (rik ) ,等于用数k 乘此行列式.,推论 1. D的某一行(列)中所有元素的公因子可 以提到D的外面;,2. D中某一行(列)所有元素为零,则D=0;,性质 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零,性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则,性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变,D=,)余子式与代数余子式, 行列式按
4、行(列)展开,在n阶行列式中,把元素 所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下来的n-1 阶行列式叫做元素 的余子式,记作,叫做元素 的代数余子式,)关于代数余子式的重要性质, 克拉默法则,克拉默法则的理论价值,定理,定理,定理,定理,一、计算排列的逆序数,二、计算(证明)行列式,三、克拉默法则,典 型 例 题,分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和,即算出排列中每个元素的逆序数,解,例,一、计算排列的逆序数,于是排列的逆序数为,当 时, 为偶数, 排列为偶排列;,当 时, 为奇数, 排列为奇排列;,二、计算(证明)行列式,(一) 低阶行列式的计算:,1、二阶、三阶行列式, 可直接应用对
5、角线法则.,2、四阶、五阶行列式:, 根据行列式的特点, 利用行列式的性质, 把它 逐步化为上(下)三角行列式;, 根据行列式按行(列)展开定理, 降阶求解,计算四阶行列式,解一:,计算四阶行列式,解二:,按第一列展开,再按第三列展开,再按第三列展开,计算四阶行列式,解三:,按第一行展开,求解下列方程,所以,方程组的解为,(二) 高阶行列式的计算:,n阶行列式计算的方法有很多,主要是根据行列式的特点选择不同的方法,下面主要通过典型例题介绍几种常用的方法,例 用行列式定义计算, 用定义计算(证明),由定义,在该和式中,只有,解,又 t(n-1,n-2, 2,1,n)=,所以,解,8(1) 计算,
6、其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0.,由定义,在该和式中,只有,和,又 t(n,2, n-1,1)=2n-3,所以,评注 本例是从一般项入手,将行标按标准 顺序排列,讨论列标的所有可能取到的值,并注 意每一项的符号,这是用定义计算行列式的一般 方法,例3 写出四阶行列式中含有因子a11a23,且前面为负号的那项.,由分析可知,包含因子a11a23的项为:,解,和,因此所求为,而,2 用化三角形行列式计算,例4 计算,将第 列都加到第一列,得,注意到各行元素之和都相等, 故,解,提取第一列的公因子,得,将第一列的(-a1)倍加到第二列,,将第一列的(-a2)倍加到第三列,,将第一列的(-
7、an)倍加到第n+1列,得,评注 本题利用行列式中元素的特点,运用行列式的性质,采用“化零”的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式,例5 计算,对于形如,解,可利用性质将其化为三角行列式来计算.,将第二列的 倍加到第一列,,将第三列的 倍加到第一列,,将最后一列的 倍加到第一列,得,例6 计算n阶行列式,解,每行都减去第一行,得,3 用拆成行列式之和计算,例7 证明,证明,按第一列拆开,=右边,4 用降阶法计算,例8 计算,解,对于形如,即所谓两条线的行列式,可利降阶、用性质将其化为三角行列式来计算.,按第一列展开,得,计算,解,该题形如,可直接展开降阶,计算.,法一:,按第一列展开,得,法
8、二:,8(1) 计算,其中对角线上 元素都是a,未 写出的元素都是0.,解,该题形如,可直接展开降阶,计算.,按第一列展开,例9 计算,解,此行列式的最后一行虽然每个元素都非零,但他们对应的余子式均为上(下)三角行列式(块),于是,按最后一行展开,5 用递推法计算,解,8(1) 计算,按第二行展开,得,其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0.,本题是利用行列式的性质,将n阶行列式Dn用n-1阶行列式Dn-1表示出来,建立了Dn与Dn-1之间的递推关系.,如此继续下去,可得,评注,法二(化三角),8(1) 计算,用递推法计算,解,例10 计算,按第一列展开,得,如此继续下去,可得,6 用数学
9、法归纳法计算,解,例11 计算,n=1时,,则当n=2时,,猜测,下面用数学归纳法证明,当n=1时,结论显然成立.,假设n=k时,结论成立,即,则当n=k+1时,把Dk+2按第一列展开,得,于是,对于任意的n,有,评注,7 利用范德蒙行列式计算,例12 计算,利用范德蒙行列式计算行列式,应根据范德 蒙行列式的特点,将所给行列式化为范德蒙行列 式,然后根据范德蒙行列式计算出结果。,解,评注 本题所给行列式各行(列)都是某元 素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如 提取公因子、调换各行(列)的次序等,将此行 列式化成范德蒙行列式,例13 计算,解,与
10、范德蒙行列式很接近,只需在第3行与第4行之间增加一行,再加一列,便可构成5阶范德蒙行列式,令,D恰为f(x)中x3的余子式M45,即,若将f(x)中按最后一列展开,可知x3的系数为A45,根据范得蒙行列式的结果,可知x3的系数为:,所以,8 有关代数余子式的计算,解,例14 已知四阶行列式,求,由于,第二列元素与第四列代数余子式乘积,解,P28 9 已知四阶行列式,求,计算行列式的方法比较灵活,同一行列式可 以有多种计算方法;有的行列式计算需要几种方 法综合应用在计算时,首先要仔细考察行列式 在构造上的特点,利用行列式的性质对它进行变 换后,再考察它是否能用常用的几种方法,小结,当线性方程组方程个数与未知数个数相等、 且系数行列式不等于零时,可用克莱姆法则,三、克拉默法则,非齐次方程组,重点考察唯一解情况; 齐次方程组,重点考察非零解(多解)情况。,有非零解,所以,时,方程组有非零解.,