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1、第五章 测量误差的基本知识,授课人：杨灿灿,Company Logo,主要内容：,一、概述 二、衡量观测值精度的标准(重点) 三、误差传播定律(重点) 四、等精度直接观测平差 五、不等精度直接观测平差（自学）,理论：,实际：,现象： (1)观测值与其理论值(真值)之间有差异。,任何观测量，客观上总是存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测值的真值或者理论值。,一. 概述,(2)同一个量多次观测的观测值不相等；,一. 概述,观测过程中存在观测误差,观测值与其真值的差异，称为观测误差，也称测量误差。,原因:,观测误差:,观测误差 真值观测值,以表示观测误差， 表示真值， 表示观测值，则上式
2、可写为：,通常称为观测值的真误差，简称误差。,1. 真误差与测量条件,观测者,采用一定的,仪器,在一定的,外界条件,下对,技术水平 工作态度 感觉器官鉴别力,构造缺陷 校正后残余误差 精密度,温度、湿度 风力 、大气折光等,观测条件,观测值(observatin value) 获取,一. 概述,进行测量,观测目标,目标本身的结构、状态、清晰程度等,任何观测都不可避免的含有误差！,观测条件,测量精度,好,高,差,低,相同,等精度,不相同,非等精度,一定的观测条件对应着一定的测量精度。观测条件相同，测量精度相等；观测条件不同测量精度不等。,一. 概述,2. 观测误差的分类与处理,(1)粗差 (2)
3、系统误差 (3)偶然误差,(observational errors and their types),(1)粗差, 定义: 粗差是指超出正常观测条件所出现的，而且数据超出规定的误差。例如：读错、记错或测错等。, 产生原因：,测错、读错、记录错、计算错、仪器故障等所引起的偏差。,1467 mm,1533 mm, 处理措施：,舍弃或重测。变更仪器或操作程序，进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的验算等。, 特性:,比最大误差还大,对测量结果影响很大,(1)粗差, 定义:,(2)系统误差,相同观测条件下做一系列观测，若误差在大小、符号上表现出系统性，或按一定规律变化，或为一常数，那么这种
4、误差则为系统误差。, 产生原因: 仪器构造的缺陷或检验校正不严格引起的。 如：钢尺量距误差、水准仪i角误差等。, 特性:,具有一定的规律性,具有累积性,对测量结果影响较大,(2)系统误差, 处理措施：,采取科学合理的操作方法；（后前前后消弱仪器下沉的影响，） 利用公式进行系统误差改正。,(2)系统误差,相同观测条件下做一系列观测，若误差在大小、符号上表现出偶然性，即单个误差无规律性，但是大量误差具有一定的统计规律，则称为偶然误差（随机误差）。, 定义：,(3)偶然误差,水平度盘读数： 7304（43）, 产生原因：,偶然误差产生的原因很多，往往无法预知和控制。如空气的不稳定、观测目标的亮度差、
5、仪器的构造不严密、观测者的感觉器官受一定的限制等。,(3)偶然误差,Company Logo,例如，对三角形的三个内角进行测量，由于观测值含有偶然误差，三角形各内角之和l不等于其真值180。用X表示真值，则l与X的差值称为真误差（即偶然误差），即,(3)偶然误差,1.2 偶然误差的统计性质,1.在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值。,有界性,例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角,计算各内角和的真误差,并按误差区间的间隔 进行统计。,2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的个数多。,密集性,例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角,计算各内角和的真误差
6、,并按误差区间的间隔 进行统计。,3.绝对值相等的正负误差出现的个数相近。,对称性,例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角,计算各内角和的真误差,并按误差区间的间隔 进行统计。,例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角,计算各内角和的真误差,并按误差区间的间隔 进行统计。,Company Logo,特点： （4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增加而趋于零。即： 补偿性,3 、偶然误差,用直方图表示:,Company Logo,3、偶然误差,由上式可以看出，当=0时， 它代表误差概率分布曲线的峰值。 设有不同精度的两组观测值，对应的参
7、数为1和2，并设12，则,Company Logo,3、偶然误差,它们所对应的误差概率分布曲线为下图中的和所示。 曲线陡峭，误差较集中分布在原点附近，观测值精度较高。 曲线平缓，误差分布较离散，观测精度较低。 故参数是与观测精度有关的量。,Company Logo,3、偶然误差,5.2 衡量观测值精度的标准,Company Logo,Company Logo,在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度。,中误差,相对中误差,极限误差,5.2衡量观测值精度的标准,Company Logo,设在相同的观测条件下，对某量进行n次重复观测，其观测值为l1，l2，ln，相应的真误差为1，2，n。
8、则观测值的中误差m为：,式中 真误差的平方和，,一、中误差,5.2衡量观测值精度的标准,Company Logo,例5-1 设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真误差分别为：,甲组：,乙组：,试计算甲、乙两组各自的观测精度。,解:,5.2衡量观测值精度的标准,Company Logo,比较m甲和m乙可知，甲组的观测精度比乙组高。,结论： 中误差所代表的是某一组观测值的精度。,5.2衡量观测值精度的标准,Company Logo,5.2衡量观测值精度的标准,【例5-2】某段距离用钢尺丈量了8次，观测值列于表中。该段距离用测距仪量得的结果为39.875m ，由于其精度很高，可视为真值。
9、试求用该50m钢尺丈量该距离一次的观测值中误差。,Company Logo,解： 从上表的计算结果来看，该组等精度观测值的中误差为： 由于是等精度观测，故每个观测值的精度皆为6.9mm,Company Logo,相对误差是中误差的绝对值与相应观测结果之比，并化为分子为1的分数，即,例 丈量两段距离，D1=100m，m1=1cm和D2=30m， m2=1cm， 试计算两段距离的相对误差。,解,二、相对中误差,5.2衡量观测值精度的标准,用相对误差来衡量，就可容易地看出，前者比后者精度高。,Company Logo,在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差
10、。,三、极限误差,5.2衡量观测值精度的标准,Company Logo,三、极限误差,上式的概率含义是：在一组等精度观测值中，真误差的绝对值大于一倍的个数约占整个误差个数的32%；大于两倍的个数约占4.5%；大于三倍的个数只占0.3%。 由于大于三倍中误差的真误差个数，只占全部的0.3%，及1000个真误差中，只有3个绝对值可能超过三倍。由于出现的几率很小，故可认为，绝对值大于3 的真误差实际上是不可能出现的。,5.2衡量观测值精度的标准,Company Logo,在实际工作中，测量规范要求观测值中，不容许存在较大的误差，常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差，即,或,如果某个
11、观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。,三、极限误差,5.2衡量观测值精度的标准,Company Logo,与相对误差对应，中误差、容许误差、闭合差和较差等均称为绝对误差，绝对误差都有单位的，且应冠以正负号。当观测值的误差与观测值大小无关时，如角度、方向等观测值，其精度用绝对误差来衡量。,三、极限误差,5.2衡量观测值精度的标准,Company Logo,5.3 误差传播定律,某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另外一些量的直接观测值根据一定的函数关系计算出来。 独立观测值的中误差和函数的中误差必定存在某种关系，阐述这种关系的定律称为误差传
12、播定律。下面分别讨论倍数函数、和差函数、一般线性函数和一般函数的误差传播定律。,5.3 误差传播定律,一.误差传播定律,令 的系数为 ， (c)式为：,对(a)全微分：,(b),5.3 误差传播定律,对Z观测 了k次， 有k个式,(d),5.3 误差传播定律,对K个(e)式取总和：,(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：,即,(h),5.3 误差传播定律,(h),考虑 ，代入上式，得中误差关系式：,上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。,5.3 误差传播定律,通过以上误差传播定律的推导，我们 可以总结出求观测值函数中误差的步骤：,5.3 误差传播定律,二 .几种常用函数的
13、中误差,5.3 误差传播定律,解：列函数式 求全微分 中误差式,1.倍数函数的中误差,5.3 误差传播定律,解：列函数式 求全微分 中误差式,1.倍数函数的中误差,5.3 误差传播定律,【例5-4】设测得圆形的半径r=2.548m，已知其中误差m=0.004m，求其周长l及其中误差ml。,周长l=16.010m0.025m,2.线性函数的中误差,设有函数式 全微分 中误差式,5.3 误差传播定律,2.线性函数的中误差,例：设有某线性函数 其中 、 、 分别为独立观测值，它们的中误差分 别为 求Z的中误差 。,解：对上式全微分：,由中误差式得：,5.3 误差传播定律,由此可知，算术平均值的中误差
14、比观测值的中误 差缩小了 倍。,函数式 全微分 中误差式,3.算术平均值的中误差式,由于等精度观测时， ，代入上式： 得,对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。,5.3 误差传播定律,想一想,对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，可以提高观测成果精度。请思考：观测次数越多，观测成果的精度越高？,分析,设观测值精度一定时，例如设m=1，当n取不同值时，按 计算mx的值如下表：,从上表中可以看出，随着n的增大，m值不断减小，精度不断提高，当观测次数到某一定数目后，精度提高得很少。因此，要提高精度，单靠增加观测次数是不经济的。,4.和或差函数的中误差,函数式：
15、 全微分： 中误差式：,当等精度观测时： 上式可写成：,5.3 误差传播定律,4.和或差函数的中误差,例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。,5.3 误差传播定律,解：列函数关系式： 求中误差式：,4.和或差函数的中误差,解：列函数关系式， C=180- A-B 对上式全微分：,由中误差式得：,5.3 误差传播定律,【例5-3】设在三角形ABC中，直接观测A和B，其中误差分别为mA=3和mB=4，试求由A和B计算C时的中误差mC。,观测值函数中误差公式汇总,算术平均值,线性函数,和差函数,倍数函数,一般函数,函数式 函数的中误差,观测值函数中误差公式汇总 （教材第120页表5-3）,误差传播定律的应用,例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解:(1)测量水平距离的精度 基本公式：,求全微分：,水平距离中误差：,其中：,1弧度=180/3.14*3600秒,误差传播定律的应用,例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解: (2)测量高差的精度 基本公式：,求全微分：,高差中误差：,其中：,误差传播定律的应用,例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差.,解: (1)周长 ,面积 ,周长的中误差为,全微分:,面积的中误差
