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1、第二章 行列式 练习题在本节中，设的一个排列，h(k)表示该排列中位于k后面且比小的数的个数；q(k) 表示该排列中位于k前面且比k大的数的个数。1. 求以下9 级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5;2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4;3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1;解:1) 所求排列的逆序数为:(134782695) =h(1)+h(3)+h(4)+h(7)+h(8)+h(2)+h(6)+h(9)+h(5)= 0 +1+1+ 3 + 3 + 0 +1+1 = 10所以此排列为偶排列.2) 所求排列的逆序数为: (217986354) =
2、 h(2)+h(1)+h(7)+h(9)+h(8)+h(6)+h(3)+h(5)+h(4) 1+ 0 + 4 + 5 + 4 + 3 + 0 +1 = 18所以此排列为偶排列.3) 所求排列的逆序数为:(987654321)=q(9)+q(8)+q(7)+q(6)+q(5)+q(4)+q(3)+q(2)+q(1) =0+1+2+3+4+5+6+7+8=36所以此排列为偶排列.2. 选择i与k使1) 1274i 56 k 9成偶排列;2) 1i 25 k 4897成奇排列.解: 1) 当i = 8, k = 3时, 所求排列的逆序数为:(1274 i56k 9)= (1274 8563 9)=1
3、0.当i = 3, k = 8时, 所求排列的逆序数为:(1274 i56k 9)= (1274 3568 9)=1=3.故当i = 3, k = 8时，该排列为偶排列.2)当i = 3, k = 6时, 所求排列的逆序数为:(1i25k4897 )= (132564897 ) = 0+1 +0 + 1+ 1+ 0+1 +1 =5故当i = 3, k = 6时的排列为奇排列. 3.写出把排列 12345 变成排列25341 的那些对换.解: 12435 (1,2)21435(2,5)25431(3,4)25341.4.决定排列n(n 1)21的逆序数,并讨论它的奇偶性.(n(n 1)21) =
4、q(n) +q(n-1) + +q(3) +q(2)+q(1)=1+2+3+n-1=.故当n=4k,4k+1时，排列为偶排列；当n=4k+2,4k+3时，排列为奇排列.5.如果排列的逆序数为k ,排列的逆序数是多少?解法1: 因为在中，比 x大的数有 n x个,而这n x个数会出现在这两个排列中x的前面，所以在这两个排列中，与x构成逆序的数一共有n x个，于是，两个排列的逆序总数为.而排列的逆序为k, 所以排列的逆序为-k.解法2：首先看第4题，排列n(n 1)21中任意两个元都构成一个逆序，所以其逆序总数为. 再同时考虑两个排列和，对于任意两个元xi和xj, 它们在这两个排列中必构成且只构成
5、一个逆序，事实上，若这两个数在中不构成逆序，则必在中构成逆序，反之亦然，从而这两个排列的逆序数之和为.6.在6 阶行列式中, 这两项应带有什么符号?解：两者的符号均为“+”，因为(234516)+(312645)=(1+1+1+1+0+0)+(2+0+0+2+0+0)=8.(341562)+(234165)=(2+2+0+1+1)+(1+1+1+0+1+0)=10.7写出4 阶行列式中所有带有负号并且因子a23的项。解： 所求的各项应是 a11 a23 a 32 a44 ， a 12a23 a34 a 41， a14 a 23 a 31 a42 .8按定义计算行列式：(1) 解：(1)考虑行列
6、式的通项0 于是的，所给行列式的展开式中只含有一个非零项，它前面的符号为原行列式的值等于(2) 所给行列式的展开式中只含有一个非零项，它前面的符号为原行列式的值等于(3) 所给行列式的展开式中只含有一个非零项，它前面的符号为原行列式的值等于9由行列式定义证明：证明：考虑行列式展开的通项中的，这三个元素取自第三，四和五行的不同的列，而这三行的五列元素中有三列全为零，所以中至少有一个元素为零，于是该行列式的任一项均为零。10 由行列式定义计算中x4与x3的系数，并说明理由。解：含有x4的展开项只能是a11 a22a 33 a44, 所以x4的系数为1。同理，含有x3的展开项只能是a 12a 21a
7、 33a 44, 所以x3的系数为-1。11. 由，证明奇偶排列各占一半。证明：由于行列式的每一个元素都是1，所以该行列式作为n!项的代数和，每一项都是n个1的乘积，从而每一项都为正1或-1，即，且当排列j1j2jn为奇排列时，该项等于-1，当排列j1j2jn为偶排列时，该项等于1。于是由得奇偶排列各占一半.12. 设，其中 a1 ,a2 ,an 是互不相同的数.1）由行列式定义，说明P(x)是一个n 1次多项式；2）由行列式性质，求P(x)的根.解：1）因为所给行列式中只有第一行含有 x，所以由行列式的定义，其每一项的n个因子中，至多有一个元是x的方幂，而该方幂最高位n-1,事实上,含有xn
8、1的对应项的系数恰为，所以P(x)是一个n 1次多项式。2）由行列式性质，当x分别取a1,a2,an-1时，p(ai)=0,所以P(x)的根为a1,a2,an-1。13. 计算下面的行列式：(1) (3) 与(2)类似，该行列式的特点也是各行（列）元素之和相等，所以(4) 该行列式的特点是相邻两行元素相差1，所以，自后向前，后行减去钱行：(5) (6) 14. 证明 证明：15. 算出下列行列式的全部代数余子式：(1), (2).解：(1) A11=-6, A12=0, A13=0, A14=0, A21=-12, A22=6, A23=0, A24=0, A31=15, A32=-6, A3
9、3=-3, A34=0, A41=7, A42=0, A43=1, A44=-2.(2) A11=7, A12=-12, A13=3, A21=6, A22=4, A23=-1, A31=-5, A32=5, A33=5.16. 计算下面的行列式：(1) (2) (3) =(4) 17. 计算下列行列式：(1) , 这是两条线型行列式，只需要按单个元素所在的行(或列)展开即可，按单个元素y所在的第一列展开，原行列式=(2) (当n3)(3) =(4) (5) 各列加到第一列：18证明：(1)这是一个箭形行列式，由于a1a2an0所以做如下变换， 使得出(1,1)位置的元外第一列的其它元素均为零
10、: (2) 这是一个Hessenberg型矩阵，解法1：按第一列展开，得于是：由 得解法2 自后向前，第i+1行乘以x加到第i行，即，(3) 这是一个三对角线型的行列式，按第一行展开，右端的行列式再按第一列展开，得到递推公式：由解法2：由递推：(4) 证明：当n=1时，D1=cosa, 结论成立.假设对于阶数小于等于n-1阶行列式结论均成立，即Dn-1=cos(n-1) a，Dn-2=cos(n-2) a，, D1=cosa.考虑n阶的情形, 按第n行展开：Dn=2cosaDn-1-Dn-2=2cosa cos(n-1) a- cos(n-2) a=2cosa cos(n-1) a- cos(
11、n-1) a-a=2cosa cos(n-1) a- cos(n-1) a cosa- sin(n-1) a sina= cos(n-1) a cosa- sin(n-1) a sina= cosna.(5) 对行列式做变换：r2-r1, r3-r1, ,rn-r1,可化为箭形行列式： ，其中19. 用克拉默法则解下列方程：(1) 解：得D=D1=D2=D3=D4=-70, 所以方程组有唯一解： x1=x2=x3=x4=1.(2) D=324, D1=324, D2=648, D3=-324, D4=-648, 所以方程组有唯一解：x1=1, x2=2, x3=-1, x4=-2.(3) D=
12、24, D1=96, D2=-336, D3=-96, D4=168, D5=312, x1=4, x2=-14, x3=-4, x4=7, x5=13.(4) D=665, D1=1507, D2=1145, D3=703, D4=395, D5=212, 所以方程组有唯一解：x1=665/1507, x2=-229/133, x3=37/35, x4=-79/133, x5=212/665.20设a1 ,a2 , ,an是数域P中互不相同的数， b1 ,b2 , ,b n是数域P中任一组给定的数，用克拉默法则证明：有唯一的数域P 上的多项式使得解：由得线性方程组：，其未知量即为所求多项式f
13、(x)的系数c1 ,c2 , ,cn-1, 其系数行列式D为范德蒙行列式，由条件a1 ,a2 , ,an互不相同，于是, 从而该方程组存在唯一的解，即所求多项式是唯一的.21设水银密度h 与温度t 的关系为h = a0 + a1 t + a2 t + a3 t2, 由实验测定得以下数据：t0oC10oC200C30oCh13.613.5713.5513.52求t = 15 ，40 时的水银密度（准确到两位数）.解：将t,h的实验数据代入关系式h = a0 + a1 t + a2 t + a3 t2，当h=0时，得a0 =13.6，所以得到线性方程组：其系数行列式D=121060, D1=-50
14、00, D2=1800, D3=-40, 方程组有唯一解：a1=-0.0042，a2=0.00015，a3=-0.0000033，所求关系式为h = 13.6 -0.0042 t + 0.00015 t -0.0000033 t2再将t = 15,t = 40分别代入上式，其水银密度分别为h t=15=13.56, h t= 40 = 13.48.补充题1. 解法1考虑行列式的行指标和列指标，第i行元素的行指标为i,而第j列元素的列指标为ij, 对行列式作列的交换，使得其列指标的顺序由原来的变为自然排列12n，设经过k次列的交换，完成上述过程，则k与有相同的奇偶性，即再考虑到奇偶排列各占一半，得解法2. 在12n的全部n!个排列中，奇偶排列各占一半，且对于任一个排列，都有一个排列与之对应，且 ，所以原式=0.2. 证明： 3. 证明(1)证明：如上是一个n+1阶行列式，设其第一行的代数余子式记作A1,A2,An+1, 按第一行把该行列式展开，得原式= A0+A1+,+An, 其中当k=12,3,n时：所以，(2) 证明：由(1)题，在上式左端，作c1-c2, c2-c3, , cn-1-cn: 结论成立.4. 计算下列n阶行列式：(1) (2) (3) 解法1： 令，得解法2 由于是有解法3：解法4由按第一行展开：解法2直接按第一行展开，得考虑到范德蒙行列式，若把该行列式按第n+
