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1、19.2.3一次函数与方程、不等式1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系.2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集.3.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,并能通过图象法来求二元一次方程组的解.通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究,引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系,发展学生的辩证思维能力.在探究活动中,让学生体会数学知识的融会贯通,发现数学的美,以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心.【重点】1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的
2、转化关系及本质联系.2.掌握用图象求解方程、不等式的方法.【难点】根据一次函数的图象求解方程和不等式.【教师准备】教学中出示的例题.【学生准备】预习本节内容. 导入一:问题1画出函数y=x+3的图象,并解答:(1)x取什么值时,函数值 y等于3,0,-3?(2)x取什么值时,函数值 y始终大于零?学生画出函数的图象,按照要求独立思考问题.追问:你是如何求x的值?学生完成后,说出自己的方法和结果.(1)分别令y=3,0,-3,得到方程:x+3=3,x+3=0,x+3=-3,分别解这些方程得:x=0,x=-2,x=-4.(2) 当y0时,即x+30,解不等式得x-2.追问:一元一次方程x+3=3,
3、x+3=0,x+3=-3与函数y=x+3有什么关系?你能利用一次函数的图象求出方程的解吗?学生思考探究,讨论交流,并总结结论:从数的角度看:求一元一次方程x+3=3,x+3=0,x+3=-3的解就是求函数y=x+3当y的值为3,0,-3时对应的自变量x的值.从形的角度看:也是求当一次函数的图象上纵坐标分别为3,0,-3时点的横坐标.问题2不等式x+30的解集与函数y=x+3有什么关系?你能用一次函数的图象解不等式吗?教师引导学生讨论交流,发现:从数的角度看:不等式x+30的解集就是函数y0时自变量x的取值范围.从形的角度看:也就是直线y=x+3在x轴上方部分点的横坐标x的取值范围.从以上过程可
4、以看出,一次函数与方程、不等式有着密切的关系,这就是我们这节课要学习的内容一次函数与方程、不等式.设计意图通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程、不等式的问题,进而加深对数形结合思想的认识与理解.导入二:问题1(1)解方程2x-4=0.(2)当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值为0? (3)从上述两个问题中,你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗?(4)画出函数y=2x-4的图象,并确定它与x轴的交点坐标.学生按要求探究,并总结结论.从数的角度看:一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4的y为0时x的值.从形的角度看:一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x
5、-4图象与x轴交点的横坐标. 问题2(1)解不等式:2x-40(2)当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值大于0?(3)观察函数y=2x-4 的图象,回答问题:当x时,y=2x-4 0,当x时,y=2x-4 0的解集是一次函数y=2x-4的y值大于0时x的取值范围.从形的角度看:解一元一次不等式2x-40(或2x-43,(2)2x+10,(3)2x+11,x-,x0或ax+b0的形式.因此,解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求x的取值范围.或者在函数y=ax+b图象上找出纵坐标大于0或小于0的部分,看这些点的横坐标满足什么条件.设计意图理解和掌握一次函数与
6、一元一次不等式之间的联系,让学生明确解决问题应从变化与对应的观点去考虑,善于观察、总结,提高学生的概括能力.思路二用画函数图象的方法解不等式5x+42x+10.方法一:原不等式可以化为,画出直线y=的图象,可以看出,当x时这条直线上的点在x轴的下方.即这时y=0,所以不等式的解集为:.方法二:将原不等式的两边分别看作一次函数,画出直线y=与直线y=.可以看出,它们交点的横坐标为.当x时,对于同一个x,直线y=上的点在直线y=上的相应点的方,这时5x+40或ax+b0(a,b为常数,a0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大于(或小于)0时,求自变量相应的取值范围.设计意图通过这
7、一活动使学生熟悉一元一次不等式与一次函数值大于或小于0时,自变量取值范围问题间的关系,并寻求出解决这问题的具体方法.用函数的观点认识其数学概念的主要作用不是单纯的解题,而是加强知识间的融会贯通.3.探究一次函数与方程组的关系思路一探究:1号探测气球从海拔5 m处出发,以1 m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15 m处出发,以0.5 m/min的速度上升.两个气球都上升了1 h.(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数关系;(2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?引导学生从实际问题
8、中抽象出具体的数学问题,并应用所学方法求解.帮助学生建立函数模型,得到不同的解决方法,并展示规范解答.解:(1)两个气球所在位置的海拔高度y(m)与上升时间x(min)的函数关系分别是:1号气球:y=x+5;2号气球:y=0.5x+15.自变量x的范围是0x60.追问:“在某个时刻两个气球位于同一高度”说明它们两个函数关系式中的x和y的值要满足什么关系?如何求出x和y的值?学生思考后总结.在某时刻两个气球位于同一高度,就是说对于x的某个值,函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此容易想到解二元一次方程组.解:(2)由题意得 解得当上升20 min时,两个气球都位于海拔25 m的高度.追问:在同一直角坐标系中,画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象,观察这两条直线有交点吗?并思考:交点坐标是不是的解?为什么?学生画图后发现,这两条直线的交点为(20,25),说明当上升20 min时,两个气球都位于海拔25 m的高度.也就是说交点坐标也就是方程组的解. 教师引导学生归纳总结:(1)一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写成y=ax+b的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线,这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这
