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1、.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征,第二课时,知识探究（二）：标准差,样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.,引例：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9
2、 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？,甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？,环数,甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定.,4,5,6,7,8,9,10,环数,频率,0.1,0.2,0.3,(甲),4,5,6,7,8,9,10,0.1,0.2,0.3,0.4,环数,频率,(乙),直观上看,还是有差异的.如:甲成绩比较分散,乙成绩相对集中(如图示).因此,我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例如:在作统计图表时提到过的极差. 甲的环数极差=10-4=6 乙的环
3、数极差=9-5=4. 它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显然,极差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的统计策略.,s0，标准差为0的样本数据都相等.,标准差,标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.它用来描述样本数据的离散程度.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性.,规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小.,用计算器可算出甲,乙两人的的成绩的标准差,由 可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.,上面两组数
4、据的离散程度与标准差之间的关系可用图直观地表示出来.,从标准差的角度来考察这两组数据：,附：,1.标准差的平方s称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.,2.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性.,例1 画出下列四组样本数据的直方图，说明它们的异同点.,（1）,（2）,（3）,（4）,四组数据的平均数都是5.0,标准差分0.00,0.82,1.49,2.83.虽然它们有相同的平均数,但是它们有不同的标准差,说明
5、数据的分散程度是不一样的.,例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm）：,甲 ： 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39,乙： 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25
6、.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48,从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高？,甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程度较高，故甲生产的零件质量较高.,说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差. 2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是总体的平均数.,解：,例3 以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在550分，若某同学今年高考得了520分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？,要点：（1）查往年录取的
7、新生的平均分数.若平均数小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以报考； （2）查往年录取的新生高考总分的标准差.若标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最低录取线可能较低，可以考虑报考.,例4 在去年的足球甲A联赛中，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4.你认为下列说法是否正确，为什么？ （1）平均来说甲队比乙队防守技术好； （2）乙队比甲队技术水平更稳定； （3）甲队有时表现很差，有时表现又非常好； （4）乙队很少不失球.,例5 有20种不同的零食，它们的热量含量如下： 110 120 123 165
8、 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140,（1）以上20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差； （2）设计一个适当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本，计算样本的平均数和标准差.,（1）总体平均数为199.75，总体标准差为95.26.,（2）可以用抽签法抽取样本，样本的平均数和标准差与抽取的样本有关.,甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同,但甲的标准差比乙的小,所以甲的生产比较稳定.,练习：,解 : (1) 平均重量约为496.86 g , 标准差约为s=6.55.,(2)重量位于(x-s
9、, x+s)之间有14袋白糖,所占百分比为66.67%.,小 结,2、对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的平均数与标准 差都会发生改变.如果样本的代表性差，则对总体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有代表性，则对总体作出错误估计的可能性就非常大，由此可见抽样方法的重要性.,3、在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，如从一个包含6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本就有20中可能抽样，因此样本的数字特征也有随机性. 用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有惟一答案.,4、在实际应用中，调查统计是一个探究性学习过程，需要做一系列工作，我们可以把学到的知识应用到自主研究性课题中去.,1、平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在实际应用中，我们常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策.,作业： P81习题2.2 A组：6，7. B组：1.,
