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1、第三章 函数的连续性一，函数连续性的定义（极限定义）1 第一定义：设函数在某个内有定义，如果极限存在并且=则称函数在点连续或称是的一个连续点。解析:注意连续函数的邻域与极限邻域的区别与联系(局部性定义)2 第二定义： 设函数在某个内有定义，如果对于任意的正数0,存在使得当时有 则称在点连续,特别地,若记，.则有=0时, =0。解析：连续函数与函数极限的联系：直观地讲,当自变量的改变量()非常小时函数相应的改变量也非常小,则就叫做连续函数。 由于的引入使得在某点连续扩展到区间连续。 该定义体现了自变量所对应的点填满了整条曲线.换句话说.曲线可以一笔画出. 表明了可导与连续的关系。 用定义证明函数
2、连续性的一般步骤：检查函数在点处及其附近是否有定义两种操作(由选择定义的不同而不同):求极限根据自变量的初值和终值求出函数的增量 两种操作(由选择定义的不同而不同):检验与是否相等求极限是否为0。3 单侧连续（左（右）连续）：设在某个（或）上有定义，如果=（或=）则称在点=右（左）连续。左(右)连续与连续之间的关系:在某点既左连续又右连续则记称在该点连续。解析:类比于单侧极限。4. 一致连续性(区间连续性):设函数f(x)在区间I上有定义,如果对于任意给定的正数总存在着正数使得对于区间I上的任意两点当时就有,那么称函数在区间上是一致连续的.如果函数在上连续那么它在该区间上一致连续。解析: 与柯
3、西(Cauchy)准则的联系。如果函数在某区间上每一点都连续则称在该区间上连续.如果函数在非开区间内每一点连续,而在端点处单侧连续(即在左端点右连续,在右端点左连续)则称在整个区间上一致连续。二，函数的间断点及其分类:1 定义:使函数不连续的点叫做函数的间断点(或不连续点)。解析: 间断情况的三种情形(函数在点的某去心邻域内有定义)在=没有定义。虽然在=有定义但不存在。虽在=有定义且存在但。2 间断点的分类(按照函数在间断点处的左右极限是否存在)第一类间断点:当在间断点的左右极限都存在时, 就叫做的第一类间断点。(其中第一类间断点包括可去间断点(对该点通过补充定义可以连续)和不可去间断点(或跳
4、跃间断点)即:第一类可去间断点:函数在点处无定义,但存在或函数在点处有定义为但 (特点:函数在点处间断但有极限)不可去间断点(或跳跃间断点): 函数在点处的两个单侧极限存在,但函数在该点无极限,即第一类间断点定理:设函数在开区间I上单调,如果存在间断点的话,则函数在开区间I上只有第一类间断点第二类间断点:当函数在间断点处的左右极限至少有一个不存在时, 就叫做的第二类间断点.( 其中第二类间断点包括无穷大间断点和无穷振荡间断点)即:无穷大间断点:如果在点处函数的极限为无穷大,则称点为第二类无穷大间断点第二类无穷振荡间断点:如果当时函数产生无穷振荡(函数值在某一范围之间变动无限多项)则点称为函数的
5、第二类无穷振荡间断点。三，连续函数的性质:1 四则运算性质:有限个连续函数的和差积商仍为连续函数。2 复合运算: 有限个连续函数的复合仍为连续函数。3 连续函数与函数极限的关系:若函数为连续函数,那么进行极限运算时可将极限符号移入函数符号之内,达到简化目的。4 局部性质(极限角度) (1). 局部保号性:设函数:I在点连续且则存在当时有局部有界性:设函数:I在点连续,则存在使在上有界。5 如果函数在点连续则在点也连续(利用极限定义证明)特别地,若及都是连续函数则,及也是连续的即:。6 闭区间上连续函数的性质: 最值定理:在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值和最小值(有界性) 解
6、析:在闭区间上连续的函数在这个区间上取得最大(小)值是唯一的（值域的角度）,但取得最大(小)值的最大(小)值点则不一定是唯一的（定义域的角度）。介值定理:设函数在闭区间上连续且在区间的端点取不同的函数值: =及=,那么对于与之间的任意一个数在开区间内至少有一点使得 ()。解析: 几何意义:连续曲线弧=与水平直线=至少有一个交点。 该定理表明:通过闭区间端点值的属性来研究开区间内函数值的性质。 推论:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。零点定理:设函数在闭区间上连续且与异号(即)那么在开区间内至少有一点使。解析: 介值定理与零点定理的统一性。 与方程根的分布及近似解有关进而
7、引进了一种求解高次代数方程或其他类型方程近似根的有效方法二分法。可使其根可达到任意精度。其方法的过程：判断一根在之间，则为加强其精度，则取其中点，再应用零点定理对中点与端点进行符号判断，依次进行下去，进而无限二分，无限应用零点定理直至比较精确为止。其误差小于。 应用该定理时需构造函数,其具有试验的意味。此定理与单调性的结合判断“只有性”问题。四，几类函数的连续性:1 复合函数的连续性:设函数是由函数与函数复合而成,若函数在连续且而函数在连续则复合函数在也连续。2 反函数的连续性:如果函数=在区间上严格单调且连续,那么其反函数也在对应的区间上严格单调且连续。解析:函数是区间上为单值,严格单调的函数。3 分段函数的连续性的判断:判断各子区间上的连续性判断衔接点处的连续性。4 初等函数的连续性:一切初等函数在其定义区间内都是连续的。五,函数连续性的证明方法1 利用定义证明(通法)。2 利用其性质证明。 第4页
