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1、第六章 单元形函数的构造16.1形函数构造的一般原理16.2形函数的性质76.3用面积坐标表达的形函数86.4有限元的收敛准则106.5 等效结点载荷列阵116.5.1 单元载荷的移置116.5.2 结构整体载荷列阵的形成116.5.3载荷移置与静力等效关系12习题14第六章 单元形函数的构造在有限单元法的基本理论中，形函数是一个十分重要的概念，它不仅可以用作单元的内插函数，把单元内任一点的位移用结点位移表示，而且可作为加权余量法中的加权函数，可以处理外载荷，将分布力等效为结点上的集中力和力矩，此外，它可用于后续的等参数单元的坐标变换等。根据形函数的思想，首先将单元的位移场函数表示为多项式的形
2、式，然后利用结点条件将多项式中的待定参数表示成场函数的结点值和单元几何参数的函数，从而将场函数表示成结点值插值形式的表达式。在本节中，重点讨论几种典型单元的形函数插值函数的构造方式，它们具有一定的规律。然后以平面三角形单元为例，讨论了形函数的性质，在此基础上分析了有限元的收敛准则。6.1形函数构造的一般原理单元的类型和形状决定于结构总体求解域的几何特点、问题类型和求解精度。根据单元形状,可分为一维、二维、三维单元。单元插值形函数主要取决于单元的形状、结点类型和单元的结点数目。结点的类型可以是只包含场函数的结点值，也可能还包含场函数导数的结点值。是否需要场函数导数的结点值作为结点变量一般取决于单
3、元边界上的连续性要求，如果边界上只要求函数值保持连续，称为C0型单元，若要求函数值及其一阶导数值都保持连续，则是C1型单元。在有限元中，单元插值形函数均采用不同阶次的幂函数多项式形式。对于C0型单元，单元内的未知场函数的线性变化仅用角（端）结点的参数来表示。结点参数只包含场函数的结点值。而对于C1型单元，结点参数中包含场函数及其一阶导数的结点值。与此相对应，形函数可分为Lagrange型（不需要函数在结点上的斜率或曲率）和Hermite型（需要形函数在结点上的斜率或曲率）两大类，而形函数的幂次则是指所采用的多项式的幂次，可能具有一次、二次、三次、或更高次等。另外，有限元形函数N是坐标x、y、z
4、的函数，而结点位移不是x、y、z的函数，因此静力学中的位移对坐标微分时，只对形函数N作用，而在动力学中位移对时间t微分时，只对结点位移向量作用。 （1）一维一次两结点单元 图3-8 一维一次两结点单元模型设位移函数u(x)沿x轴呈线性变化,即 (5.90)写成向量形式为 (5.91)设两个结点的坐标为；两结点的位移分别为，可以代入上式并解出，得 (5.92)位移函数u(x)记作形函数与结点参数乘积的形式 (5.93)得到形函数为 (5.94)在自然坐标系内进行定义，则可得到形函数的标准化形式 (5.95)其中，自然坐标的变换公式为。图3-9一维一次两结点单元的局部坐标表达（2）二维一次三结点单
5、元（平面三角形单元）在总体坐标系统下，任一点的某一方向的位移是 (5.96)设三个结点的坐标是，为三个结点在某方向上的位移，具有如下关系 (5.97)得到形函数矩阵如下式 (5.98)上述推导可用如下MATLAB程序实现：clearv=sym(1, x,y)m=sym(1,x1,y1;1,x2,y2;1,x3,y3)mm=inv(m)N=v*mmsimplify(factor(N)（3）三维一次四结点单元（三维四面体单元）在总体坐标系统下，任一点的某一方向的位移是 (5.99)按相似的方法可以得到 (5.100)形函数矩阵如下式 (5.101)（4）一维二次三结点单元（高次单元）图3-10一维
6、二次三结点单元模型设位移函数为 (5.102)用结点位移代入并求解, (5.103)得到 (5.104)上式等号右端第一项矩阵即为形函数。（5）一维三次四结点单元（Lagrange型） 图3-11 一维三次四结点单元模型位移函数为三次方程 (5.105)需要四个结点参数才能唯一地确定其中的常系数。这四个结点可以分别取两个端点和两个三分点。类似地，可以得到如下形函数方程 (5.106)其中形函数中的各元素为，. (5.107)（6）一维三次二结点单元（Hermite型）（平面梁单元）图3-12 一维三次二结点单元这类单元的位移函数为 (5.108)对应的转角方程为 (5.109)用结点参数代入求
7、解，即 (5.110)得到 (5.111)其中形函数矩阵中各元素为， (5.112)上述结果可用MATLAB程序进行验证：clearx=sym(x);j=0:3;v=x.j % v=1 x x2 x3;m=sym(1,x1,x12,x13;1,x2,x22,x23;0,1,2*x1,3*x12;0,1,2*x2,3*x22)mm=inv(m)N=v*mm;simplify(factor(N)（7）二维一次四结点单元（平面四边形单元或矩形单元）用形函数表达的位移方程如下 (5.113)其中形函数矩阵的元素为，i=1,2,3,4 (5.114)对于平面四边形单元和矩形单元,可用局部坐标系统很好地加
8、以解释。局部坐标的范围定义为-1+1,四个结点的值固定。局部坐标系下的形函数为 (5.115) 图3-13 二维一次四结点单元（8）三维一次八结点单元在三维一次单元形函数中，函数值沿三坐标轴（x、y、z轴）呈线性变化。假设位移函数沿各坐标轴的线性变化可写成 (5.116)假设在i结点的位移值为ui，并将数值代入上式，其他各结点(j,k,l,m,n,p,q)亦类推，共有8个式子，其中第1式如下 (5.117)可是以求得系数解 (5.118)则有 (5.119)最后得到形函数的表达式为 (5.120)（9）帕斯卡三角形上述各种位移函数的构造有一定的规律，可以根据所谓的帕斯卡三角形加以确定，同时，这
9、样制定的位移模式，还能够满足有限元的收敛性要求。以下是几种典型情况。一维两结点单元的情况：图3-14 一维两结点单元的变量组成一维三结点单元的情况：图3-15 一维三结点单元的变量组成二维高阶单元的情况：常数项线性项二次项三次项四次项五次项图3-16 二维高阶单元的变量组成三维四结点单元的情况：图3-17 三维四结点单元的变量组成6.2形函数的性质下面以平面三角形单元为例讨论形函数的一些性质。平面三角形单元的形函数为， （i =1, 2 , 3） (a)其中，为三角形单元的面积，为与结点坐标有关的系数，它们分别等于公式中的行列式的有关代数余子式，即a1 、b1 、c1 ，a2 、b2 、c2
10、和a3 、b3 、c3 分别是行列式中的第一行、第二行和第三行各元素的代数余子式。对于任意一个行列式, 其任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。因此有：第一，形函数在各单元结点上的值，具有“本点是1、它点为零”的性质，即在单元结点1上，满足 (b)在结点2、3上，有 (c) (d)类似地有 (e)第二，在单元的任一结点上，三个形函数之和等于1，即 (f)简记为 (g)这说明，三个形函数中只有二个是独立的。第三，三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端结点坐标有关、而与其它结点坐标无关。例如
11、，在23 边上有 (h)这一点利用单元坐标几何关系很容易证明。根据形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。例如，单元123和124具有公共边12。由上式可知，在12边上两个单元的第三个形函数都等于0，即 (i)不论按哪个单元来计算，公共边12上的位移均由下式表示 (j)可见，在公共边上的位移u、v 将完全由公共边上的两个结点1、2的位移所确定，因而相邻单元的位移是保持连续的。6.3用面积坐标表达的形函数为了能够更好地理解形函数的概念，这里引入面积坐标。在如图5.18所示的三角形单元ijm中，任意一点P(x , y)的位置可以用以下三个比值来确定图3-18 平面三角形单元的面积坐标 (5.121)式中，D三角形单元ijm的面积，Di 、Dj 、Dm 三角形Pjm、Pmi、Pij的面积。Li ，Lj ，Lm叫做P点的面积坐标。显
