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1、第页1 目录目录 【题型 1】球的性质的应用.3 【题型 2】 “双直角”型.5 【题型 3】 “墙角”型. 6 【题型 4】 “四面全等”型.8 【题型 5】 “固化”型. 9 【题型 6】 “大小圆垂直”型.11 【题型 7】 “直棱柱”型.13 【题型 8】 “正棱锥”型.14 【题型 9】 “两面”型.15 【题型 10】 “最值”问题.17 第页2 前言前言 “三视图问题” 、 “球的问题” 、 “立体几何证明题”是数学高考立体几何门派的“三大剑客” ，曾秒 杀无数考生，特别是“球的问题”始终是高考的热点问题，题型为选择或填空。题目难度跨度大，其 中有简单题，中等题有时也会有难题。它
2、直接或间接的以球为载体综合考查空间几何体的体积、表面 积计算， 解题过程中又蕴含几何体线面关系的识别与论证。所以很少有哪个知识点能像球那样微观上 把“数”与“形”数学中两大基本元素完美契合，宏观上实现代数与几何平滑过渡.可是这类问题缺 乏几何直观，具有高度抽象性，区分度高，得分率低，属于学生畏惧，老师头疼的难点问题。不过这 类问题有很强的规律性，若在平时解题中探索反思，注意总结，能找到通法，是我们学生潜在的得分 点；同时研究它为处理空间几何体的证明问题锻炼能力，为解决三视图问题开拓思路。 知识准备知识准备 （1）等边三角形相关：面积、外接圆半径，内切圆半径； （2）直角三角形、等腰三角形、矩形
3、圆心位置； （3）球的性质： 【性质性质 1 1】球的任意一个截面都是圆球的任意一个截面都是圆. .其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆. . 已知球O的半径为R. （1）若截面经过球心O. 如图 1，设A是截面与球面的任意一个交点，连接OA.由球的定义可知，OAR， 所以点A的轨迹是以O为圆心，R为半径的圆，即该截面是圆. （2）若截面不经过球心O. 如图 1，设球心O在截面上的射影为 1 O，B是截面与球面的任意一个交点，连接 1 OO，OB和 1 O B，则OBR为 定值，且 1 OO也为定值，所以 22 11 O
4、BROO为定值，因此，点B的轨迹是以 1 O为圆心， 1 O B为半径的圆，即 该截面也是圆. 【性质【性质 2 2】球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. .反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆 的圆心的圆心. . 如图 2 所示，若圆 1 O是球O的小圆，则 11 OOO圆面. 证明：如图，设AB，CD分别是圆 1 O的两条直径，连接OA，OB，OC，OD， 1 OO. 依题意可得OAOB，所以 1 OOAB. 第页3 同理可得 1 OOCD，又因为 1 ABCDO，所以 11 OOO圆
5、面. 【性质【性质 3 3】如图如图 2 2，设球，设球O的半径为的半径为R，球，球O的小圆的圆心为的小圆的圆心为 1 O，半径为，半径为r，球心，球心O到小圆到小圆 1 O的距离的距离 1 OOd， 则由性质则由性质 2 2 得得 22 dRr，或，或 22 rRd. . 【性质【性质 4 4】球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心. . 如图 3，设球O的两个平行截面的圆心分别为 1 O， 2 O，连接 1 OO， 2 OO，由性质 3 可知， 11 OOO圆面，又因 为 12 / /OO圆面圆面， 所以 12 OO
6、O圆面.同理可得， 21 OOO圆面，且 22 OOO圆面， 所以O， 1 O， 2 O三点共线，因此， 12 OO垂直于 1 O圆面和 2 O圆面，且 12 OOO. 【性质【性质 5 5】球的直径等于球的内接长方体的对角线长球的直径等于球的内接长方体的对角线长. . 【性质【性质 6 6】若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心则该球的球心O是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的 中点中点. . 【例【例 1 1】已知球O的半径为 2，圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面积分别为2和， 则|M
7、N （） A1B3C2D5 【变式 1.1】已知三棱锥ABCS 的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 1 的正三角形，SC为球O的 直径，且2SC，则此棱锥的体积为（） A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 【变式 1.2】已知三棱锥ABCS 的各顶点都在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC， rAC2，则球的体积与三棱锥体积的比值是. 【变式 1.3】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6AB ，2 3BC ，则棱锥OABCD 的体积为. 【变式 1.4】已知A，B是球O的球面上两点，90AOB，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的 最大
8、值为36，则球O的表面积为() A.36B.64B.144D.256 第页4 【变式 1.5】设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得到圆 C，若圆 C 的 面积等于 4 7 ，则球 O 的表面积等于_ 【例【例 2 2】 已知球的直径 SC=4， A、 B 是该球球面上的两点， AB=3， ASC=BSC=30， 则棱锥 S-ABC 的体积为 （） A.33B.32C.3D.1 【变式 2.1】高为 2 4 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点 S、A、B、C、D 均在半径为 1 的同一个球面 上，则底面 ABC
9、D 的中心与顶点 S 之间的距离为（） A. 4 2 B. 2 2 C.1D.2 第页5 【例【例 1 1】三棱锥 P-ABC，若 PB=2AB=2BC=4，AC=3，PA=PC=32，则该三棱锥外接球表面积为； 【变式 1.1】图为某多面体的三视图，则该多面体体的外接球表面积为； 第页6 【例【例 1 1】已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球 O 的表面 积为为（） A.153B.160C.169D.360 【变式 1.1】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（） A. 2 17 B.34C
10、. 3 3417 D.3417 【变式 1.2】如右图，四面体 ABCD 的正视图和左视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形，记四面体 ABCD 的体积为 V1， 其外接球的体积为 V2，则 1 2 V V . 【例【例 2 2】在三棱锥 P-ABC 中，ABBC，AB=BC=2，PA=PC=2，AC 中点为 M，COSPMB= 3 3 ，则此三棱锥的外接球 的表面积为（） A. 2 3 B.2C.6D.6 【变式 2.1】在正三棱锥 SABC 中，M、N 分别是 SC、BC 的中点，且 MNAM，若侧棱 SA=32，则正三棱 SABC 外接球的表面积为（） A.12B.32C.36D.48 【
11、变式 2.2】在正三棱锥 S-ABC 中，M 是 SC 的中点，且 AMSB，底面边长 AB=22，则正三棱锥 S-ABC 的外接球 的表面积为（） A.6B.12C.32D.36 第页7 A BC D E F E F D A 【例【例 3 3】 （墙角模型的应用）（墙角模型的应用）已知在三棱锥PABC中，PA 面ABC，PCAB，若三棱锥PABC的外接 球的半径是 3， ABCABPACP SSSS ，则S的最大值是（） A.36B.28C.26D.18 【变式 3.1】已知正三棱锥 PABC，点 P，A，B，C 都在半径为3的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球 心到截面 AB
12、C 的距离为. 【变式 3.2】已知三棱锥 P-ABC 的顶点都在同一个球面上（球 O） ，且 PA=2，PB=PC=6，当三棱锥 P-ABC 的三个侧 面面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O的体积的比值是（） A. 16 3 B. 8 3 C. 16 1 D. 8 1 【变式 3.3】如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点AED，EBF，FCD 分别沿 DE， EF，FD 折起，使 A，B，C 三点重合于点 A,若四面体 AEFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（） A.2B. 5 2 C. 11 2 D. 6 2 【变式 3.4】三棱锥
13、 A-BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，ABC、ACD、ADB 的面积分别为 2 2 、 2 3 、 2 6 ， 则该三棱锥的外接球的表面积为（） A.2B.6C.64D.24 第页8 【例【例 1 1】在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且aCDAB，bDABC，cBDCA， 则 222 cba等于（） A16B8C4D2 【变式 1.1】四面体ABCD中，5 CDAB，34 DABC，41 BDCA，则四面体ABCD的外接球 体积为。 【变式 1.2】四面体ABCD中，29 CDAB，34 DABC，37 BDCA，则四面体ABCD的外 接球的表面积为。 【变式 1
14、.3】四面体ABCD中，10 CDAB，5 DABC，13 BDCA，则四面体ABCD的外接 球的表面积为。 【例【例 2 2】如图，长方体 1111 DCBAABCD 的三个面的对角线 1 AD，BA1，AC的长分别是 1，2，3，则该长方体 的外接球的表面积为； 【例【例 3 3】四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，3DACDBCAB，32 BDAC，则该球的表面 积为。 【例【例 4 4】某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （） A. 3 4 B. 2 3 C.D.3 【变式 4.1】一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图
15、、侧视图、俯视图都是下图图中圆内有一个以 圆心为中心边长为 1 的正方形则这个四面体的外接球的表面积是（） A.2B.3C.4D.5 第页9 【例【例 1 1】已知正四面体的边长为a，则其外接球的半径为； 【变式 1.1】已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若该球球心与正四面体的一边的一个截面如图所示，且 图中三角形（正四面体的截面）的面积为2，则该球的体积为； 【例【例 2 2】设正三棱锥PABC的底面边长为a，侧棱长为b的所有顶点都在一个球面上，证明：该球的半径 3 2 2 2 2 a b b R . 【变式 2.1】半径为 1 的三个球A，B，C平放在平面上，且两两相切，其上放置一半径为 2 的球D，由四个 球心A，B，C，D构成一个新四面体，则该四面体外接球O的表面积为（） A. 243 23 B. 243 92 C.9D. 18 69 23 【例【例 3 3】已知正四棱锥的每条棱均为a，则其外接球的半径为； 【变式 3.1】正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点SABCD、 、 、 、都在同一球面上，则此球 的体积为. 【例【例 4 4】设底面边长为a，侧棱长为b的正四棱锥的顶点都在一个球面上，证明：该球的半径 2 2 2 2 2 a b b R . 【变式 4.1】在四棱锥PABCD中，PB 底面ABCD，底面ABCD是边长为 2 的正方形.若直
