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1、题型一题型一求数值型矩阵的逆矩阵求数值型矩阵的逆矩阵 基本方法有：基本方法有： 1.1.定义法：设定义法：设A A的逆矩阵为的逆矩阵为X X，由，由AX=EAX=E（或（或XA=EXA=E），求出），求出X X即可。即可。 2.2.公式法：公式法： 3.3.初等变换法：初等变换法： A A A 1 1 )()( 1 AEEA 4.4.分块求逆法：若分块求逆法：若A A能分成以下类型之一时能分成以下类型之一时 0 0 , 0 , 0 , 0 0 21 12 2221 11 22 1211 22 11 A A AA A A AA A A 当当A11，A22可逆时，可用分块求逆公式进行计算可逆时，可
2、用分块求逆公式进行计算 本资料由RUC服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing ，小福代广大福粉先行谢过。 例例1.设设A1，A2分别为分别为m,n阶矩阵，试求阶矩阵，试求 的逆矩阵。的逆矩阵。 43 21 AA AA A 解： 43 211 - XX XX A令 得 n m EXAXA XAXA XAXA EXAXA 4423 4221 3413 3211 0 0 则 1 3 1 4211 )( AAAAX 1 2 1 1342 1 12 )( AAAAAAX 1 3 1 4213 1 43 )( AAAAAAX 1 2
3、 1 1344 )( AAAAX 即 1 2 1 134 1 3 1 4213 1 4 1 2 1 1342 1 1 1 3 1 4211 )()( )()( AAAAAAAAAA AAAAAAAAAA A 本资料由RUC服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing ，小福代广大福粉先行谢过。 例例2.设设A，B，A+B都是可逆矩阵，试求：（都是可逆矩阵，试求：（A-1+B-1）-1。 解： （1） A-1+B-1=B-1（BA-1+E）=B-1（BA-1+AA-1） = B-1（A+B）A-1 （2）（ A-1+B-1）-1
4、= B（A+B）-1A 本资料由RUC服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing ，小福代广大福粉先行谢过。 题型二题型二 A为抽象矩阵，讨论为抽象矩阵，讨论A的可逆性的可逆性 1.1.证明证明A A可逆的方法可逆的方法 （1）把已知矩阵等式写为AB=C的形式， AB=AB=C0知A0，从而可逆； （2）证明AX=0只有零解，则A0，从而可逆； （3）证明的特征值全不为零即可。 2.2.证明证明A A不可逆的方法不可逆的方法 （1）反证法，假设A可逆，再在等式两边乘以A-1，导出矛盾； （2）直接计算A=0； （3）证明A有
5、零的特征值； （4）证明AX=0只有非零解，则A不可逆。 本资料由RUC服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing ，小福代广大福粉先行谢过。 例例1.设设n阶矩阵阶矩阵A满足关系式满足关系式A3+A2-A-E=0，证明，证明A可逆，并可逆，并 求求A-1。 解：由A A3 3+A+A2 2- -A A- -E=0E=0可得可得A A（A A2 2- -A A- -E E） ）=E=E 从而 A A（A A2 2- -A A- -E E）= （A A2 2- -A A- -E E） A =1 于是A0，故A可逆，且A-1=
6、A A2 2- -A A- -E E 本资料由RUC服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing ，小福代广大福粉先行谢过。 例例2.设设A，B为为n阶矩阵，且阶矩阵，且E-AB可逆，证明可逆，证明E-BA可逆。可逆。 解： 用反证法 设E-AB不可逆，则存在X00，使（E-AB）X=0=0 即 X= BAXX= BAX 于是 AX= ABAXAX= ABAX ，令Y =AXY =AX，则Y0Y0， 否则若Y=0Y=0，则有X=BAX=BY=0X=BAX=BY=0， 这与X00矛盾，从而有 Y=ABY, Y 0Y=ABY, Y
7、 0 即即（E-AB）Y=0, Y 0=0, Y 0 这与E-AB可逆矛盾，故E-AB不可逆 本资料由RUC服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing ，小福代广大福粉先行谢过。 题型三题型三考查矩阵运算的特殊性考查矩阵运算的特殊性 矩阵运算不满足交换律矩阵运算不满足交换律ABBA，涉，涉 及到两个矩阵是否可交换，一般联想及到两个矩阵是否可交换，一般联想 到逆矩阵的定义；但矩阵运算满足结到逆矩阵的定义；但矩阵运算满足结 合律：合律：A(BC)=(AB)C，巧妙地运用结，巧妙地运用结 合律往往可以简化计算合律往往可以简化计算。
8、 本资料由RUC服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing ，小福代广大福粉先行谢过。 例例1.设设A，B，C均为均为n阶矩阵，阶矩阵，E为为n阶单位矩阵，若阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则，则B-C为？为？ 解：由解：由B=E+AB，C=A+CA，知，知 （E-A）B=E，C（E-A）=A， 可见，可见，E-A与与B互为逆矩阵，于是互为逆矩阵，于是B（E-A）=E, 从而有从而有（B-C）（）（E-A）=E-A， 而而E-A可逆，故可逆，故B-C=E。 本资料由RUC服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问
9、或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing ，小福代广大福粉先行谢过。 例2. 解： .AAA 333 222 111 A 10042 ，求设 333 222 111 6A6 PQ(QP)(QP)QP(QP)(QP)PQPQPQA A636A6A6AAAA 6A6PQQQPPPQPQA 6 3 2 1 111QPPQA111Q 3 2 1 P 111 3 2 1 333 222 111 A 9999 99100 22224 2 ）（于是 ，则，令 因为 本资料由RUC服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxi
10、aobing ，小福代广大福粉先行谢过。 题型四题型四解矩阵方程解矩阵方程 （1）含有未知矩阵的等式称为矩阵方程，解矩阵方程的问）含有未知矩阵的等式称为矩阵方程，解矩阵方程的问 题，本质上是考查矩阵的运算，特别是乘法和逆运算，因题，本质上是考查矩阵的运算，特别是乘法和逆运算，因 为在解矩阵方程的过程中，应尽量利用矩阵和运算性质先为在解矩阵方程的过程中，应尽量利用矩阵和运算性质先 化简，再计算。化简，再计算。 （2）矩阵方程的基本形式有：）矩阵方程的基本形式有：AX=B，XA=B，AXB=C， 若若A为可逆矩阵时，其解分别为为可逆矩阵时，其解分别为X=A-1B，X=BA-1以及以及 X=A-1C
11、B-1（这里要求（这里要求B可逆）。可逆）。 （3）当）当A不可逆时，矩阵方程一般应转化为解线性方程组不可逆时，矩阵方程一般应转化为解线性方程组。 本资料由RUC服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing ，小福代广大福粉先行谢过。 例1 。的伴随矩阵，求矩阵是其中 ，满足，矩阵设矩阵 XAA 2XAXAX 11-1 111- 1-11 A 1 - 解：（若先计算出方程中的 及A-1，然后再解方程求X，则 计算过程会十分复杂，为了避免求及A-1，可用公式 在等式两边同时左乘矩阵A进行化简。） A ,EAAAAA 本资料由RU
12、C服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing ，小福代广大福粉先行谢过。 解：2AXAAXAAA -1 ，得两边同乘 1- 2A-EAXEX2A-EA 2AXEXAEAAA ）（，从而有）（即 ，上式化为利用公式 . 101 110 011 4 1 111- 1-11 11-1 2 1 X 111- 1-11 11-1 22A-EA4 11-1 111- 1-11 A 1 - 故 ，由于 本资料由RUC服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing ，小福代广
13、大福粉先行谢过。 例1 。的伴随矩阵，试求为为单位矩阵， ，其中满足设矩阵 BAAE 100 02-0 001 A8E-2BABAABA, 8E-2ABBA 8AA-2ABAABAAAA AAEAAA 1 -1 -1 - -1 即 得 ，再分别右乘，等式两边分别左乘利用公式 . 200 04-0 002 400 02-0 004 8EA-2A8B 1 - ）（从而 解： 本资料由RUC服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing ，小福代广大福粉先行谢过。 题型五题型五 求矩阵的秩求矩阵的秩 例1 .A), 2 , 1(0.
14、0,A 21 22212 12111 ）求秩（其中设niba bababa bababa bababa ii nnnn n n 解： 因为A的任一二阶子式 1A,0）于是秩（ ljkj liki baba baba 而A为非零矩阵，故秩（A）1，从而秩（A）=1 本资料由RUC服务小兵整理，如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的，请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing ，小福代广大福粉先行谢过。 的秩。试求矩阵设三阶矩阵例A, 11 11 11 A2. x x x 2A 0 2-1 12- 2-11 12-1 112- A0A23 1A 111 111 111 A0A12 3A0A211 ,) 1)(2( 11 11 11 1( 2
